8一元二次方程解法及其配套练习1Word文件下载.docx
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本次课授课内容
一元二次方程解法及其配套练习
定义:
只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.
一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后,其中ax2是二次项,a是二次项系数;
bx是一次项,b是一次项系数;
c是常数项.
解法一——直接开方法
适用范围:
可解部分一元二次方程
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)^2=n(n≥0)的方程,其解为x=m±
√n
我们已经讲了x2=9,根据平方根的意义,直接开平方得x=±
3,如果x换元为2t+1,即(2t+1)2=9,我们也可以用直接开方法来解方程。
例1:
解方程:
(1)(2x-1)2=5
(2)x2+6x+9=2(3)x2-2x+4=-1
例2.市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m,求每年人均住房面积增长率.
配套练习题
一、选择题
1.若x2-4x+p=(x+q)2,那么p、q的值分别是().
A.p=4,q=2B.p=4,q=-2C.p=-4,q=2D.p=-4,q=-2
2.方程3x2+9=0的根为().
A.3B.-3C.±
3D.无实数根
3.用配方法解方程x2-
x+1=0正确的解法是().
A.(x-
)2=
,x=
±
B.(x-
)2=-
,原方程无解
C.(x-
,x1=
+
,x2=
D.(x-
)2=1,x1=
,x2=-
二、填空题
1.若8x2-16=0,则x的值是_________.
2.如果方程2(x-3)2=72,那么,这个一元二次方程的两根是________.
3.如果a、b为实数,满足
+b2-12b+36=0,那么ab的值是_______.
三、综合提高题
1.解关于x的方程(x+m)2=n.
2.某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m),另三边用木栏围成,木栏长40m.
(1)鸡场的面积能达到180m2吗?
能达到200m吗?
(2)鸡场的面积能达到210m2吗?
3.在一次手工制作中,某同学准备了一根长4米的铁丝,由于需要,现在要制成一个矩形方框,并且要使面积尽可能大,你能帮助这名同学制成方框,并说明你制作的理由吗?
解法二——配方法
可解全部一元二次方程
引例:
要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少?
配方法解一元二次方程的一般步骤:
(1)现将已知方程化为一般形式;
(2)化二次项系数为1;
(3)常数项移到右边;
(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式;
(5)变形为(x+p)2=q的形式,如果q≥0,方程的根是x=-p±
√q;
如果q<0,方程无实根.
用配方法解一元二次方程小口诀
二次系数化为一
常数要往右边移
一次系数一半方
两边加上最相当
例1.用配方法解下列关于x的方程
(1)x2-8x+1=0
(2)x2-2x-
=0
例2.解下列方程
(1)2x2+1=3x
(2)3x2-6x+4=0(3)(1+x)2+2(1+x)-4=0
例4.用配方法解方程(6x+7)2(3x+4)(x+1)=6
1.配方法解方程2x2-
x-2=0应把它先变形为().
)2=0
2.下列方程中,一定有实数解的是().
A.x2+1=0B.(2x+1)2=0C.(2x+1)2+3=0D.(
x-a)2=a
3.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0,则x+y+z的值是().
A.1B.2C.-1D.-2
4.将二次三项式x2-4x+1配方后得().
A.(x-2)2+3B.(x-2)2-3C.(x+2)2+3D.(x+2)2-3
5.已知x2-8x+15=0,左边化成含有x的完全平方形式,其中正确的是().
A.x2-8x+(-4)2=31B.x2-8x+(-4)2=1
C.x2+8x+42=1D.x2-4x+4=-11
6.如果mx2+2(3-2m)x+3m-2=0(m≠0)的左边是一个关于x的完全平方式,则m等于().
A.1B.-1C.1或9D.-1或9
二、填空题
1.方程x2+4x-5=0的解是________.
2.代数式
的值为0,则x的值为________.
3.已知(x+y)(x+y+2)-8=0,求x+y的值,若设x+y=z,则原方程可变为_______,所以求出z的值即为x+y的值,所以x+y的值为______.
4.如果x2+4x-5=0,则x=_______.
5.无论x、y取任何实数,多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数.
6.如果16(x-y)2+40(x-y)+25=0,那么x与y的关系是________.
1.用配方法解方程.
(1)9y2-18y-4=0
(2)x2+3=2
x
2.已知三角形两边长分别为2和4,第三边是方程x2-4x+3=0的解,求这个三角形的周长.
3.如果x2-4x+y2+6y+
+13=0,求(xy)z的值.
解法三——公式法
首先,要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根
1.当Δ=b^2-4ac<
0时x无实数根(初中)
2.当Δ=b^2-4ac=0时x有两个相同的实数根即x1=x2
3.当Δ=b^2-4ac>
0时x有两个不相同的实数根
当判断完成后,若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式:
x={-b±
√(b^2-4ac)}/2a来求得方程的根
求根公式的推导
用配方法解方程
(1)ax2-7x+3=0
(2)ax2+bx+3=0
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定,因此:
(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,将a、b、c代入式子x=
就得到方程的根.(公式所出现的运算,恰好包括了所学过的六中运算,加、减、乘、除、乘方、开方,这体现了公式的统一性与和谐性。
)
(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.公式的理解
(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.
例1.用公式法解下列方程.
(1)2x2-x-1=0
(2)x2+1.5=-3x(3)x2-
x+
=0(4)4x2-3x+2=0
分析:
用公式法解一元二次方程,首先应把它化为一般形式,然后代入公式即可.
补:
(5)(x-2)(3x-5)=0
例2.某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1)
+(m-2)x-1=0提出了下列问题.
(1)若使方程为一元二次方程,m是否存在?
若存在,求出m并解此方程.
(2)若使方程为一元二次方程m是否存在?
若存在,请求出.
你能解决这个问题吗?
一、选择题
1.用公式法解方程4x2-12x=3,得到().
A.x=
B.x=
C.x=
D.x=
2.方程
x2+4
x+6
=0的根是().
A.x1=
B.x1=6,x2=
C.x1=2
D.x1=x2=-
3.(m2-n2)(m2-n2-2)-8=0,则m2-n2的值是().
A.4B.-2C.4或-2D.-4或2
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是________,条件是________.
2.当x=______时,代数式x2-8x+12的值是-4.
3.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2+2m-3=0有一根为0,则m的值是_____.
1.用公式法解关于x的方程:
x2-2ax-b2+a2=0.
2.设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,
(1)试推导x1+x2=-
,x1·
x2=
;
(2)求代数式a(x13+x23)+b(x12+x22)+c(x1+x2)的值.
3.某电厂规定:
该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时,那么这户居民这个月只交10元电费,如果超过A千瓦时,那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时
元收费.
(1)若某户2月份用电90千瓦时,超过规定A千瓦时,则超过部分电费为多少元?
(用A表示)
(2)下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况
月份
用电量(千瓦时)
交电费总金额(元)
3
80
25
4
45
10
根据上表数据,求电厂规定的A值为多少?
解法四——分解因式法
因式分解法又分“提公因式法”、“公式法(又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种)”和“十字相乘法”。
因式分解法是通过将方程左边因式分解所得,因式分解的内容在八年级上学期学完。
解下列方程.
(1)2x2+x=0
(2)3x2+6x=0
上面两个方程中都没有常数项;
左边都可以因式分解:
2x2+x=x(2x+1),3x2+6x=3x(x+2)
因此,上面两个方程都可以写成:
(1)x(2x+1)=0
(2)3x(x+2)=0
因为两个因式乘积要等于0,至少其中一个因式要等于0,也就是:
(1)x=0或2x+1=0,所以x1=0,x2=-
.
(2)3x=0或x+2=0,所以x1=0,x2=-2.
因此,我们可以发现,上述两个方程中,其解法都不是用开平方降次,而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.
例1.解方程
(1)4x2=11x
(2)(x-2)2=2x-4
例2.已知9a2-4b2=0,求代数式
的值.
例3.我们知道x2-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b),那么x2-(a+b)x+ab=0就可转化为(x-a)(x-b)=0,请你用上面的方法解下列方程.
(1)x2-3x-4=0
(2)x2-7x+6=0(3)x2+4x-5=0
1.下面一元二次方程解法中,正确的是().
A.(x-3)(x-5)=10×
2,∴x-3=10,x-5=2,∴x1=13,x2=7
B.(2-5x)+(5x-2)2=0,∴(5x-2)(5x-3)=0,∴x1=
,x2=
C.(x+2)2+4x=0,∴x1=2,x2=-2
D.x2=x两边同除以x,得x=1
2.下列命题①方程kx2-x-2=0是一元二次方程;
②x=1与方程x2=1是同解方程;
③方程x2=x与方程x=1是同解方程;
④由(x+1)(x-1)=3可得x+1=3或x-1=3,其中正确的命题有().
A.0个B.1个C.2个D.3个
3.如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根,那么m-n的值为().
A.-
B.-1C.
D.1
1.x2-5x因式分解结果为_______;
2x(x-3)-5(x-3)因式分解的结果是______.
2.方程(2x-1)2=2x-1的根是________.
3.二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为________;
如果令x2+20x+96=0,那么它的两个根是_________.
1.用因式分解法解下列方程.
(1)3y2-6y=0
(2)25y2-16=0(3)x2-12x-28=0(4)x2-12x+35=0
2.已知(x+y)(x+y-1)=0,求x+y的值.
小结:
一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般形式,同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。
公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算根的判别式的值,以便判断方程是否有解。
配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法解一元二次方程。
但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一,一定要掌握好。
(三种重要的数学方法:
换元法,配方法,待定系数法)。
三种方法(配方法、公式法、因式分解法)的联系与区别:
联系:
①降次,即它的解题的基本思想是:
将二次方程化为一次方程,即降次.
②公式法是由配方法推导而得到.
③配方法、公式法适用于所有一元二次方程,因式分解法适用于某些一元二次方程.
区别:
①配方法要先配方,再开方求根.
②公式法直接利用公式求根.
③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘,另一边为0,再分别使各一次因式等于0.
如何选择最简单的解法
1.看是否能用因式分解法解(因式分解的解法中,先考虑提公因式法,再考虑平方公式法,最后考虑十字相乘法)
2.看是否可以直接开方解
3.使用公式法求解
4.最后再考虑配方法(配方法虽然可以解全部一元二次方程,但是有时候解题太麻烦)。
如果要参加竞赛,可按如下顺序:
1.因式分解
2.韦达定理3.判别式4.公式法5.配方法6.开平方7.求根公式8.表示法