高三数学分章节复习资料内有详解可学生自学选修45 第1讲 不等式含有绝对值的不等式Word文件下载.docx

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R

（2）|ax＋b|≤c（c>

0）和|ax＋b|≥c（c>

0）型不等式的解法

①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；

②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.

（3）|x－a|＋|x－b|≥c（c>

0）和|x－a|＋|x－b|≤c（c>

法一：

利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

法二：

利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

法三：

通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

诊断自测

1．不等式1＜|x＋1|＜3的解集为________．

解析　数轴上的点到－1的距离大于1且小于3的全体实数为所求解集．

答案　（－4，－2）∪（0,2）

2．设ab＞0，下面四个不等式中，正确命题的序号是________．

①|a＋b|＞|a|；

②|a＋b|＜|b|；

③|a＋b|＜|a－b|；

④|a＋b|＞|a|－|b|.

解析　∵ab＞0，∴a，b同号，∴|a＋b|＝|a|＋|b|，∴①和④正确．

答案　①④

3．不等式|x－8|－|x－4|＞2的解集为________．

解析　令：

f（x）＝|x－8|－|x－4|＝

当x≤4时，f（x）＝4＞2；

当4＜x≤8时，f（x）＝－2x＋12＞2，得x＜5，

∴4＜x＜5；

当x＞8时，f（x）＝－4＞2不成立．

故原不等式的解集为：

{x|x＜5}．

答案　{x|x＜5}

4．（·

山东卷）若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.

解析　∵|kx－2|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.

∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.

答案　2

5．已知关于x的不等式|x－1|＋|x|≤k无解，则实数k的取值范围是________．

解析　∵|x－1|＋|x|≥|x－1－x|＝1，∴当k＜1时，不等式|x－1|＋|x|≤k无解，故k＜1.

答案　（－∞，1）

考点一　含绝对值不等式的解法

【例1】解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5.

解　法一　如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A、B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．显然，区间[－2,1]不是不等式的解集．把A向左移动一个单位到点A1，此时A1A＋A1B＝1＋4＝5.把点B向右移动一个单位到点B1，此时B1A＋B1B＝5，故原不等式的解集为（－∞，－3]∪[2，＋∞）．

法二　原不等式|x－1|＋|x＋2|≥5⇔

或

解得x≥2或x≤－3，

∴原不等式的解集为（－∞，－3]∪[2，＋∞）．

法三　将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0.

令f（x）＝|x－1|＋|x＋2|－5，则

f（x）＝

作出函数的图象，如图所示．

由图象可知，当x∈（－∞，－3]∪[2，＋∞）时，y≥0，

规律方法形如|x－a|＋|x－b|≥c（或≤c）型的不等式主要有三种解法：

（1）分段讨论法：

利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为（－∞，a]，（a，b]，（b，＋∞）（此处设a＜b）三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．

（2）几何法：

利用|x－a|＋|x－b|＞c（c＞0）的几何意义：

数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－（x－b）|＝|a－b|.

（3）图象法：

作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解．

【训练1】解不等式|x＋3|－|2x－1|＜

＋1.

解　①当x＜－3时，原不等式化为－（x＋3）－（1－2x）＜

＋1，解得x＜10，∴x＜－3.

②当－3≤x＜

时，原不等式化为（x＋3）－（1－2x）＜

＋1，解得x＜－

，∴－3≤x＜－

.

③当x≥

时，原不等式化为（x＋3）－（2x－1）＜

＋1，解得x＞2，∴x＞2.

综上可知，原不等式的解集为

考点二　含参数的绝对值不等式问题

【例2】已知不等式|x＋1|－|x－3|＞a.分别求出下列情形中a的取值范围．

（1）不等式有解；

（2）不等式的解集为R；

（3）不等式的解集为∅.

解　法一　因为|x＋1|－|x－3|表示数轴上的点P（x）与两定点A（－1），B（3）距离的差，

即|x＋1|－|x－3|＝PA－PB.

由绝对值的几何意义知，

PA－PB的最大值为AB＝4，

最小值为－AB＝－4，

即－4≤|x＋1|－|x－3|≤4.

（1）若不等式有解，a只要比|x＋1|－|x－3|的最大值小即可，故a＜4.

（2）若不等式的解集为R，即不等式恒成立，

只要a比|x＋1|－|x－3|的最小值还小，即a＜－4.

（3）若不等式的解集为∅，a只要不小于|x＋1|－|x－3|的最大值即可，即a≥4.

法二　由|x＋1|－|x－3|≤|x＋1－（x－3）|＝4.

|x－3|－|x＋1|≤|（x－3）－（x＋1）|＝4.

可得－4≤|x＋1|－|x－3|≤4.

（1）若不等式有解，则a＜4；

（2）若不等式的解集为R，则a＜－4；

（3）若不等式解集为∅，则a≥4.

规律方法本题中

（1）是含参数的不等式存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；

不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集∅的对立面（如f（x）＞m的解集是空集，则f（x）≤m恒成立）也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f（x）＜a恒成立⇔a＞f（x）max，f（x）＞a恒成立⇔a＜f（x）min.

【训练2】设函数f（x）＝|x－a|＋3x，其中a>

0.

（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥3x＋2的解集；

（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．

解　

（1）当a＝1时，f（x）≥3x＋2可化为|x－1|≥2.

由此可得x≥3或x≤－1.

故不等式f（x）≥3x＋2的解集为{x|x≥3，或x≤－1}．

（2）由f（x）≤0得|x－a|＋3x≤0.

此不等式化为不等式组

即

因为a>

0，所以不等式组的解集为

由题设可得－

＝－1，故a＝2.

考点三　含绝对值的不等式的应用

【例3】（·

新课标全国Ⅰ卷）已知函数f（x）＝|2x－1|＋|2x＋a|，g（x）＝x＋3.

（1）当a＝－2时，求不等式f（x）<

g（x）的解集；

（2）设a>

－1，且当x∈

时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．

解　

（1）当a＝－2时，不等式f（x）＜g（x）化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.

设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，

则y＝

其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x∈（0,2）时，y＜0.

所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．

（2）当x∈

时，f（x）＝1＋a，

不等式f（x）≤g（x）化为1＋a≤x＋3，

所以x≥a－2对x∈

都成立，

应有－

≥a－2，则a≤

，

从而实数a的取值范围是

规律方法含有多个绝对值的不等式，可以分别令各绝对值里的式子为零，并求出相应的根．把这些根从小到大排序，以这些根为分界点，将实数分成若干小区间．按每个小区间来去掉绝对值符号，解不等式，最后取每个小区间上相应解的并集．

【训练3】（·

新课标全国卷）已知函数f（x）＝|x＋a|＋|x－2|.

（1）当a＝－3时，求不等式f（x）≥3的解集；

（2）若f（x）≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．

解　

（1）当a＝－3时，f（x）＝

当x≤2时，由f（x）≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；

当2<

3时，f（x）≥3无解；

当x≥3时，由f（x）≥3得

2x－5≥3，解得x≥4.

所以f（x）≥3的解集为{x|x≤1，或x≥4}．

（2）f（x）≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.

当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|⇔4－x－（2－x）≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a.

由条件得－2－a≤1且2－a≥2，

即－3≤a≤0.

故满足条件的a的取值范围是[－3,0].

绝对值三角不等式的应用

【典例】（·

福建卷）设不等式|x－2|＜a（a∈N*）的解集为A，且

∈A，

∉A.

（1）求a的值；

（2）求函数f（x）＝|x＋a|＋|x－2|的最小值．

[审题视点]　

（1）利用条件

∉A，建立不等式，求a的值；

（2）利用绝对值三角不等式进行放缩求解．

解　

（1）∵

∴

＜a，且

≥a，因此

＜a≤

又a∈N*，从而a＝1.

（2）由

（1）知，f（x）＝|x＋1|＋|x－2|，

又|x＋1|＋|x－2|≥|（x＋1）－（x－2）|＝3，

当且仅当（x＋1）（x－2）≤0，即－1≤x≤2时等号成立．

故f（x）的最小值为3.

[反思感悟]　本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分的主要原因；

对于需求最值的情况，可利用绝对值三角不等式性质定理：

||a|－|b||≤|a±

b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项来放缩求解．

【自主体验】

1．若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋

对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．

解析　当a＜0时，显然成立；

当a＞0时，∵|x＋1|＋|x－3|的最小值为4，

∴a＋

≤4.∴a＝2.

综上可知a的取值范围是（－∞，0）∪{2}．

答案　（－∞，0）∪{2}

2．（·

陕西卷）若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．

解析　∵|x－a|＋|x－1|≥|（x－a）－（x－1）|＝|a－1|，

要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，

可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，

∴－2≤a≤4.

答案　[－2,4]

一、填空题

1．不等式|2x－1|＜3的解集为________．

解析　|2x－1|＜3⇔－3＜2x－1＜3⇔－1＜x＜2.

答案　（－1,2）

2．不等式|2x－1|－|x－2|＜0的解集为________．

解析　法一　原不等式即为|2x－1|＜|x－2|，

∴4x2－4x＋1＜x2－4x＋4，∴3x2＜3，∴－1＜x＜1.

∴原不等式解集为{x|－1<

1|}．

法二　原不等式等价于不等式组

①

或②

③

不等式组①无解，由②得

＜x＜1，由③得－1＜x≤

综上得－1＜x＜1，所以原不等式的解集为{x|－1＜x＜1}．

答案　{x|－1＜x＜1}

3．（·

广东卷）不等式|x＋2|－|x|≤1的解集为________．

解析　①当x≤－2时，原不等式可化为－x－2＋x≤1，该不等式恒成立．

②当－2＜x＜0时，原不等式可化为x＋2＋x≤1，

∴2x≤－1，∴x≤－

，∴－2＜x≤－

③当x≥0时，原不等式可化为x＋2－x≤1，不成立．

综上，原不等式的解集为

答案　

4．若不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为________．

解析　由|3x－b|＜4得－4＜3x－b＜4，

＜x＜

∵不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则

⇒

∴5＜b＜7.

答案　（5,7）

5．（·

江西卷）在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1（x∈R）的解集是________．

解析　由||x－2|－1|≤1，得－1≤|x－2|－1≤1，即0≤|x－2|≤2，

∴－2≤x－2≤2，∴0≤x≤4.

答案　{x|0≤x≤4}

6．不等式|x＋1|－|x－2|＞k的解集为R，则实数k的取值范围是________．

解析　法一　根据绝对值的几何意义，设数x，－1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B，则原不等式等价于PA－PB＞k恒成立．∵AB＝3，即|x＋1|－|x－2|≥－3.

故当k＜－3时，原不等式恒成立．

法二　令y＝|x＋1|－|x－2|，

要使|x＋1|－|x－2|＞k恒成立，从图象中可以看出，只要k＜－3即可．

故k＜－3满足题意．

答案　（－∞，－3）

7．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．

解析　∵f（x）＝|x＋1|＋|x－2|＝

∴f（x）≥3.要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，

∴|a|≥3，即a≤－3或a≥3.

答案　（－∞，－3]∪[3，＋∞）

8．若关于x的不等式x＋|x－1|≤a有解，则实数a的取值范围为________．

解析　法一　当x≥1时，不等式化为x＋x－1≤a，即x≤

此时不等式有解当且仅当1≤

，即a≥1.

当x＜1时，不等式化为x＋1－x≤a，即1≤a.

此时不等式有解当且仅当a≥1.

综上所述，若关于x的不等式x＋|x－1|≤a有解，

则实数a的取值范围是[1，＋∞）．

法二　设f（x）＝x＋|x－1|，则f（x）＝

f（x）的最小值为1.

因为x＋|x－1|≤a有解，即f（x）≤a有解，所以a≥1.

答案　[1，＋∞）

9．已知h＞0，a，b∈R，命题甲：

|a－b|＜2h；

命题乙：

|a－1|＜h且|b－1|＜h，则甲是乙的________条件．

解析　|a－b|＝|a－1＋1－b|≤|a－1|＋|b－1|＜2h，故由乙能推出甲成立，但甲成立不能推出乙成立，所以甲是乙的必要不充分条件．

答案　必要不充分

二、解答题

10．设函数f（x）＝|2x＋1|－|x－4|.

（1）解不等式f（x）＞2；

（2）求函数y＝f（x）的最小值．

解　

（1）法一　令2x＋1＝0，x－4＝0分别得x＝－

，x＝4.原不等式可化为：

∴原不等式的解集为

法二　f（x）＝|2x＋1|－|x－4|＝

画出f（x）的图象

求y＝2与f（x）图象的交点为（－7,2），

由图象知f（x）＞2的解集为

（2）由

（1）的法二知：

f（x）min＝－

11．（·

辽宁卷）已知f（x）＝|ax＋1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．

（2）若

≤k恒成立，求k的取值范围．

解　

（1）由|ax＋1|≤3得－4≤ax≤2.

又f（x）≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，

所以当a≤0时，不合题意．

当a>

0时，－

≤x≤

，得a＝2.

（2）记h（x）＝f（x）－2f

＝|2x＋1|－|2x＋2|，

则h（x）＝

所以|h（x）|≤1，因此k≥1.

故k的取值范围是[1，＋∞）．

12．设函数f（x）＝|x－1|＋|x－a|.

（1）若a＝－1，解不等式f（x）≥3；

（2）如果∀x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．

解　

（1）当a＝－1时，f（x）＝|x－1|＋|x＋1|，

作出函数f（x）＝|x－1|＋|x＋1|的图象．

由图象可知，不等式f（x）≥3的解集为

（2）若a＝1，f（x）＝2|x－1|，

不满足题设条件；

若a＜1，

f（x）的最小值为1－a；

若a＞1，

f（x）的最小值为a－1.

∴对于∀x∈R，f（x）≥2的充要条件是|a－1|≥2，

∴a的取值范围是（－∞，－1]∪[3，＋∞）．