数学的定理与公式讲解Word文件下载.docx
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∙全等三角形判
全等三角形的对应边、对应角相等
边角边定理（SAS）：
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
角边角定理（ASA）：
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
推论（AAS）：
有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
边边边定理（SSS）：
有三边对应相等的两个三角形全等
斜边、直角边定理（HL）：
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
∙角平分线
定理1：
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
定理2：
到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
∙等腰三角形
等腰三角形的性质定理：
等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）
等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2有一个角等于60°
的等腰三角形是等边三角形
∙对称
定理：
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
逆定理：
和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
定理1：
关于某条直线对称的两个图形是全等形
定理2：
如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
定理3：
两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上
如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称
∙直角三角形
定理：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°
那么它所对的直角边等于斜边的一半
判定定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
勾股定理：
直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形
∙多边形内、外
四边形的内角和等于360°
四边形的外角和等于360°
多边形内角和定理：
n边形的内角的和等于（n-2）×
180°
任意多边的外角和等于360°
∙平行四边形
平行四边形性质定理1：
平行四边形的对角相等
平行四边形性质定理2：
平行四边形的对边相等
夹在两条平行线间的平行线段相等
平行四边形性质定理3：
平行四边形的对角线互相平分
平行四边形判定定理1：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
平行四边形判定定理2：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
平行四边形判定定理3：
对角线互相平分的四边形是平行四边形
平行四边形判定定理4：
一组对边平行相等的四边形是平行四边形
∙矩形
矩形性质定理1：
矩形的四个角都是直角
矩形性质定理2：
矩形的对角线相等
矩形判定定理1：
有三个角是直角的四边形是矩形
矩形判定定理2：
对角线相等的平行四边形是矩形
∙菱形
菱形性质定理1：
菱形的四条边都相等
菱形性质定理2：
菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×
b）÷
2
菱形判定定理1：
四边都相等的四边形是菱形
菱形判定定理2：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
∙正方形
正方形性质定理1：
正方形的四个角都是直角，四条边都相等
正方形性质定理2：
正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
∙中心对称
定理1：
关于中心对称的两个图形是全等的
关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称
∙等腰梯形
等腰梯形性质定理：
1.等腰梯形在同一底上的两个角相等
2.等腰梯形的两条对角线相等
等腰梯形判定定理：
1.在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
2.对角线相等的梯形是等腰梯形
平行线等分线段定理：
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰
经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边
∙中位线
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
梯形中位线定理：
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷
2S=L×
h
∙相似三角形
相似三角形定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似
相似三角形判定定理1：
两角对应相等，两三角形相似（ASA）
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
判定定理2：
两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）
判定定理3：
三边对应成比例，两三角形相似（SSS）
相似直角三角形定理：
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
性质定理1：
相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
性质定理2：
相似三角形周长的比等于相似比
性质定理3：
相似三角形面积的比等于相似比的平方
∙三角函数
任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值
任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值
∙圆
12不共线的三点确定一个圆
经过一点可以作无数个圆
经过两点也可以作无数个圆，且圆心都在连结这两点的线段的垂直平分线上
定理：
过不共线的三个点，可以作且只可以作一个圆
三角形的三边垂直平分线相交于一点，这个点就是三角形的外心
三角形的三条高线的交点叫三角形的垂心
1.3垂径定理
圆是中心对称图形；
圆心是它的对称中心
圆是周对称图形，任一条通过圆心的直线都是它的对称轴
垂直于弦的直径平分这条弦，并且评分弦所对的两条弧
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧
弦的垂直平分弦经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
平分弦所对的一条弧的直径，垂直评分弦，并且平分弦所对的另一条弧
1.4弧、弦和弦心距
在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等
二圆与直线的位置关系
2.1圆与直线的位置关系
如果一条直线和一个圆没有公共点，我们就说这条直线和这个圆相离
如果一条直线和一个圆只有一个公共点，我们就说这条直线和这个圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做它们的切点
经过圆的半径外端点，并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线
圆的切线垂直经过切点的半径
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
如果一条直线和一个圆有两个公共点，我们就说，这条直线和这个圆相交，这条直线叫这个圆的割线，这两个公共点叫做它们的交点
直线和圆的位置关系只能由相离、相切和相交三种
2.2三角形的内切圆
如果一个多边形的各边所在的直线，都和一个圆相切，这个多边形叫做圆的外切多边形，这个圆叫做多边形的内切圆
三角形的三个内角平分线交于一点，这点是三角形的内心
三角形一内角评分线和其余两内角的外角评分线交于一点，这一点叫做三角形的旁心。
以旁心为圆心可以作一个圆和一边及其他两边的延长线相切，所作的圆叫做三角形的旁切圆
2.3切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
2.4圆的外切四边形
圆的外切四边形的两组对边的和相等
如果四边形两组对边的和相等，那么它必有内切圆
三圆与圆的位置关系
3.1两圆的位置关系
在平面内，不重合的两圆。
它们的位置关系，有以下五种情况：
外离、外切、相交、内切、外切
经过两个圆的圆心的直线，叫做两圆的连心线，两个圆心之间的距离叫做圆心距
两圆的连心线是两圆的对称轴，并且两圆相切时，它们切点在连心线上
（1）两圆外离d>
R+r
（2）两圆外切d=R+r
（3）两圆相交R-r<
d<
R+r（R>
r）
（4）两圆内切d=R-r（R>
（5）两圆内含d<
R-r（R>
特殊情况，两圆是同心圆d=0
3.2两圆的公切线
两圆的两条外公切线的长相等；
两圆的两条内公切线的长也相等
∙比例性质
（1）比例的基本性质
如果a：
b=c：
d，那么ad=bc如果ad=bc，那么a：
d
（2）合比性质
如果a／b=c／d，那么（a±
b）／b=（c±
d）／d
（3）等比性质
如果a／b=c／d=…=m／n（b+d+…+n≠0），那么（a+c+…+m）／（b+d+…+n）=a／b
公式
正n边形的每个内角都等于（n-2）×
／n
弧长计算公式：
L=n兀R／180
扇形面积公式：
S扇形=n兀R^2／360=LR／2
内公切线长=d-（R-r）外公切线长=d-（R+r）
①两圆外离d＞R+r②两圆外切d=R+r③两圆相交R-r＜d＜R+r（R＞r）④两圆内切d=R-r（R＞r）⑤两圆内含d＜R-r（R＞r）
定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
定理把圆分成n（n≥3）：
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°
，因此k×
（n-2）180°
／n=360°
化为（n-2）（k-2）=4
S扇形=n兀R^2／360=LR／2146内公切线长=d-（R-r）外公切线长=d-（R+r）
∙因式分解
公式：
a^3+b^3+c^3-3abc=（a+b+c）（a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca）
平方差公式：
a平方-b平方=（a+b）（a-b）
完全平方和公式：
（a+b）平方=a平方+2ab+b平方
完全平方差公式：
（a-b）平方=a平方-2ab+b平方
两根式：
ax^2+bx+c=a[x-（-b+√（b^2-4ac））/2a][x-（-b-√（b^2-4ac））/2a]两根式
立方和公式：
a^3+b^3=（a+b）（a^2-ab+b^2）
立方差公式：
a^3-b^3=（a-b）（a^2+ab+b^2）
完全立方公式：
a^3±
3a^2b+3ab^2±
b^3=（a±
b）^3．
∙一元二次方程
一元二次方程的解-b+√（b2-4ac）/2a-b-√（b2-4ac）/2a
根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：
韦达定理
判别式
b2-4ac=0注：
方程有两个相等的实根
b2-4ac>
0注：
方程有两个不等的实根
b2-4ac<
方程没有实根，有共轭复数根
∙三角不等式
|a+b|≤|a|+|b|
|a-b|≤|a|+|b|
|a|≤b<
=>
-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|
∙等差数列
某些数列前n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n（n+1）/21+3+5+7+9+11+13+15+…+（2n-1）=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+（2n）=n（n+1）12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n（n+1）（2n+1）/6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2（n+1）2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）/3
常用的诱导公式有以下几组：
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α与-α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六：
π/2±
α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
∙两角和公式
两角和公式
sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
sin（A-B）=sinAcosB-sinBcosA
cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB
cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB
tan（A+B）=（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）
tan（A-B）=（tanA-tanB）/（1+tanAtanB）
ctg（A+B）=（ctgActgB-1）/（ctgB+ctgA）
ctg（A-B）=（ctgActgB+1）/（ctgB-ctgA）
∙倍角公式
倍角公式
tan2A=2tanA/（1-tan2A）
ctg2A=（ctg2A-1）/2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
∙半角公式
半角公式
sin（A/2）=√（（1-cosA）/2）sin（A/2）=-√（（1-cosA）/2）
cos（A/2）=√（（1+cosA）/2）cos（A/2）=-√（（1+cosA）/2）
tan（A/2）=√（（1-cosA）/（（1+cosA））tan（A/2）=-√（（1-cosA）/（（1+cosA））
ctg（A/2）=√（（1+cosA）/（（1-cosA））ctg（A/2）=-√（（1+cosA）/（（1-cosA））
∙和差化积
和差化积
2sinAcosB=sin（A+B）+sin（A-B）2cosAsinB=sin（A+B）-sin（A-B）
2cosAcosB=cos（A+B）-sin（A-B）-2sinAsinB=cos（A+B）-cos（A-B）
sinA+sinB=2sin（（A+B）/2）cos（（A-B）/2cosA+cosB=2cos（（A+B）/2）sin（（A-B）/2）
tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosBtanA-tanB=sin（A-B）/cosAcosB
ctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB-ctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB
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