台中县第47届中小学科学展览会Word下载.docx

1、壹、研究動機： 原本我們科展是以撞球當為研究主題，不料過程中發現撞球軌跡在完美沒阻力情況下，是可以遵守入射角等於反射角形成一封閉圖形，而且此圖形在撞球桌為長方形時並不只有菱形，平行四邊形也是其中一種，而且也許反射有週期，經過數次後會接回原圖形形成一個封閉圖形，因此我們便捨棄原本的撞球，以僅剩的時間研究此主題，並且把裡面的封閉圖形命名為反射圖形，但此次只有討論非週期性的反射圖形。貳、研究目的1、 定義反射圖形2、 找出三角形及四邊形的所有反射圖形3、 歸納推論結果 參、研究設備或器材 紙、筆、電腦軟體肆、研究過程或方法1、 定義反射圖形： 反射圖形即是一圖形內，設有P一點，若P點撞擊圖形內的任何

2、一邊，因遵循入設角等於反射角的原理，則P點繼續前進，當撞擊到第二個邊時又會遵循入射角等於反射角的原理，反射後繼續前進。有時點P不會重複撞擊圖形的任一邊兩次以上即運行回原點，或點P具週期性，撞擊數次後會回到原點並沿著原來的軌跡繼續前進。而若發生以上兩種情況，則點P的運行軌跡所連成的圖形S 稱為反射圖形。反射原理如下圖，當球從A直線方向進入，撞到牆壁後，其反彈的方向遵循著入射角等於反射角的原理，會從B方向反彈，並不是毫無規律可言，其中1為入射角，2為反射角，所以我們可以得知1=2。1 2 如下圖長方形裡面的菱形並很明顯是個反射圖形，在無阻力的情況，球可以沿著菱形EFGH永無停止的前進。2、 歸納及

3、過程 我們先對三角形和四邊形下手，先將裡面的反射圖形畫出後，在著手畫外面的圖形，先看是否能找出規律來，在設法去作推廣的動作，如下：（標題的形狀為裡面反射圖形的名稱！）1.正三角形外面形狀為正三角形2.等腰三角形外面形狀為等腰三角形。3.等腰直角三角形4.直角三角形外面形狀為一個三角形5.菱形外面形狀為一個長方形。6.長方形外面形狀為一個正方形。7.正方形8.不規則梯形外面形狀為一個圓內接四邊形。9. 等腰梯形外面形狀為一個兩直角鳶形。10.兩直角梯形11.平行四邊形12.鳶形外面形狀為一個等腰梯形。將以上整理如下表反射圖形與性質外型與性質反射圖形線對稱圖形圓內接四邊形外形正三角形等腰三角形等腰

4、直角三角形直角三角形無規律菱形長方形正方形不規則梯形不規則四邊形梯形（等腰梯形）鳶形梯形（兩直角梯形）兩直角四邊形平行四邊形皆可？標示記號者代表符合性質.由於等腰三角形可劃一條平行底邊的線成為一等腰梯形，因此我們判定等腰三角形外面也可有等腰梯形。 由於並未發現外面圖形有非圓內接平行四邊形及鳶形，因此我們懷疑此兩種圖形裡面可能並沒有四邊形的反射圖形，便著手證明：證明非長方形之平行四邊形內無反射圖形設有一平行四邊形，其圖形內有反射圖形。（如下圖）由上圖可得知，x+y=d+z、y+z=x+d。（平行四邊形） 則x+y-d-z=0、y+z-x-d=0。（移項整理）聯立方程式 得知x=z、y=d。而反射

5、圖形四角相加，+=360。（四邊形內角和必定為360（1804）-（904）=360（邊ABCD總和角-（+）3604=90（圖形任一邊-反射圖形任一角）902=45得知x=y=z=d=45而內角和=180，故180-（452）=901=2=3=4=90 即非長方形之平行四邊形內無反射圖形。證明無兩直角之鳶形無反射圖形設有一鳶形，其圖形中有反射圖形。如下圖證明如下：外圖形為鳶形，則反射圖形對角相加必為180（因=、=）+=180、+=180故y+d=x+z（對稱關係）而（180（邊ABCD總和角-（+）2（x+y+z+d）= 360x+y+z+d=180故y+d=90、x+z=90又因此y+z=90、x+d=90且d=z、y=x，x=y、z=d1+3=180、2+4=180而2=4故2=904=90證明無兩直角之鳶形無反射圖形。說明以上兩種圖形也不繪有三角形的反射圖形：由於三角形任意兩邊不平行，因此任意對三角形作切割一次，頂多只能作出一雙對邊平行的梯形，所以上述兩種圖形也不會有三角形的反射圖形。再將此結果作一個統整表：伍、研究結果無圖形