北京邮电大学版线性代数课后题规范标准答案Word格式.docx
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2）k3（1
23）0,
即
（k1
k2
k3）
1（k2k3）
2k330.
由1
72:
'
3线性无关，有
k1
k3
0,
0.
所以
k30,即1:
12,123线性无关.
7•作一个以（1,0,1,0）和（1,-1,0,0）为行向量的秩为4的方阵.解：
因向量（1,0,0,0）与（1,0,1,0）和（1,-1,0,0）线性无关，所以（1,0,0,0）可作为方阵的一个行向量，因（1,0,0,1）与（1,0,1,0），（1，-1，0，0），（1，0，0，
1010
1100
1000
.所以方阵可为
0）线性无关，所以（1,0,0,1）可作为方阵的一个行向量
【证明】若
线性相关，且不妨设
2丄，t（t<
r）
8.设1,2丄,s的秩为r且其中每个向量都可经2丄，s的一个极大线性无关组.
2,L,r
1,2丄,r线性表出.证明：
2丄,r为
（1）
⑵
S的一个极大无关组，这与1,2丄,S的
秩为r矛盾，故
1,2,L
r必线性无关且为
S的一个极大无关组
9.求向量组1=（1,1,1,k）,2=（1,1,k,1）,3=（1,2,1,1）的秩和一个极大无关组
【解】把n21
3按列排成矩阵
A,
并对其施行初等变换.
111
1
112
k1
A
1k1
k11
k
01
当k=1时，
1,2,
3的秩为
2,
1,3为其一极大无关组.
当k工1时，
1,2,
3线性无关，
秩为3,
极大无关组为其本身
10.
确定向量3
（2,a,b）,使向量组
1（1,1,0）,2
（1,1,1）,
3
与向量组
1=（0,1,1）,
2=（1,2,1）,3=（1,0,
1）的秩相同
，且
3可由
2,
3线性表出
【解】由于
2
A（1,2,3）
1;
B（1>
2>
3）
a
b,
b
00
a2
而R（A）=2,要使R（A）=R（B）=2,需a
2=0,
即a=2,又
C（1,2,3,3）
2,
0b
要使3可由「2，3线性表出，需b
a1=（6,4,
a1=（1,-1,
2,4）,a2=（0,3,
1,2）,a3=（3,0,7,14）,a4=（1,-1,2,0）,a5
=（2,1,5,6）.
把向量组作为列向量组成矩阵A
，应用初等行变换将A
化为最简形矩阵B,则
11
18
10
9
5
9B
可知：
R
（A）
=R
（B）=2
B的第1,
2列线性无关，由于A
的列向量组与B的对应的列向量有
相同的线性组合关系，故与
无关组•
B对应的A
的第1,2列线性无关，即a1,a2是该向量组的一个极大
（2）同理,
可知R（A）=R（B）=4,
可知,a1,a2为向量组的一个极大无关组
6
7
0-1155
12-90
4
04
840
0-11557
2-9
0-8401
3-6
5-15-1
05-15-
422
8401
0000
1000
0100
0010B
0001
10
312
10312
-13
0-11
03
303
101
01101
21
725
0-4-4
00011
42
1406
02
2-4-2
000
A的4个列向量线性无关
，即a1,a2,a3,a4是该向量组的极大无关组
⑶同理,
可知R（A）=R（B）=3,取线性无关组a
1,a3,a5为该向量组的一个极大无关组
X2
X
即X1=2,x2=-1,令a4=X3a1+X4a2,
即X1=1,X2=3,令a5=X5a1+X6a2,
%
即X1=-2,X2=-1,所以a3=2a1-a2
可得:
a4=a1+3a2,a5=-2
a1-a2
m能经1，2丄，S线性表出
13.设向量组1，2丄，m与1，2丄，s秩相同且1，2证明1，2丄，m与1，2丄,s等价.
【解】设向量组
1,2,L,m
1,2,L,s
的极大线性无关组分别为
1,2丄，r
1,2丄，r
由于
（1）可由
（2）线性表出，那么
（1）也可由（4）线性表出，从而（3）可以由（4）线性表出，即
r
iaijj（i1,2,L,r）.
j1
因（4）线性无关，故（3）线性无关的充分必要条件是|aij|工0，可由（*）解出j（j1,2丄，r）即（4）可由（3）线性表出，从而它们等价，再由它们分别同
（1），
（2）等价，所以
（1）和
（2）等价.
14.设向量组a1,a2,…,as的秩为「1,向量组B1,32,…,3t的秩为「2,向量组a1,a2,…,as,31,32,…,3t的秩为r3,试证：
max{r1,「2}wr3<
n+r2.
证明：
设as1,…，Sr1为a1,a2,…，as的一个极大线性无关组，3t1,3t2,…,tr2为31,
32,…,3t的一个极大线性无关组.1，…，r3为a1,a2,…，as,31,32,…，3t的一个极大线性无关组，则as1,…，^1和3t1，…，3tr2可分别由11，…，r3线性表示，所以，
rKr3,r2<
r3即max{r1,r2}wr3，又11,…，r3可由as1,…，asr1,3t1，…，3tr2线性表示
及线性无关性可知：
r3w门+r2.
15.已知向量组a1=（1,a,a,a）'
a2=（a,1,a,a）'
a3=（a,a,1,a）'
a4=（a,a,a,1）'
的秩为3,试确定a的值.
解:
以向量组为列向量，组成矩阵
A，用行初等变换化为最简形式：
aa
3aaa
a-1
1a00
1-
a0
01-a
001-
01-
由秩A=3.可知a丰1,从而1+3a=0，即a=-3.
16.求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组
25
31
17
43
75
94
53
132
54
134
“、25
32
20
48；
c、1
（2）
（2）矩阵的行向量组4的一个极大无关组为j2‘4.
17.集合Vl=｛（Xl,x2丄,Xn）|Xi,X2丄，xn€R且Xlx2LXn=。
｝是否构成向量空间？
为什么？
【解】由（0,0,…,0）€V1知V1非空，设（X1,X2丄，Xn）（y1,y2丄，yn）V2,kR）
则
（X1%,X2
y2,L
xn
yn）
（k^,kx2丄，kx
:
n）.
因为
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