普通高等教育十一五国家级规划教材.docx

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普通高等教育十一五国家级规划教材

普通高等教育“十一五”国家级规划教材

经济管理数学基础系列

线性代数

标准化作业

（C）

吉林大学数学中心

2012年9月

学院班级姓名学号

第一章作业

（行列式）

1、计算下列各行列式的值：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）.

2、设4阶行列式的第2列元素依次为2、m、k、1，第2列元素的余子式依次为1、-1、1、-1，第4列元素的代数余子式依次为3、1、4、5，且行列式的值为2，求m、k的值.

3、设a,b,c,d是不全为零的实数,证明线性方程组

仅有零解.

4、已知齐次线性方程组有非零解，求λ的值.

学院班级姓名学号

第二章作业

（矩阵）

1、是非题（设A、B、C均为n阶的方阵）

（1）（A+B）（A-B）=A2-B2；（）

（2）若AX=AY，则X=Y，其中X、Y都是n×m矩阵；（）

（3）若A2=O，则A=O；（）

（4）若AB=O，则A=O或B=O；　　（）

（5）（ABC）T=CTBTAT；（）

（6）（A+B）=A+B。

（）

2、填空题

（1）设3阶方阵Ｂ0，A=，且AB=O，则＝　　　　；

（2）设A＝，A为A的伴随矩阵，则（A）=　　　　；

（3）设A为4阶标量矩阵，且|A|=16，则A＝　　　　，A＝　　　　，

A＝　　　　　；

（4）设A,B均为n阶方阵,且，其中A为对称矩阵且可逆，求＝　　　　　　　　　　　；

（5）设A＝，则│A│＝　　　，A＝；

（6）设实矩阵A＝O，（为的代数余子式），则│A│＝　　　　；

（7）设A为4阶可逆方阵，且│A│＝2，则│3（A）－2A│＝　　　　；

（8）设A为2阶方阵，B为3阶方阵，且│A│＝＝，则＝　　　　；

（9）设A＝，则A＝；

（10）设A为5阶方阵，且A2=O，则R（A*）＝__________.

3、选择题

（1）若A，B为同阶方阵，且满足AB＝O，则有（　　）.

　　（A）A＝O或B＝O；　　　　　（B）|A|＝0或|B|＝0；

　　（C）（A＋B）＝A＋B；　　　（D）A与B均可逆.

（2）若由AB=AC（A，B，C为同阶方阵）能推出B=C，则A满足（　　）.

　　（A）AO；（B）A＝O；　（C）|A|0；（D）|AB|0.

（3）若A，B为同阶方阵，则有（　　）.

　（A）（AB）＝AB；　　　　　　　（B）|－AB|＝－|AB|；

　（C）E－（AB）＝（E－AB）（E＋AB）；（D）|A＋B|＝|A|＋|B|.

（4）已知A为任意n阶方阵，若有n阶方阵B使AB＝BA＝A，则（　　）.

　　（A）B为单位矩阵；（B）B为零方阵；（C）B＝A；（D）不一定.

（5）若A，B，（B+A）为同阶可逆方阵，则（B+A）＝（　　）.

（A）B+A；（B）B＋A；（C）（B+A）；（D）B（B+A）A.

（6）设A为3阶方阵，且|A|＝3，为A的伴随矩阵，若交换A的2，3两行得到矩阵B，则＝（　　）.

（A）27；（B）－27；（C）3；（D）－3.

4、计算题:

（1）;

（2）;

（3）;（4）;

（5）.

5、计算下列方阵的幂:

（1）已知α=（1，2，3），β=（1，－1，2），A=αTβ，求A4.

（2）已知，求n.

（3）已知，求n.

6、设3阶矩阵，其中α，β，γ1，γ2均为3维行向量，且|A|=18，|B|=2，求|A-B|.

7、设若矩阵A与B可交换，求a、b的值.

8、求下列矩阵的逆矩阵:

（1）A＝；

（2）A＝.

9、已知A＝，B＝，C＝，求解下列矩阵方程：

（1）AX=X+C;

（2）　AXB=C．

10、设矩阵且满足ABA*+BA*+180E=O，求矩阵B.

11、设A为n阶可逆矩阵，将A的第i行和第j行对换后得矩阵B，试证：

（1）B可逆；

（2）求AB-1。

12、设A为n阶可逆对称阵，B为n阶对称阵，当E+AB可逆时，试证（E+AB）-1A为对称矩阵。

13、把下列矩阵化为行最简形矩阵:

（1）

（2）.

14、把下列矩阵化为标准形矩阵

（1）；

（2）.

15、利用初等矩阵计算:

（1）；

（2）已知AX=B，其中

求X.

16、求下列矩阵的秩:

（1）；

（2）.

17、设A为n阶方阵，是A的伴随矩阵，证明:

（1）当时，;

（2）当时，;

（3）当时，.

学院班级姓名学号

第三章作业

（向量组的线性相关性）

1、填空题

（1）设β=（3，-4），α1=（1，2），α2=（-1，3），则β表成α1，α2的线性组合为；

（2）设向量组α1=（1，1，0），α2=（1，3，-1），α3=（5，3，t）线性相关，则t=；

（3）设向量组α1=（1，1，0），α2=（1，3，-1），α3=（5，3，t）的秩为3，则参数t应满足的条件是；

（4）设向量组，，，若由形成的向量空间的维数为2，则参数a=；

（5）已知向量,,,,

且可由线性表示,不能由线性表示，则参数

a=.

2、选择题

（1）设β，α1，α2线性相关，β，α2，α3线性无关，则正确的结论是（）.

（A）α1，α2，α3线性相关；（B）α1，α2，α3线性无关；

（C）α1可由β，α2，α3线性表示；（D）β可由α1，α2线性表示.

（2）设α1，α2，α3，α4，其中c1，c2，c3，c4为任意常数，则下列向量组线性相关的是（）.

（A）α1，α2，α3；（B）α1，α2，α4；（C）α1，α3，α4；（D）α2，α3，α4.

（3）下列说法中正确的是（）.

（A）向量组线性无关，则不能由线性表示;

（B）向量组线性相关，则能由线性表示;

（C）向量组线性无关，则减少分量后所得的向量组也线性无关;

（D）含有零向量的向量组必线性相关，而不含零向量的向量组必线性无关.

（4）设和为两个n维向量组，且

，则（）.

（A）两向量组等价;

（B）;

（C）当时，两向量组等价;

（D）当能被线性表示时，也能被线性表示.

（5）已知是3维非零向量，则下列说法中错误的是（）.

（A）如果不能由线性表出，则线性相关;

（B）如果线性相关，线性相关，那么也线性相关;

（C）如果不能由线性表出，不能由线性表出，则可以由线性表出;

（D）如果，则可以由线性表出.

3、求向量组的秩，并求出它的一个极大无关组。

4、设β能由α1，α2，…，αm线性表示，则表示法唯一的充分必要条件是α1，α2，…，αm线性无关.

5、已知向量组

（1）试验证1，2，3是R3的一个基；

（2）把用这个基线性表示。

6、设向量组线性相关，且其中任意个向量都线性无关，试证:

必存在一组全都不为零的数，使得.

7、设3维向量组线性无关，A是3阶矩阵，且有

，，，

试求.

学院班级姓名学号

第四章作业

（线性方程组）

1、填空题

（1）n元线性方程组Ax=0有非零解时，它的每一个基础解系所含解向量的个数均为；

（2）设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且R（A）=n-1，则方程组Ax=0的通解为；

（3）设是4元方程组的三个解向量，且R（A）=3，，，则方程组的通解为；

（4）设是方程组的解向量，若也是的解，；

（5）设线性方程组的系数矩阵为A，且存在3阶非零矩阵B使得，则.

2、选择题

（1）设n元线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩为n-3，且α1，α2，α3为线性方程组Ax=0的三个线性无关的解向量，则方程组Ax=0的基础解系为（）.

（A）α1+α2，α2+α3，α3+α1；（B）α2-α1，α3-α2，α1-α3；

（C）2α2-α1，α3-α2，α1-α3；（D）α1+α2+α3，α3--α2，-α1-2α3.

（2）设α1，α2是n元线性方程组Ax=0的两个不同的解向量，R（A）=n-1，k为任意常数，则方程组Ax=0的通解为（）.

（A）kα1；（B）kα2；（C）k（α1-α2）；（Dk（α1+α2）.

（3）设向量组α1，α2是方程组Ax=0的基础解系，β1，β2是方程组Ax=b的两个解向量，k1，k2是任意常数，则方程组Ax=b的通解为（）.

（A）；（B）

（C）（D）

（4）设非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组Ax=0，则下面结论正确的是（）.

（A）若Ax=0有唯一解，则Ax=b必有唯一解；

（B）若Ax=0有唯一解，则Ax=B必无解；

（C）若Ax=0有无穷多个解，则Ax=b也有无穷多个解；

（D）若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0也有无穷多个解.

（5）设n阶方阵的伴随矩阵，若是非齐次线性方程组Ax=b的不相等的解向量，则方程组Ax=0的基础解系（）.

（A）不存在；（B）含有1个非零的解向量；

（C）含有2个非零的解向量；（D）含有3个非零的解向量.

3、设，求一个的矩阵B，使得，且R（B）=2.

4、求解齐次线性方程组

5、求解非齐次线性方程组

6、设向量组

试问

（1）当a、b为何值时，β能由唯一线性表示？

（2）当a、b为何值时，β不能由线性表示？

（3）当a、b为何值时，β能由线性表示，但表示法不唯一，并写出表示式.

7、已知4阶方阵A=（α1，α2，α3，α4），其中α1，α2，α3，α4均为4维的列向量，且α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3，如果β=α1+α2+α4，求线性方程组Ax=β的通解.

8、已知向量组与向量组

具有相同的秩，且能由线性表示，求a、b的值.

9、设非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系为，且η*为Ax=b的一个特解，试证η*线性无关.

学院班级姓名学号

第五章作业

（方阵的特征值、特征向量和方阵的对角化）

1、填空题

（1）A为幂零矩阵（Ak=0，k为正整数），则A的特征值.

（2）设A是n阶方阵，|A|＝5，则方阵B＝AA*的特征值是，

特征向量是.

（3）设A为3阶方阵，其特征值为，则其行列式，的3个特征值为，2A2－3A＋E的3个特征值为.

（4）设4阶方阵A相似于B，且A的特征值为，则|B-1-E|=.

（5）若λ是n阶方阵A的特征方程的单根，则R（A－λE）＝.

（6）若n阶可逆矩阵A的每行元素之和均为a，则的一个特征值为.

2、选择题

（1）设3阶方阵A有特征值0，－1，1，其对应的特征向量为P1，P2，P3，令P＝（P1，P2，P3），则（）.

（A）；（B）；（C）；（D）.

（2）下列矩阵

中两两相似的是（）.

（A）A3，A4；（B）A1，A2；（C）A1，A3；（D）A2，A3.

（3）矩阵A与B相似，则（）.

（A）|A－λE|=|B－λE|；（B）A－λE=B－λE；

（C）A与B与同一对角阵相似；（D）存在正交阵P，使得P－1AP＝B.

（4）设为4阶对称矩阵,且,若,则相似于（）.

（5）设矩阵相似于A，则R（A