浅谈反例在中学数学教学中的应用剖析Word格式文档下载.docx
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3.2一经典悖论引发第三次数学危机5
3.3对猜想的绝妙否定和反例探索6
四构造反例的几种方法7
4.1应用特殊例子构造7
4.2用性质构造7
4.3逼近构造法8
4.4直接观查构造法8
4.5相互比较互较构造9
五反例在中学数学教学中的应用9
5.1有利于数学概念的形成和理解9
5.2有利于学生积极发现问题、纠止错误11
5.3反例用于强调条件12
5.4反例用于理清解题思路14
5.5培养思维的深刻性14
5.6有利于培养学生的创新能力15
5.7有利于在数学命题教学中知识的归纳17
5.8有助于教师自身的专业成长17
六运用反例应注意的问题17
6.1要注意主次17
6.2要注意适当应用18
七结束语19
参考文献20
致谢21
陇东学院本科生毕业论文诚信声明
本人郑重声明：
所呈交的本科毕业论文，是本人在指导老师李万军的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。
本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
作者签名：
二0一五年月日
摘要
本文在分析反例的来源，反例在数学发展史中的作用的基础上，通过研究几种构造反例的方法，讨论了反例在中学数学教学中的应用。
关键词：
反例；
来源；
构造；
作用
Abstract
This
paper
bases
on
the
analysis
of
source
counterexamples
and
the
history
the
development
of
mathematics
in
to
study
several
methods
.
Using
typical
examples
analyzes
deeply
and
discusses
role
of
mathematics
in
middle
school
teaching
.
Keywords:
counter;
example;
source;
structure
（陇东学院数学与统计学院甘肃庆阳745000）
一引言
数学教学中，我们要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，让它符合命题中所给条件，但是却不符合命题的结论，我们把这个例子叫做反例。
在数学发展的历程中，许多命题从正面得不到解决。
但是通过举反例反而很轻松的使问题得到了解决，可以说数学证明和反例在数学中发挥着同等重要的作用。
当我们要证明某一个命题成立的时侯，必须要经过严密的逻辑推导过程，而否定这个命题，通过列举出与这个命题结论相矛盾的例子，即举反例就可以了。
通过举一个反例反而可以收到意想不到作用。
所谓数学中的反例，是指符合某个命题条件，而又不符合该命题结论的例子。
简单的来说，反例就是一种指出某一个命题不成立的例子。
数学讲究逻辑，证明要言必有据。
但是世上一切所谓“证明”，其目的都是为了说服别人相信某个真理，而说服人的方法有许多种，其中就有举反例。
如果举不出反例，则该事不能不真，相反，若举出了反例，则该事必定为假。
二反例的来源
要证明一个猜想是正确的,必须要经过严格的推理证明才能得出结论;
但是要证明一个猜想是假的,我们仅仅需要找出一个反例，就可以有力的说明该猜想为假，从而推翻该猜想。
在数学学习中,有这样一种现象：
教师为了说明一个命题是假命题,就举出一个例子,说出这个例子虽然满足命题的条件,但是不能满足命题的结论,这就是常用的反例证明[3]。
反例究竟是通过什么方法得出的呢？
与证明获取的方法一样,反例获得也是需要通过一系列深层次的思维活动,所用的方法主要包括一下几种:
观察与实验,归纳,分析与综合,概括与抽象等方法,反例也决不可能是凭空产生的。
我们从概念的定义入手，通过分析获得反例是一种最常用的方法，数学中的概念是反映事物本质属性的思维形式。
在数学问题中,如果首先给出一个概念的定义,然后就可以判断一个猜想是不是正确,那么反例的获得就常常需要从定义入手分析。
数学中的反例作为简单清楚但是又有力的否定的方法,在培养逆向思维能力中他占有非常重要地位，而且在纠正错误结论、澄清概念、开拓数学新领域中也起到了非常重要的作用，就像美国数学家盖尔鲍姆所说：
“数学是由两大类‘证明’和‘反例’组成，数学的发展也向提出证明和提出反例两个方向发展着。
”
三反例在数学发展史中的作用
“一个数学问题如果用一个反例予以解决，给人的刺激犹如一出好戏剧，使人感到享受和兴奋。
为数学做出许多最优雅的和艺术性很强的贡献，属于这个流派”[1]。
这是数学家B·
R·
盖尔鲍姆的一句，反例带给整个数学界非常大的震撼，它一次又一次以简单明了、直接肯定的语气，否定了数学中的许多命题，甚至动摇了数学的根基，引发了一次次的数学危机，并彻底赢得最终的胜利，它同时一次又一次的更新着数学的理论系统，推动数学向前的发展。
3.1一个著名反例引发第一次数学危机
毕达哥拉斯学派的兴旺时期（公元前五世纪），这个学派十分的重视自然及社会中不变因素的研究，致力于探索宇宙的普遍规律，他们认为“万物皆数”，即世间万事万物都可以用这种方法归结为整数或整数之比。
然而有一天，该学派的一个学生希帕索斯向老师提出:
“一个直角边边长为1的等腰直角三角形，它的斜边是多少呢?
”在没有无理数概念的当时，毕达哥拉斯学派不能给出一个合理的解释。
因为按照勾股定理.这个直角三角形斜边长L2=12+12=2，而12=1,22=4,L显然不是一个整数。
若L能归结为整数之比
（m,n互素，m,n中至少有一个是奇数），则有
=l2+l2=2，得n2=2m2,m为偶数，将m=2k代人，得n2=8k2，则n也为偶数，这与m,n中至少有一个是奇数矛盾。
因此长度不能归结为整数之比，然而在现实中直角边边长为1的等腰直角三角形确实是存在，这个矛盾，否定了毕达哥拉斯学派“万物皆数’的信条。
这个发现对古希腊的数学观点产生了极大冲击，它表明了几何量不能完全由整数及其比来表示，这引发了数学史上第一次危机。
整数的尊崇地位受到了挑战，几何学开始在希腊数学中占据特殊地位，并由此建立了几何学体系。
3.2一经典悖论引发第三次数学危机
19世纪末，德国数学家康托尔创立集合论，时至今日，集合论的基本概念已渗透到数学的各个领域之中，可以说是整个现代数学的基础。
分析的严格化和集合论的创立，曾一度使数学家们对数学基础大为放心，直至集合论中一系列悖论的发现，其中最著名的是罗素的理发师悖论:
一个村庄的理发师宣称他只给不自己理发的人理发，那么他应不应该给自己理发呢?
这个悖论曾使得整个数学大厦动摇，引发了第三次数学危机，直至1931年奥地利数学家哥德尔证明了“哥德尔不完全性定理”，危机才逐步淡化。
然而，这次危机引起了哲学家、逻辑学家、数学家的共同关注，这使得用数学方法研究逻辑以及用逻辑方法研究数学成为了20世纪数学科学的一个发展方向，形成了数理逻辑学、数学哲学等数学基础方面的现代学科。
3.3对猜想的绝妙否定和反例探索
先通过不完全归纳法得出猜想，然后证明猜想，是建立数学理论体系的重要方法，然而，数学史上也有许多重要猜想没能逃出“天敌”的捕杀，被反例所否定。
例如，1640年数学家费尔马归结n=1、2、3、4的情形提出了著名的费尔马猜想:
对于自然数n，形如
+1的数Fn都是质数。
然而，在1732这一年，著名数学家欧拉举出了反例:
n=5,F5=
+1=4294967297=641×
6700417，宣称了费尔马猜想的不正确性。
又如“梅森素数”,1644年，法国修道士乌林·
梅森在他的《物理数学随感》一书中断言:
形如MP=2p-1的数在p=2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257时，都是素数。
前面7个数先后被证实，后来欧拉又证实了p=31的情况，后面3个由于工作量太大长期无人去验证，近200年来人们对这一断言深信不疑。
然而，在1903年一次学术报告上，美国数学家科尔走上讲台，一言未发，在黑板上写下:
267-1=147573952589676412927，接着又算出193707721×
761838257287的值，最后在两式之间画上等号。
科尔刚放下粉笔，安静的会场就爆发出了雷鸣般的掌声，因为这标志着梅森的断言不正确，打破了长达近200年的盲目信任。
反例的魅力与说服力在这里充分体现，对于现在还未被证明的一些数学猜想，人们在试图证明它的同时，也在不断探寻能否找到反例来否定它，如考拉兹猜想:
对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，如此循环，最终都能得到1。
目前，人们已验证到20×
258都成立，如此艰辛地验证，人们并不是想要证明它的正确性，而是在试图找到一个反例来推翻它，去否定结论。
四构造反例的几种方法[7]
4.1应用特殊例子构造
它是通过积累一些极端情况与典型反例来构造所需的反例.极端情况如分式的分母为零,三角形中的直角三角形、等腰三角形,两直线平行或相互垂直等;
典型反例如处处不连续的狄里克雷函数等.有了这些特例,必要时灵活地凑合,就可构造出所需的反例.
例4-1由△ABC的BC边中点D向AB,AC引垂线，如果两垂足连线被中线AD平分，△ABC为等腰三角形.
如图4-1，作非等腰Rt△ABC，依题设，四边形AEDF为矩形，故有AD平分EF.
此例结论是否定的.如图4-1，作非等腰Rt△ABC，依题设四边形AEDF为矩形，故有AD平分EF.
4.2用性质构造
用性质构造是根据反例本身的性质与特点,按一定的技巧进行反例的构造.康托曾构造出一个连续单调函数,其导数几乎处处为零的例子,即康托函数.这种构造的函数看起来人为因素强,却符合数学现成的理论与规律.
例4-2周长与面积相等的两个三角形全等.
构造该题的反例仅取特殊情况还不够，还要依据三角形的性质.
从等面积出发，设两等腰三角形ABC与A’B’C’的底边分别为a与2a，腰上的高分别为2h与h.则两三角形的腰长分别为
与
依据等周长得出等式:
=2a+2
求得
两三角形腰长分别为
与
.给a一个确定的值，可以得到一个反例.
4.3逼近构造法
它是指通过分析命题,找到反例所在范围,然后将范围逐渐缩小逼近目标,最后构造出所要反例.
例4-3设r、R、H分别为△ABC的内切圆半径、外接圆半径和最长的高,是否必有r+R≤H.
取等腰△ABC,设顶角为a,当a
（如图4-3）时,H为底边上的高AD,随着a变小,H变长,r、R同在H上，有r+R=H.
当a>
时,H为腰上的高（如图4-4）,且有R=H/（2cos
.sin
），当α→
时.故可在该范围内构造反例：
，r+R>
R=
>
H.
4.4直接观查构造法
它是指联系问题的几何意义,借助直观图形,构造反例.
例4-4“已知
、
分别是
的最小正周期，则
的最小公倍数是
+
的最小正周期”。
该命题是否成立？
这命题是不成立的。
我们可以设法作出
在周期
内的图象（如图4-5），以及
内的图象（如图4-6），容易看出
的最小正周期并不是
，而是
（如图4-7），得出一个反例，则该命题不成立。
4.5相互比较互较构造
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此类构造从两个不同角度看,有两种不同形式.其一是根据已知反例的特点与思维方法,在新的范围内构造出类似的反例.如魏尔斯特拉斯用级数的方法构造出一个无处可微的连续函数,此法被广泛应用,构造出许多无处可微的连续函数.
参考文献
[1]B·
盖尔鲍姆,J·
M·
H·
奥姆斯特德著.1980.分析中的反例.上海科技出版社
[2]M.克莱因著.1970.古今数学思想.北大数学系数学史翻译组译.上海科技出版社
[3]郭要红.2003.反例的来源与潜在功能.数学教学
[4]郭天印.2003.教育科学研究.教育科学研究,2期
[5]罗增儒.2003.学解题引论.西安,陕西师范大学出版社.32-35
[6]李文铭.2003.初等几何教学研究.西安:
数学史陕西师范大学出版社
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[8]王荣槐.1999.论文写作与编辑出版.武汉,华中师范大学出版社
[9]严镇军,陈吉范.1989.从反面考虑问题.合肥:
中国科学技术大学出版社
[10]人民教育出版社中学数学室.2004.全日制普通高级中学教科书（必修）.北京,人民教育出版社.48-49
[11]王知人.2000.浅谈反例的教学功能.教学研究,23卷
[12]解恩泽，徐本顺.1989.数学思想方法.山东教育出版社
致谢
大学生活一晃而过，回首走过的岁月，心中倍感充实，当我写完这篇毕业论文的时候，有一种如释重负的感觉，感慨良多。
首先诚挚的感谢我的论文指导老师李万军老师。
他在忙碌的教学工作中挤出时间来审查、修改我的论文。
还有教过我的所有老师们，你们严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作、学习中的榜样;
他们循循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪。
感谢我的家人对我大学四年学习的默默支持;
感谢我的母校陇东学院给了我我在大学四年深造的机会，让我能继续学习和提高。
老师们课堂上的激情洋溢，课堂下的谆谆教诲;
同学们在学习中的认真热情，生活上的热心主动，所有这些都让我的三年充满了感动。
感谢四年中陪伴在我身拜年的同学、朋友、感谢他们为我提出的有意的建议和意见，有了他们的支持、鼓励和帮助，我才能充实的度过了三年的学习生活。
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