第二部分 Petri网的动态性质.ppt

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第二部分Petri网的动态性质,提纲,网系统（以原型Petri网为模型）运行过程中的一些性质统称为动态性质（dynamicproperties）或行为性质（behavioralproperties）这些性质同Petri网所模拟的实际系统运行过程中的某些方面的性质有密切的联系,提纲,可达性有界性和安全性活性公平性持续性,可达性,可达性是Petri网的最基本的动态性质，其余各种性质都要通过可达性来定义定义2.1.设PN=（P,T;F,M）为一个Petri网。

如果存在tT，使MtM，则称M为从M直接可达的如果存在变迁序列t1,t2,t3,tk和标识序列M1,M2,M3,Mk使得Mt1M1t2M2,Mk-1tkMk（2.1）则称Mk为从M可达的从M可达的一切标识的集合记为R（M），约定MR（M）如果记变迁序列t1,t2,t3,tk为，则（2.1）式也可记为MMk,可达性,设初始标识M0表示系统的初始状态，R（M0）给出系统运行过程中可能出现的全部状态的集合。

定义2.2.设PN=（P,T;F,M0）为一个Petri网,M0为初始标识。

PN的可达标识集R（M0）定义为满足下面两条件的最小集合：

（1）M0R（M0）；

（2）若MR（M0），且存在tT，使得MtM，则MR（M0）,可达性,定理2.1.设PN=（P,T;F,M0）为一个Petri网，M0为初始标识。

则：

（1）对任意MR（M0），都有R（M）R（M0）；

（2）对任意M1,M2R（M0），R（M1）=R（M2）当且仅当M1R（M2）且M2R（M1）。

证：

（1）由于MR（M0），所以MR（M）:

MR（M0），从而R（M）R（M0）。

同理可证

（2）。

可达性,定义2.3.设PN=（P,T;F,M0）为一个Petri网，MR（M0）。

如果MR（M0），都有MR（M），则称M为PN的一个可返回标识或一个家态（homestate）。

定义2.4.设PN=（P,T;F,M0）为一个Petri网。

如果M0是一个家态，则称PN为可逆网系统（reversiblenetsystem），或称可回复系统。

网系统家态的存在是一个良好性质，在评测系统性能或在系统模拟过程中具有非常关键的作用。

可达性,推论2.1.设PN=（P,T;F,M0）为一个Petri网，M1,M2是PN的家态，则R（M1）=R（M2）。

证明：

因为M1,M2是PN的家态，所以首先有M1R（M0），M2R（M0），进而M1R（M2），M2R（M1）。

根据定理2.1

（2），则有R（M1）=R（M2）。

有界性和安全性,定义2.4.设PN=（P,T;F,M0）为一个Petri网,pP。

若存在正整数B,使得MR（M0）:

M（p）B,则称库所p为有界的（bounded）。

并称满足此条件的最小正整数B为库所p的界，记为B（p）。

即B（p）=minB|MR（M0）:

M（p）B当B（p）=1时，称库所p为安全的（safe）。

定义2.5.设PN=（P,T;F,M0）为一个Petri网。

如果每个pP都是有界的，则称PN为有界Petri网。

称B（PN）=maxB（p）|pP为PN的界。

当B（PN）=1时，称PN为安全的。

有界性和安全性,Petri网的有界性（boundedness）反映被模拟系统运行过程中对有关资源的容量要求,库所p3无界其它库所的界为1,B（p1）=B（p2）=B（p3）=2其它库所界为1,有界性和安全性,定理2.2.设PN=（P,T;F,M0）为一个Petri网。

R（M0）为有限集当且仅当PN是有界的。

证：

活性,Petri网活性（Liveness）概念的提出源于对实际系统运行中是否会出现死锁的探索的需要。

定义2.6.设PN=（P,T;F,M0）为一个Petri网，M0为初始标识，tT。

如果对任意MR（M0），都存在MR（M），使得Mt，则称变迁t为活的。

如果每个tT都是活的，则称PN为活的Petri网。

2,t1和t2是活的，t3是不活的,不活的,活的,活性,与实际系统中的无死锁概念更为接近的定义。

定义2.7.设PN=（P,T;F,M0）为一个Petri网，如果对MR（M0），使得tT：

Mt，则称M为PN的一个死标识（deadmarking）。

如果PN中不存在死标识，则称PN为弱活的（weaklive）或者不死的（non-dead）。

定理2.3.设PN=（P,T;F,M0）为一个Petri网。

若PN中有一个变迁是活的，则PN是弱活的。

证：

用反证法。

假设PN不是弱活的，则必存在一个死标识MR（M0），即tT：

Mt。

从而不存在MR（M），使得Mt。

即任一个变迁都不是活的，这同假设矛盾。

活性,PN是弱活的，但不是活的,活性,定义2.8.设PN=（P,T;F,M0）为一个Petri网，tT。

若MR（M0）：

Mt，则称变迁t为死的。

如果一个Petri网中没有死变迁，那么它是活的吗？

是弱活的吗？

？

t3是死变迁,公平性,在Petri网中引入公平性（fairness）概念，旨在讨论网系统中两个变迁的发生之间的相互关系。

这种关系反映被模拟系统的各个部分在资源竞争中的无饥饿性问题。

定义2.9.设PN=（P,T;F,M0）为一个Petri网，M0为初始标识，t1,t2T。

如果存在正整数k，使得MR（M0），T*：

M都有#（,ti）=0#（,t3-i）k,i=1,2则称变迁t1和t2处于公平关系。

如果PN中任意两个变迁都处于公平关系，则称PN为公平Petri网。

其中#（,ti）表示在序列中ti的出现次数。

如果PN中不存在可发生的无限变迁序列，则网系统总是公平的。

公平性,定义2.10.设PN=（P,T;F,M0）为一个Petri网，M0为初始标识，t1,t2T。

如果MR（M0），都存在正整数k，使得T*：

M都有#（,ti）=0#（,t3-i）k,i=1,2则称变迁t1和t2处于弱公平关系。

如果PN中任意两个变迁都处于弱公平关系，则称PN为弱公平Petri网。

t2和t3是公平关系，也是弱公平关系,t2和t3是弱公平关系，但不是公平关系,公平性,定理2.4.Petri网中变迁之间的公平关系是一种等价关系证：

公平关系的自反性和对称性是显然的。

下面证明其传递性。

设t1和t2处于公平关系，即存在k1，使得MR（M0），T*：

M都有#（,t1）=0#（,t2）k1#（,t2）=0#（,t1）k1把写成=0t21t22t23j-1t2j,jk1.显然#（i,t2）=0设t2和t3处于公平关系，即存在k2，使得MR（M0），T*：

M都有#（,t2）=0#（,t3）k2#（,t3）=0#（,t2）k2则由t2和t3的公平关系可知#（i,t3）k2，#（,t3）k2（j+1）k2（k1+1）k.其中k=maxk2（k1+1）,k1（k2+1）即#（,t1）=0#（,t3）k同理可证#（,t3）=0#（,t1）k所以，t1和t3处于公平关系。

持续性,定义2.11.设PN=（P,T;F,M0）为一个Petri网。

如果对任意MR（M0）和任意t1,t2T（t1t2），有（Mt1Mt2M）Mt1则称PN为持续网系统。

定理2.5.设PN=（P,T;F,M0）为一个持续网系统。

对于任意MR（M0），如果Mt1且M，#（,t1）=0，则有Mt1且Mt1。

证明：

对的长度进行数学归纳。

持续性,定理2.6.设N=（P,T;F）为一个纯网，那么PN=（N,M0）是持续网系统的充要条件MR（M0），t1,t2T（t1t2），t1和t2在M不存在冲突。

持续性,定理2.7.若N=（P,T;F）为一个T-图，则对N的任意初始标识M0，PN=（N,M0）都是持续网系统。

证明：

已知MR（M0）和任意t1,t2T（t1t2），有（Mt1Mt2M）。

并且t1t2=,t1t2=证明Mt1。

公平性实例,变迁序列：

（t1t2t3t4）*k=1弱公平非公平，因为若选定某个k,则只要让p1中存储k+1个token,就无法满足条件,定理2.5,

（1）|sigma|=1,Mt1且Mt2,则根据持续网的定义，Mt1t2且Mt2t1

（2）假设|sigma|且Mt2,所以Mt2Msigmat3且Mt2Mt1，根据归纳假设，Msigmat3t1,所以Mt1t2sigmat3同时，Mt2sigmaMt3,而根据归纳假设，Mt2sigmat1，所以Mt1,