幂级数测试题Word格式.docx
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八
->
［十忑J5
3
（一3<
皿）
（⑵
（0*6）
Y—
io.幕级数二-的收敛域为
⑷卜22]（B）（-2,2）⑹卜2.2]（D）[吆2）（一耳枝）
答案：
1—10DDBDAADDDA
乞略（卄1『
2.设幕级数—的收敛半径为2,则级数的收敛区间
为.
4.设二
域是•
是--等差数列他0H①
则幕级数—
收敛
3•级数l+X（l-X）+『O-X『+・・・+F（l-Xy+・・・的和函数为
@0
pMpM-1
L%L叫*
5.，-.与有相同的
6.sinx的幕级数展开式
7.幕级数只有在区间内才有和函数.
8.
经过逐项微分或逐项积分后幕级数不变.
（0<
a<
1）.
1.
6.
4.（-1,1）5.收敛区间.
r2jy-l
A
■■■
7.收敛.8.收敛半径.
9.
（-00<
x<
+00）
心1]
计算题
P2N-1
AX
1.求幕级数—一的收敛域及和函数
2.求幕级数I…的收敛域及和函数
3.求幕级数的收敛半径与收敛域
茁++扣⑵法
5.求函数：
1■'
'
在x=1处泰勒展开式.
ya
6.设幕级数二■当J时有_L—-…：
…且r-:
-求该幕级数的函数.
7•将/（x）=（l+i）/展成x的幕级数.
8.求幕级数—的和函数.
2>
+1房
9.试求幕级数一一的收敛区域及和函数
10.
设.一一，确定’T的连续区间，并求积分
为（-1,1）,令
金二二/严悴1）
壯応也严=1
2.解：
收敛半径+■.,当：
二时,原级数发散，故原级数的收敛域为（-1,1）.设其和函数为■-■■'
f
二兀呀+DF=x
用J
2x
（密、:
J-孟丿（1-X）3
=xJ严
陽二1+1+…+丄
3.
（1）解记’]」.，由于
=1
f气,故收敛半径R=1,收敛区间为（-1,1）
当*=1时,由于陽->
00）,故级数发散,所以该级数的收敛域为（-1,1）.
所以收敛半径R=1,收敛域为[-1,1].
ln（1-z）=—x+—+—+***+而'
=ln（l-x）
I23
ln（l-z5）=-
（,x100
X+，++■一++■■■
.23n
*&
尺V-I
乞—送f花
而级数二、与二•’的收敛域都是[-1,1],故当上-1时
ln（l+x+a?
+?
+x4）=ln0-x5）-ln（l-x）
十10„5s
5AA
7i+—F+…
+
xa於
X+—+…+十…
2n
5.解因门）=8,f（l）二（2-跆
门1）*8+42机广34,广
（1）=42,严⑴旳（论4）
•J（M=8+廿（—1）+17（兀-1）"
+7（—1）[xe（_oo,+do）.
S（R二£
曲%）=2叫严
6.设和函数贝U■-
羽（X）=匕灾-％产二二也严=二诃=S⑴
R-lZn-0
即⑴二0,S（0）二坷二4,&
（0）二兔二1.
rt/\S（X）二一应"
—X
解上述关于、匚的二阶微分方程，得11
7.解易看出■■-f■"
■'
\而
劇=z[l+—H—+…）二x+--1
II2!
II2!
..v.2x3x二同+1也
/W=1+—+—+■■■=1+Xrx'
xe（-oa,+m）
两边求导，得---
8.级数的和函数为
跑）仝（一1）叫—三㈠）％厂
弘『％
S-1
送（-1）叫严
鬼・1
»
-1nU
X（I）_zir
9.由于级数在-L上收敛，
所以当_'
丨.时，有
航卜i>
+i）八2^x+fx
f■©
、
10.因为幕级数的收敛域是，所以
/W在：
1上的连续，
且可逐项积分。
［讥庖加）*也
证明题：
1.设"
丁』在
yjpw+1
MuR内收敛，若屯』沟+1也收敛，则
2.设f为幂级数「在（-R,R）上的和函数，若f为奇函数,则原级数仅出现奇次幂的项,若f为偶函数,则原级数仅出现偶次幂的项.
3.设函J\定沁0,1］上，证明它在（0,1）满足下述方程:
4.
其中
_2«
-1
7.设门-,'
…■八,
n=\t2,）…曲）=
u>
。
证明：
当
/W+/（l-^）+ln朮（1-M=了
（1）
敛。
„2b-1\
yaKx茁
8.若幕级数二的收敛半径为R（＞0）,且在二上（或时收敛，贝y级数
在［0,R］（或［-R,0］）上一致收敛
9.设函数/W在区间内的各阶导数一致有界,即存在正数M,对一切
心讯）,有12…,证明:
对（讹）内任一点x与対有
y=y—
10.证明：
二■满足方程■.1■■■-1.
答案:
1.证明:
因为当恥血音求收敛,有
J；
jW（=df=£
寻严,Xe（-R,R）
'
诅sj]+1
\a-0
=yA.^+1
Zo«
+1
又当u尸时,二…收敛,从而可知二八在u尸左连续,于
T/（"
二宓才（W＜J?
）：
『（7）二另卜％F（忖＜関
2.，.—.,.-J
当U为奇函数时，有H比川，从而
@+（T）%口（心2…）0加=0（#12…），
加二以卜1严悴旳
这时必有^
当^
为偶函数时，有
了⑴-了（-力二0（|祇&
：
叫-（-1九=0,（»
=121-）
叫!
二附二12・・・），：
=
%）=/V）-r（i-x）+lin（i-x）-Ainx
X1-x
二§
厂_£
（1-矿；
1乞才_］和1严（"
厅
幺"
指“x幺艸1-兀幺n
¥
丿一1V/Ia_^0„J!
-1vXI_—\*-1
=y—-y（I-yj_+y（-］=q
二■■二j二:
二
所以一
所以■.■!
故「；
：
-；
上；
丄-匚/-1.0<
5.因为；
…:
…气—』.：
］，-
勾+1
lim
孤牡2
取极限得到f
監1,
从而级数
H<
-
故…2时,级数z
收敛•
5.对于任意'
t<
R
?
由于XE
◎
所以“，
“纟
所以-'
"
；
又’：
二「的收敛半径厂2
所以匚―
绝对收敛。
何时,
FFX*x5
-X-—
2
In
故
（1+力、
r=L
/35\
AA
X+++…
（1-刃
135丿
/2m+12m+3
|^W|=p
从而
XX
H
i2m+l2科+3
2|xf1+1（2旳+1）（1-护）
lim=l
7.由于-，幕级数的收敛半径是1,
所以当1；
时，i.；
；
可微,
Pg2n-1
且」U-
V0
P口2»
-1pnis+1
kUxJ
=2尙兀+》X隔-@-l^a_i）^3a1
z
p2«
-l|p加竝
二甸x+乙囱#=甸兀+乙陽兀
=矽（x）
即「；
满足方程。
8.证明：
设级数：
-一
在二上时收敛,对于-■■-.<
已知级数
X*
I尺丿-在［0同上递减且
致有界，即
任丫RU
1>
收敛，函数列
由阿贝耳判别法知
在［0同上-致收敛
9•证：
对二-」-由于
所以-'
■-匚丄」」
从
10.证：
因幕级数的收敛区间为匸，它可以在：
一国一乙内逐项微分任意次
V>
„»
-1Vr*-L
而―
/=y———
二川，将「代入有
^+y->
=0
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