台中县第47届中小学科学展览会Word下载.docx

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壹、研究動機：

原本我們科展是以「撞球」當為研究主題，不料過程中發現撞球軌跡在完美沒阻力情況下，是可以遵守入射角等於反射角形成一封閉圖形，而且此圖形在撞球桌為長方形時並不只有菱形，「平行四邊形」也是其中一種，而且也許反射有週期，經過數次後會接回原圖形形成一個封閉圖形，因此我們便捨棄原本的撞球，以僅剩的時間研究此主題，並且把裡面的封閉圖形命名為─反射圖形，但此次只有討論非週期性的反射圖形。

貳、研究目的

1、定義反射圖形

2、找出三角形及四邊形的所有反射圖形

3、歸納推論結果

參、研究設備或器材

紙、筆、電腦軟體

肆、研究過程或方法

1、定義反射圖形：

反射圖形即是一圖形

內，設有P一點，若P點撞擊

圖形內的任何一邊，因遵循「入設角等於反射角」的原理，則P點繼續前進，當撞擊到第二個邊時又會遵循「入射角等於反射角」的原理，反射後繼續前進。

有時點P不會重複撞擊圖形

的任一邊兩次以上即運行回原點，或點P具週期性，撞擊數次後會回到原點並沿著原來的軌跡繼續前進。

而若發生以上兩種情況，則點P的運行軌跡所連成的圖形S稱為「反射圖形」。

反射原理

如下圖，當球從A直線方向進入，撞到牆壁後，其反彈的方向遵循著「入射角等於反射角」的原理，會從B方向反彈，並不是毫無規律可言，其中θ1為入射角，θ2為反射角，所以我們可以得知θ1=θ2。

θ1θ2

如下圖長方形裡面的菱形並很明顯是個反射圖形，在無阻力的情況，球可以沿著菱形EFGH永無停止的前進。

2、歸納及過程

我們先對三角形和四邊形下手，先將裡面的反射圖形畫出後，在著手畫外面的圖形，先看是否能找出規律來，在設法去作推廣的動作，如下：

（標題的形狀為裡面反射圖形的名稱！

）

1.正三角形

外面形狀為正三角形

2.等腰三角形

外面形狀為等腰三角形。

3.等腰直角三角形

4.直角三角形

外面形狀為一個三角形

5.菱形

外面形狀為一個長方形。

6.長方形

外面形狀為一個正方形。

7.正方形

8.不規則梯形

外面形狀為一個圓內接四邊形。

9.等腰梯形

外面形狀為一個兩直角鳶形。

10.兩直角梯形

11.平行四邊形

12.鳶形

外面形狀為一個等腰梯形。

將以上整理如下表

反射圖形與性質

外型與性質

反射圖形

線對稱圖形

圓內接四邊形

外形

正三角形

◎

等腰三角形

等腰直角三角形

直角三角形

無規律

菱形

長方形

★

正方形

不規則梯形

不規則四邊形

梯形（等腰梯形）

鳶形

梯形（兩直角梯形）

兩直角四邊形

平行四邊形

皆可

？

※標示記號者代表符合性質.

由於等腰三角形可劃一條平行底邊的線成為一等腰梯形，因此我們判定等腰三角形外面也可有等腰梯形。

由於並未發現外面圖形有非圓內接平行四邊形及鳶形，因此我們懷疑此兩種圖形裡面可能並沒有四邊形的反射圖形，便著手證明：

證明非長方形之平行四邊形內無反射圖形

設有一平行四邊形，其圖形內有反射圖形。

（如下圖）

由上圖可得知，θx+θy=θd+θz、θy+θz=θx+θd。

（平行四邊形）

則θx+θy-θd-θz=0、θy+θz-θx-θd=0。

（移項整理）

聯立方程式

得知θx=θz、θy=θd。

而反射圖形四角相加，θα+θβ+θγ+θδ=360°

。

（四邊形內角和必定為360°

∴（180°

×

4）-（90°

4）=360°

（邊ABCD總和角-（θα+θβ+θγ+θδ））

360°

÷

4=90°

（圖形任一邊-反射圖形任一角）

∵90°

2=45°

∴得知θx=θy=θz=θd=45°

而Δ內角和=180°

，故180°

-（45×

2）=90°

∴θ1=θ2=θ3=θ4=90°

即非長方形之平行四邊形內無反射圖形。

證明無兩直角之鳶形無反射圖形

設有一鳶形，其圖形中有反射圖形。

〈如下圖〉

證明如下：

∵外圖形為鳶形，則反射圖形對角相加

必為180°

（因θα=θβ、θγ=θδ）

∴θα+θδ=180°

、θβ+θγ=180°

故θy+θd=θx+θz（對稱關係）

而（180°

（邊ABCD總和角-

（θα+θβ+θγ+θδ））

∴2（θx+θy+θz+θd）=360°

θx+θy+θz+θd=180°

故θy+θd=90°

、θx+θz=90°

又因此θy+θz=90°

、θx+θd=90°

且θd=θz、θy=θx，

θx=θy、θz=θd

∴θ1+θ3=180°

、θ2+θ4=180°

而θ2=θ4

故θ2=90°

θ4=90°

證明無兩直角之鳶形無反射圖形。

說明以上兩種圖形也不繪有三角形的反射圖形：

由於三角形任意兩邊不平行，因此任意對三角形作切割一次，頂多只能作出一雙對邊平行的梯形，所以上述兩種圖形也不會有三角形的反射圖形。

再將此結果作一個統整表：

伍、研究結果

無圖形