C 三角函数文科.docx

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C三角函数文科

C　三角函数

C1角的概念及任意角的三角函数

3．B9、C1[2012·湖北卷]函数f（x）＝xcos2x在区间[0,2π]上的零点的个数为（　　）

A．2B．3C．4D．5

3．D　

[解析]要使f（x）＝xcos2x＝0，则x＝0或cos2x＝0，而cos2x＝0（x∈[0,2π]）的解有x＝，，，，所以零点的个数为5.故选D.

20．C1、M1[2012·福建卷]某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

（1）sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；

（2）sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；

（3）sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；

（4）sin2（－18°）＋cos248°－sin（－18°）cos48°；

（5）sin2（－25°）＋cos255°－sin（－25°）cos55°.

（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

（2）根据

（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

20．解：

解法一：

（1）选择

（2）式，计算如下：

sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°

＝1－＝.

（2）三角恒等式为sin2α＋cos2（30°－α）－sinαcos（30°－a）＝.

证明如下：

sin2α＋cos2（30°－α）－sinαcos（30°－α）

＝sin2α＋（cos30°cosα＋sin30°sinα）2－sinα（cos30°cosα＋sin30°sinα）

＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α

＝sin2α＋cos2α＝.

解法二：

（1）同解法一．

（2）三角恒等式为sin2α＋cos2（30°－α）－sinαcos（30°－α）＝.

证明如下：

sin2α＋cos2（30°－α）－sinαcos（30°－α）

＝＋－sinα（cos30°cosα＋sin30°sinα）

＝－cos2α＋＋（cos60°cos2α＋sin60°sin2α）－sinαcosα－sin2α

＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－（1－cos2α）

＝1－cos2α－＋cos2α＝.

C2同角三角函数的基本关系式与诱导公式

4．C2[2012·全国卷]已知α为第二象限角，sinα＝，则sin2α＝（　　）

A．－B．－

C.D.

4．A　[解析]由α为第二象限角及sinα＝得cosα＝－，所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，故选A.

6．C2、C6[2012·辽宁卷]已知sinα－cosα＝，α∈（0，π），则sin2α＝（　　）

A．－1B．－

C.D．1

6．A　[解析]本小题主要考查同角基本关系与倍角公式的应用．解题的突破口为灵活应用同角基本关系和倍角公式．

∵sinα－cosα＝⇒（sinα－cosα）2＝2⇒1－2sinαcosα＝2⇒sin2α＝－1.

故而答案选A.

19．C2、C3、C4[2012·重庆卷]设函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（其中A>0，ω>0，－π<φ≤π）在x＝处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为.

（1）求f（x）的解析式；

（2）求函数g（x）＝的值域．

19．解：

（1）由题设条件知f（x）的周期T＝π，即＝π，解得ω＝2.

因f（x）在x＝处取得最大值2，所以A＝2.从而sin＝1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z.又由－π<φ≤π得φ＝.

故f（x）的解析式为f（x）＝2sin.

（2）g（x）＝

＝

＝

＝cos2x＋1.

因cos2x∈[0,1]，且cos2x≠，故g（x）的值域为∪.

C3三角函数的图象与性质

8．C3[2012·福建卷]函数f（x）＝sin的图象的一条对称轴是（　　）

A．x＝B．x＝

C．x＝－D．x＝－

8．C　[解析]解题关键是明确三角函数图象的对称轴经过最高点或最低点，可以把四个选项代入验证，只有当x＝－时，函数f＝sin＝－1取得最值，所以选择C.

17．C3、C4[2012·陕西卷]函数f（x）＝Asin＋1（A>0，ω>0）的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）设α∈，f＝2，求α的值．

17．解：

（1）∵函数f（x）的最大值为3，∴A＋1＝3，即A＝2，

∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，∴最小正周期T＝π，

∴ω＝2，故函数f（x）的解析式为y＝2sin＋1.

（2）∵f＝2sin＋1＝2，

即sin＝，

∵0<α<，∴－<α－<，

∴α－＝，故α＝.

18．C3、C4[2012·湖南卷]已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分图象如图1－6所示．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数g（x）＝f－f的单调递增区间．

图1－6

18．解：

（1）由题设图象知，周期T＝2＝π，所以ω＝＝2.

因为点在函数图象上，

所以Asin＝0，即sin＝0.

又因为0＜φ＜，所以＜＋φ＜.从而＋φ＝π，即φ＝.

又点（0,1）在函数图象上，所以Asin＝1，得A＝2.

故函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin.

（2）g（x）＝

2sin－2sin

＝2sin2x－2sin

＝2sin2x－2

＝sin2x－cos2x

＝2sin.

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

所以函数g（x）的单调递增区间是，k∈Z.

图1－7

9．B14、C3[2012·湖南卷]设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，f′（x）是f（x）的导函数．当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π）且x≠时，x－f′（x）＞0.则函数y＝f（x）－sinx在[－2π，2π]上的零点个数为（　　）

A．2B．4C．5D．8

9．B　[解析]本题考查函数的性质和函数的零点，以及数形结合思想，意在考查考生函数性质与图像综合运用的能力；具体的解题思路和过程：

利用函数的奇偶性、周期性和单调性，作出函数简图，把f（x）－sinx＝0构造两个函数，利用数形结合思想，得出函数的零点数．

由当x∈（0，π）且x≠时，f′（x）＞0，可知函数f（x）在上是单调递减的，在上是单调递增的，又由函数为偶函数，周期为2π，可画出其一个简图，令f（x）－sinx＝0，即f（x）＝sinx，构造两个函数y＝f（x）和y＝sinx，由图可知，函数有4个零点．

[易错点]本题易错一：

对函数的性质掌握不到位，无法作出函数图象的简图；易错二：

函数的零点个数的确定有三种方法，此题只能用函数的交点方法求解；易错三：

许多考生不习惯作图，无法正确运用数形结合思想解答．

19．C2、C3、C4[2012·重庆卷]设函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（其中A>0，ω>0，－π<φ≤π）在x＝处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为.

（1）求f（x）的解析式；

（2）求函数g（x）＝的值域．

19．解：

（1）由题设条件知f（x）的周期T＝π，即＝π，解得ω＝2.

因f（x）在x＝处取得最大值2，所以A＝2.从而sin＝1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z.又由－π<φ≤π得φ＝.

故f（x）的解析式为f（x）＝2sin.

（2）g（x）＝

＝

＝

＝cos2x＋1.

因cos2x∈[0,1]，且cos2x≠，故g（x）的值域为∪.

3．C3、N2[2012·上海卷]函数f（x）＝的最小正周期是________．

3．π　[解析]考查二阶矩阵和三角函数的值域，以矩阵为载体，实为考查三角函数的性质，易错点是三角函数的化简．

f（x）＝sinxcosx＋2＝sin2x＋2，由三角函数周期公式得，T＝＝π.

C4　函数的图象与性质

6．C4[2012·浙江卷]把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（　　）

图1－2

6．A　[解析]本题考查了余弦函数的性质与函数图象的变换，考查了学生对余弦函数图象、性质的掌握，会利用“五点法”确定函数的大致形状、位置．函数y＝cos2x＋1图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数y＝cosx＋1的图象；再将函数向左平移一个单位长度，得到函数y＝cos（x＋1）＋1的图象；最后把函数向下平移1个单位长度即得到函数y＝cos（x＋1）的图象，可以看成是函数y＝cosx向左平移一个单位得到y＝cos（x＋1）的图象，可用特殊点验证函数的大致位置．

7．C4[2012·天津卷]将函数f（x）＝sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是（　　）

A.B．1

C.D．2

7．D　[解析]法一：

将函数f（x）＝sinωx的图象向右平移个单位，得到g（x）＝sin的图象，又∵其图象过点，∴g＝sin＝sinω＝0，

∴ω最小值取2.

法二：

函数f（x）＝sinωx的图象向右平移个单位后过点，∴函数f（x）＝sinωx的图象过点，即f＝sinω＝0，∴ω最小值取2.

8．C4[2012·山东卷]函数y＝2sin（0≤x≤9）的最大值与最小值之和为（　　）

A．2－B．0

C．－1D．－1－

8．A　[解析]本题考查函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质，考查运算求解能力，中档题．

∵0≤x≤9，∴－≤x－≤π，当x－＝－π时，y＝2sin有最小值2×＝－，当x－＝π时，y＝2sin有最大值2.

9．C4[2012·课标全国卷]已知ω>0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f（x）＝sin（ωx＋φ）图像的两条相邻的对称轴，则φ＝（　　）

A.B.

C.D.

9．A　[解析]由题意，函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的最小正周期为T＝2＝2π，又ω>0，所以ω＝＝1.故f（x）＝sin.故①或②

由①得φ＝2kπ＋；

由②得φ＝2kπ－.

又已知0<φ<π，所以由①得φ＝；②无解．

综上，φ＝.故选A.

15．C4[2012·全国卷]当函数y＝sinx－cosx（0≤x<2π）取得最大值时，x＝________.

15.　[解析]本小题主要考查利用三角函数的两角和与差公式变形求最值，解题的突破口为化为振幅式并注意定义域．

函数可化为y＝2sin，由x∈[0,2π）得x－∈，∴x－＝，即x＝时，函数有最大值2，故填.

19．C2、C3、C4[2012·重庆卷]设函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（其中A>0，ω>0，－π<φ≤π）在x＝处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为.

（1）求f（x）的解析式；

（2）求函数g（x）＝的值域．

19．解：

（1）由题设条件知f（x）的周期T＝π，即＝π，解得ω＝2.

因f（x）在x＝处取得最大值2，所以A＝2.从而sin＝1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z.又由－π<φ≤π得φ＝.

故f（x）的解析式为f（x）＝2sin.

（2）g（x）＝

＝

＝

＝cos2x＋1.

因cos2x∈[0,1]，且cos2x≠，故g（x）的值域为∪.

17．C3、C4[2012·陕西卷]函数f（x）＝Asin＋1（A>0，ω>0）的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）设α∈，f＝2，求α的值．

17．解：

（1）∵函数f（x）的最大值为3，∴A＋1＝3，即A＝2，

∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为