数学21讲义 第1章 章末小结Word格式文档下载.docx
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①已知a＝（3,4），b＝（0，－1），则a在b方向上的投影为－4.
②函数y＝tan的图象关于点成中心对称．
③命题“如果a·
b＝0，则a⊥b”的否命题和逆命题都是真命题．
④若a≠0，则a·
b＝a·
c是b＝c成立的必要不充分条件．
其中正确命题的序号是________．（将所有正确的命题序号都填上）
[解析] ①∵|a|＝5，|b|＝1，a·
b＝－4，
∴cos〈a·
b〉＝－.
∴a在b方向上的投影为|a|·
cos〈a，b〉＝－4，①正确．
②当x＝时，tan无意义，
由正切函数y＝tanx的图象的性质知，②正确．
③∵原命题的逆命题为“若a⊥b，则a·
b＝0”为真，
∴其否命题也为真．∴③正确．
④当a≠0，b＝c时，a·
c成立．
（当a≠0，a·
c时不一定有b＝c.）
∴④正确．
[答案] ①②③④
判断一个命题为真命题必须进行严格的证明，但要说明一个命题为假命题，只需举出一个反例即可，当直接判断命题的真假较困难时，可利用其等价命题判断．
1．下列命题中为真命题的是（ ）
A．命题“若a>
b，则3a>
3b”的逆命题
B．命题“若x2≤1，则x≤1”的否命题
C．命题“若x＝1，则x2－x＝0”的否命题
D．命题“若a>
b，则<
”的逆否命题
解析：
对于A，逆命题是“若3a>
3b，则a>
b”，是真命题；
对于B，否命题是“若x2>
1，则x>
1”，是假命题，因为x2>
1⇔x>
1或x<
－1；
对于C，否命题是“若x≠1，则x2－x≠0”，是假命题，因为当x＝0时，x2－x＝0；
对于D，逆否命题是“若≥，则a≤b”，是假命题，如a＝1，b＝－1.故选A.
答案：
A
2．下列说法中错误的个数是（ ）
①命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周期函数”
②命题“若x>
1，则x－1>
0”的否命题是“若x≤1，则x－1≤0”
③命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数”
④命题“x＝－4是方程x2＋3x－4＝0的根”的否命题是“x＝－4不是方程x2＋3x－4＝0的根”
A．1 B．2
C．3D．4
①错误，否命题是“若一个函数不是余弦函数，则它不是周期函数”；
②正确；
③错误，否命题是“若两个数不全为正数，则它们的和不为正数”；
④错误，否命题是“若一个数不是－4，则它不是方程x2＋3x－4＝0的根”．
C
充分条件、必要条件与充要条件
[例2]
（1）（2017·
浙江高考）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>
0”是“S4＋S6>
2S5”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
（2）（2017·
天津高考）设θ∈R，则“<
”是“sinθ<
”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
[解析]
（1）因为{an}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d>
0⇔S4＋S6>
2S5.
（2）法一：
由<
，得0<
θ<
，
故sinθ<
.由sinθ<
，得－＋2kπ<
＋2kπ，k∈Z，推不出“<
”．
故“<
”的充分而不必要条件．
法二：
<
⇒0<
⇒sinθ<
，而当sinθ<
时，取θ＝－，＝>
.
[答案]
（1）C
（2）A
本例所给命题均含有不等关系，判断起来与习惯不符，因此先将命题进行等价转化，将不等关系转化为相等关系再进行判断，从而使问题得以顺利解决．
[例3] 已知p：
x2－8x－20＞0，q：
x2－2x＋1－a2＞0，若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围．
[解] p：
x2－8x－20＞0⇔x＜－2或x＞10，
∵a＞0，
∴q：
x＜1－a或x＞1＋a.
由题意p⇒q且p
q，
应有或⇒0<
a≤3.
∴正实数a的取值范围为（0,3]．
将充分条件、必要条件转化为集合间的关系，进而转化为集合的运算问题，是解决此类问题的有效方法．
3．“a>
b>
0”是“ab<
由基本不等式知当a，b∈R时，a2＋b2≥2ab，其中当a＝b时，等号成立．∴当a>
0时，ab<
，反之不成立．
4．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的（ ）
当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥β
α∥β；
当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．
B
逻辑联结词
[例4] 已知命题p：
关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；
命题q：
关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞）上是增函数．若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．
[解] p真：
Δ＝a2－4×
4≥0，
∴a≤－4或a≥4.
q真：
－≤3，
∴a≥－12.
由“p或q”是真命题，“p且q”是假命题得：
p，q两命题一真一假．
当p真q假时，a＜－12；
当p假q真时，－4＜a＜4.
综上，a的取值范围为（－∞，－12）∪（－4,4）．
先求出命题p，q为真、假命题时a的取值范围，然后利用已知条件转化为集合的运算是解决此类问题的常规方法．
5．设集合A＝{x|－2－a<
x<
a，a>
0}，命题p：
1∈A，命题q：
2∈A.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的取值范围．
解：
若p为真命题，则－2－a<
1<
a，解得a>
1.
若q为真命题，则－2－a<
2<
2.
依题意，得p假q真或p真q假，
即或∴1<
a≤2，
∴a的取值范围为（1,2].
全称量词和存在量词
[例5] 在下列四个命题中，真命题的个数是（ ）
①∀x∈R，x2＋x＋3＞0；
②∀x∈Q，x2＋x＋1是有理数；
③∃α，β∈R，使sin（α＋β）＝sinα＋sinβ；
④∃x，y∈Z，使3x－2y＝10.
A．1个B．2个
C．3个D．4个
[解析] ①中x2＋x＋3＝2＋≥＞0，
故①是真命题．
②中，x∈Q，x2＋x＋1一定是有理数，故②是真命题．
③中α＝，β＝－时，
sin（α＋β）＝0，sinα＋sinβ＝0，故③是真命题．
④中x＝4，y＝1时，3x－2y＝10成立，故④是真命题．
[答案] D
利用特值说明含有全称量词的命题为假命题，说明含有存在量词的命题为真命题是解决此类问题的常用方法．
6．命题“∀n∈N＋，f（n）∈N＋且f（n）≤n”的否定形式是（ ）
A．∀n∈N＋，f（n）∉N＋且f（n）>
n
B．∀n∈N＋，f（n）∉N＋或f（n）>
C．∃n∈N＋，f（n）∉N＋且f（n）>
D．∃n∈N＋，f（n）∉N＋或f（n）>
写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．
D
7．已知命题p：
“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：
“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
命题p：
“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”为真，
则a≤x2，x∈[1,2]恒成立，所以a≤1.
“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”为真，
则“4a2－4（2－a）≥0，
即a2＋a－2≥0”，解得a≤－2或a≥1.
若命题“p且q”是真命题，
则实数a的取值范围是（－∞，－2]∪{1}．
（－∞，－2]∪{1}
（时间120分钟，满分150分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．命题“若x2<
1，则－1<
1”的逆否命题是（ ）
A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1
B．若－1<
1，则x2<
1
C．若x>
－1，则x2>
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，“<
”的否定是“≥”．故选D.
2．命题“若x＝－1，则x2＋3x＋2＝0”以及它的逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数是（ ）
A．0 B．2
∵原命题为真命题，∴逆否命题也是真命题．
又它的逆命题是：
若x2＋3x＋2＝0，
则x＝－1，是假命题，
∴它的否命题也是假命题.
3．已知命题①若a>
，②若－2≤x≤0，则（x＋2）（x－3）≤0，则下列说法正确的是（ ）
A．①的逆命题为真 B．②的逆命题为真
C．①的逆否命题为真D．②的逆否命题为真
①的逆命题为<
则，a>
b，若a＝－2，b＝3，则不成立．故A错；
②的逆命题为若（x＋2）（x－3）≤0，则－2≤x≤0是假命题，故B错；
①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C错；
②为真命题，其逆否命题也为真命题，D正确．
4．已知f（x）＝ex＋x－1，命题p：
∀x∈（0，＋∞），f（x）>
0，则（ ）
A．p是真命题，綈p：
∃x∈（0，＋∞），f（x）<
B．p是真命题，綈p：
∃x∈（0，＋∞），f（x）≤0
C．p是假命题，綈p：
D．p是假命题，綈p：
由于函数y＝ex和y＝x－1在R上均是增函数，则f（x）＝ex＋x－1在R上是增函数，当x>
0时，f（x）>
f（0）＝0，所以p为真命题，綈p：
∃x∈（0，＋∞），f（x）≤0，故选B.
5．已知命题p：
若实数x，y满足x3＋y3＝0，则x，y互为相反数；
若a>
0，则<
.下列命题p∧q，p∨q，綈p，綈q中，真命题的个数是（ ）
A．1B．2
易知命题p，q都是真命题，则p∧q，p∨q都是真命题，綈p，綈q是假命题．
6．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的（ ）
因为x≥2且y≥2⇒x2＋y2≥4易证，所以充分性满足，反之，不成立，如x＝y＝，满足x2＋y2≥4，但不满足x≥2且y≥2，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分而不必要条件．
7．命题甲：
“a，b，c成等差数列”是命题乙：
“＋＝2”的（ ）
A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件
当a，b，c成等差数列时，
若b＝0，则＋＝2不成立，
反之当＋＝2，即＝2，
即a＋c＝2b时，b－a＝c－b，
所以a，b，c成等差数列．
8．下列命题是真命题的是（ ）
A．“若x＝0，则xy＝0”的逆命题
B．“若x＝0，则xy＝0”的否命题
C．若x＞1，则x＞2
D．“若x＝2，则（x－2）（x－1）＝0”的逆否命题
D中，x＝2时，（x－2）（x－1）＝0成立，即原命题为真命题，那么逆否命题也是真命题．
9．命题甲：
x,21－x,2x2成等比数列，命题乙：
lgx，lg（x＋1），lg（x＋3）成等差数列，则甲是乙的（ ）
由x,21－x,2x2成等比数列可得x＝－2或x＝1，由lgx，lg（x＋1），lg（x＋3）成等差数列可得x＝1，所以甲是乙的必要而不充分条件．
10．设x∈R，则“1<
2”是“|x－2|<
1”的（ ）
|x－2|<
1⇔1<
3.
由于{x|1<
2}是{x|1<
3}的真子集，
所以“1<
1”的充分而不必要条件．
11．已知p（x）：
x2＋2x－m＞0，如果p
（1）是假命题，p
（2）是真命题，则实数m的取值范围为（ ）
A．[3，＋∞）B．（－∞，8）
C．（－∞，3]∪（8，＋∞）D．[3,8）
因为p
（1）是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3；
又p
（2）是真命题，所以4＋4－m＞0，解得m＜8.故实数m的取值范围为[3,8）．
12．已知命题p：
存在x∈R，使tanx＝，命题q：
x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，下列结论：
①命题“p且q”是真命题；
②命题“p且綈q”是假命题；
③命题“綈p或q”是真命题；
④命题“綈p或綈q”是假命题，其中正确的是（ ）
A．②③B．①②④
C．①③④D．①②③④
∵p，q都是真命题，∴①②③④均正确．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13．命题“若x>
y，则x3>
y3－1”的否命题为________．
将命题的条件和结论分别否定即得原命题的否命题，即“若x≤y，则x3≤y3－1”．
若x≤y，则x3≤y3－1
14．若“∀x∈R，x2－2x－m>
0”是真命题，则实数m的取值范围是________．
∵∀x∈R，x2－2x－m>
0是真命题，
∴Δ＝（－2）2＋4m<
0恒成立．
∴m<
－1.
（－∞，－1）
15．设p：
2x2－3x＋1≤0，q：
x2－（2a＋1）x＋a（a＋1）≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
当命题p为真时，由2x2－3x＋1≤0得≤x≤1；
当命题q为真时，可知a≤x≤a＋1，又綈p是綈q的必要不充分条件等价于p是q的充分不必要条件，所以[a，a＋1]，a∈.
16．有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；
④若p∨q为假命题，则p，q均为假命题．
其中真命题的序号是________．（把所有正确命题的序号都填上）
对①，逆命题“若x，y互为倒数，则xy＝1”是真命题；
对②，否命题“不相似的三角形的周长不相等”是假命题；
对③，Δ＝4b2－4（b2＋b）≥0，即b≤0，∴b≤－1时，方程有实根，即命题为真命题，逆否命题也为真命题；
对④，p∨q假时，p，q一定均假，∴④正确．故①③④正确．
①③④
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）写出命题“若＋（y＋1）2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
若x＝2且y＝－1，则＋（y＋1）2＝0，真命题．
若＋（y＋1）2≠0，则x≠2或y≠－1，真命题．
若x≠2或y≠－1，则＋（y＋1）2≠0，真命题．
18．（本小题满分12分）写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题，并判断它们的真假．
（1）p：
3是素数，q：
3是偶数；
（2）p：
x＝－2是方程x2＋x－2＝0的解，q：
x＝1是方程x2＋x－2＝0的解．
（1）p或q：
3是素数或3是偶数；
p且q：
3是素数且3是偶数；
非p：
3不是素数．
因为p真，q假，所以“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，“非p”为假命题．
（2）p或q：
x＝－2是方程x2＋x－2＝0的解或x＝1是方程x2＋x－2＝0的解；
x＝－2是方程x2＋x－2＝0的解且x＝1是方程x2＋x－2＝0的解；
x＝－2不是方程x2＋x－2＝0的解．
因为p真，q真，所以“p或q”为真命题，“p且q”为真命题，“非p”为假命题．
19．（本小题满分12分）已知c>
0，设命题p：
y＝cx为减函数，命题q：
函数f（x）＝x＋>
在x∈，2上恒成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．
由p∨q真，p∧q假，知p与q为一真一假，对p，q进行分类讨论即可．
若p真，由y＝cx为减函数，得0<
c<
当x∈，2时，由不等式x＋≥2（x＝1时取等号）知，f（x）＝x＋在，2上的最小值为2.
若q真，则<
2，即c>
若p真q假，则0<
1，c≤，所以0<
c≤；
若p假q真，则c≥1，c>
，所以c≥1.
综上可得，c∈0，∪[1，＋∞）．
20．（本小题满分12分）已知k∈R且k≠1，直线l1：
y＝x＋1和l2：
y＝x－k.
（1）求直线l1∥l2的充要条件；
（2）当x∈[－1,2]时，直线l1恒在x轴上方，求k的取值范围．
（1）由题意得解得k＝2.
当k＝2时，l1：
y＝x＋1，l2：
y＝x－2，此时l1∥l2.
∴直线l1∥l2的充要条件为k＝2.
（2）设f（x）＝x＋1.由题意，得
即解得－1<
k<
∴k的取值范围是（－1,2）．
21．（本小题满分12分）已知a＞0且a≠1，设命题p：
函数y＝loga（x＋1）在区间（－1，＋∞）内单调递减；
q：
曲线y＝x2＋（2a－3）x＋1与x轴有两个不同的交点，如果p∨q为真命题，求a的取值范围．
由y＝loga（x＋1）在区间（－1，＋∞）上单调递减知0<
a<
1，
∵曲线y＝x2＋（2a－3）x＋1与x轴交于两个不同的点，
∴Δ＝（2a－3）2－4×
1×
1>
0，解得a<
或a>
∴p真对应集合A＝{a|0<
1}，
q真对应集合B＝.
由于p∨q真，即p，q中至少有一个为真命题．
p真q假时，≤a<
1；
p假q真时，a>
或a≤0；
q真q真时，0<
综上得，a的取值范围为（－∞，1）∪.
22．（本小题满分12分）已知命题：
“∀x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<
0成立”是真命题．
（1）求实数m的取值集合B；
（2）设不等式（x－3a）（x－a－2）<
0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
（1）命题：
0成立”是真命题，得x2－x－m<
0在－1≤x≤1时恒成立，
∴m>
（x2－x）max，得m>
2，即B＝{m|m>
2}．
（2）不等式（x－3a）（x－a－2）<
0，
①当3a>
2＋a，即a>
1时，解集A＝{x|2＋a<
3a}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则AB，
∴2＋a≥2，此时a∈（1，＋∞）；
②当3a＝2＋a，即a＝1时，解集A＝∅，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则AB成立；
③当3a<
2＋a，即a<
1时，解集A＝{x|3a<
2＋a}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则AB成立，
∴3a≥2，此时a∈（，1）.
综上①②③可得a∈（，＋∞）.
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