高中数学《数系的扩充和复数的概念》教案文档格式.docx
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1、数系扩充这个内容,采取问题引入,教师讲解的方式。
采取问题引入,是为了让学生体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充中的作用,进一步的感受到人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系,体现数学的人文价值。
在数学史的介绍中,让学生体会创新,要敢于突破,敢于质疑,敢于提出新的看法,进而渗透德育教育。
通过对复数系的扩张,理解“i”的形成过程,有助于学生了解虚数单位的实质,更深入的了解复数、虚数的概念,从而避免数学的形式化。
2、复数的概念,为本节课的重点。
本着以人为本的原则,结合学生的理解能力与思维方式采取引导的方法,让学生自主思考,以引导思路、规范过程为主,采取探究式教学,更多的注重课堂教学的生成性。
在学习过程中通过归纳(归纳出复数的一般形式)、类比(虚数、实数的对比)、特殊化(复数、实数、虚数的关系)等,让学生体会开拓性研究的思路,了解处理新问题的方法。
3、例题与练习,以教材为蓝本,学生练习为主,老师巡堂、指出问题并规范过程。
例题与练习相结合,难度上由浅入深,逐层深入,让学生的对复数的概念形成一个理性——感性——理性的一个螺旋上升的过程,从而在概念理解上更加透彻。
在巡堂过程中,对个别的问题单独指导,对普遍出现的问题在课堂上可以进行探究。
课题:
数系的扩充和复数的概念
教材:
人教A版
1、教学目标
(1)在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.
(2)理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.
【教学目标说明】
德育方面:
1、通过对探究题的设置,让学生能够自然的了解研究问题的一般方法,能够自然的提出问题,并在老师的引导下逐步达到自主解决问题。
接下来让学生清楚研究新问题的一般流程:
新概念新旧概念的联系与区别新概念的新性质研究
2、对数学发展史的了解和数系的扩充,体现数学的人文价值,以此激发学生的学习兴趣。
希望通过数系的扩充,让学生体会研究过程中有辛酸的挫折也有欣喜的成果,渗透研究精神。
能力方面:
1、类比推理能力。
数系扩充类比;
复数与实数类比;
运算规则类比;
大小比较类比。
2、归纳整理能力。
新旧知识的梳理与归纳;
复数形式的归纳。
知识方面:
1、复数概念理解:
关键在于“i”的理解。
“i”可以看作一个单位,作为纯虚数部分的度量;
也可以看成一个方向;
“i”也可以类似基底进行理解。
即复数在(1,i)上分解。
2、复数相等的充要条件:
从分解上讲,就比较容易理解。
2、教学重点
(1)数系的扩充过程.
(2)复数的概念、复数的分类和复数相等的充要条件.
3、教学难点
(1)虚数单位的理解.
(2)复数的大小比较。
3、教学方法:
讲解式、启发式、探究式
【教学方法说明】
对于复数的概念采取引导的方法,让学生自主的思考,采取探索式教学,更多的注重生成性。
复数的概念主要3个方面:
复数的形式、“i”的理解、复数相等的充要条件。
复数的形式:
归纳为主,将实数、虚数“一网打尽”,可以写作“a+bi”的形式。
可以由教师引导,学生归纳的方式。
“i”的理解:
教师引导,学生讨论,教师总结的方式。
一方面能提高学生的课堂参与度,另一方面也能够让学生对新概念认识深刻。
复数相等的充要条件:
由学生自己体会并提出来,不需要证明。
但是需要让学生去结合“i”的理解,进行类比思考。
注意要强调实部虚部必须为实数。
教学手段:
多媒体辅助教学
4、教学过程:
(一)引入新课.
问题1:
能否寻找两个数,使得它们的和为10,乘积为40。
利用设元的方法,转化为一个一元二次方程求解,可以发现判别式小于0。
工作无法继续!
怎么办?
(学生回答)
问题2:
(学生回答)考虑下列问题,你能否得到新的思路:
方程
在已知数系中的解集探究:
(1)在有理数集中。
(无有理数解)
(2)在实数集中。
(
)
(二)讲授新课.
1、数系扩充引入:
问题2表明,对于同一个方程在不同的数系中其解的情况是不一样的。
对于问题2中的方程在有理数中不可解但在实数集却是可解得,由此得到启发:
对于问题1在实数集不可解,但是是非存在一个新的数集,使得在新的数集上问题1可以得到解决?
如果存在,那又是一个什么样的数集呢?
2、数系扩充史简述:
最早于到涉及到问题1并提出形式解决的是1545年意大利数学怪杰—卡尔丹诺在解决三次方程的根是遇到了一个问题:
求两个数使得他们的和为10,乘积为40。
卡丹得到了形式上的解决:
,
。
但是对于
没有给出任意的解释,在此只是作为一个形式与开方的记号出现。
直到解析几何的开山始祖—笛卡尔才开始给出了一个和实数(realnumber)对应的名称虚数(imaginarynumber)。
实际上:
从形式上,
,或者对任意的负数开方都可以写成:
(a<
0)的形式,所以搞清楚负数开方的问题也就等价于搞清楚
对此,伟大的数学家欧拉第一个提出“i”作为一个虚数单位(类似于力的单位是N,虚数的单位规定是i)。
规定:
而真正对复数进行系统化、严密化、逻辑化的工作出自数学王子高斯的手下,高斯正式的提出“复数”一词,并对复数进行的运算法则、复数范围内多项式方程的解等进行了一系列研究。
从此,虚数也就不“虚”,正式进入数学的大家庭并在信号处理、航空航天、函数处理等领域发挥出巨大的威力。
3、复数的引入和数系的扩充
因此,在欧拉引入虚数单位i之后,卡尔丹诺的方程的解在实数系中无解,但在在复数范围内解存在,
可以写成
一般的,如果
,则称为复数,其中i是虚数单位。
所有的复数构成的集合称为复数集。
一般的复数通常用字母表示,即
其中a称为实部,b称为虚部。
从此,世界上就一种新的数系—复数系登上了数学的舞台,并为解决很多的实际问题提供了一种新的有力的工具。
至此,我们对数系的发展有了比较完整的了解,回顾从幼儿园到现在我们学习了那些数呢?
能不能做一个表?
复数
从这个表中我们也可以发现数学的发展的动力来自于问题,为解决矛盾而进行数域的拓展。
4、复数的进一步探讨:
我们学习了那么多的数集,有必要对此进行一个分类,进行整理,了解他们的相互关系:
探究1:
讨论特殊的复数:
1)如果
时,是什么数?
(实数)
2)如果
时,是什么数?
(虚数)
3)如果
,是什么数?
(纯虚数)
4)总结虚数、纯虚数、实数、复数之间关系,并画出集合韦恩图。
练习:
判断
各是什么数?
具体回答:
实数、虚数、纯虚数。
如果是虚数指出其实部和虚部。
练习2、判断下列命题是否正确:
(1)若a、b为实数,则Z=a+bi为虚数
(2)若b为实数,则Z=bi必为纯虚数
(3)若a为实数,则Z=a一定不是虚数
1)、复数、虚数、纯虚数的关系和判断原则。
例:
何时为实数,何时为虚数?
何时为纯虚数?
答案:
练习1:
答案:
;
探究2:
1)、实数可否比较大小?
那么复数呢?
可否比较大小?
能否判断两个复数相等。
2)、给出复数相等的条件:
如果
则
的充要条件是a=c,b=d。
注:
此问题本质上归结于对虚数单位“i”的理解。
可以从3个角度理解:
1)单位角度理解(理解i的本质)。
2)基底角度理解(思考角度拓展)。
3)方向类比理解(可以为后面的几何意义(向量类比)做伏笔)
例3:
如果
,求实数x,y的值。
解:
由复数相等的条件知:
解之:
所以x=4,y=-2。
分析:
先计算x、y,然后计算a、b。
a=1,b=2
7:
课堂小节:
1)数学的发展来源于问题—事物在矛盾中前进。
2)复数有关概念。
3)复数与实数、虚数的关系。
4)复数相等的条件。
8、分层作业(略)
9、教学反馈
本节课学生的问题集中在虚数不能比较大小,他们表示不可以理解为何实数能够比较虚数不可以。
问题主要归结为两种类型:
纯虚数的比较,与虚部相同虚数的比较。
(1)纯虚数的比较:
他们认为5i>
3i.理由是5>
3。
这个理由是不成立的。
一个通俗的、不严密的解释:
因为不等式两边同时乘一个数,不等号变向问题依赖于所乘数的正负,而显然i是无法判断正负的。
因为i是虚数单位,而0是实数的范畴。
(2)虚部相同的虚数比较:
他们认为5+3i>
2+3i.其实,这个问题与上面的解释类似,都要求对同一数域加减,而3i是虚数,5和3是实数。
此种解释并不能让学生满意,最好的解释就是类比向量。
如果这样的问题严格的解释会涉及到数域中不等关系的定义问题,一方面是学生知识储备不足,另一方面是学生的理解能力也未必足够,因此留作课后探究,课堂上不可涉及太多。