第九篇 第7讲 直线与圆锥曲线的位置关系.docx

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第九篇第7讲直线与圆锥曲线的位置关系

第7讲直线与圆锥曲线的位置关系

A级　基础演练（时间：

30分钟　满分：

55分）

一、选择题（每小题5分，共20分）

1．（2013·潍坊一模）直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于（　　）．

A.B．2C.D．4

解析　直线4kx－4y－k＝0，即y＝k，即直线4kx－4y－k＝0过抛物线y2＝x的焦点.设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|＝x1＋x2＋＝4，故x1＋x2＝，则弦AB的中点的横坐标是，弦AB的中点到直线x＋＝0的距离是＋＝.

答案　C

2．（2012·台州质检）设斜率为的直线l与椭圆＋＝1（a>b>0）交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为

（　　）．

A.B.C.D.

解析　由于直线与椭圆的两交点A，B在x轴上的射影分别为左、右焦点F1，F2，故|AF1|＝|BF2|＝，设直线与x轴交于C点，又直线倾斜角θ的正切值为，结合图形易得tanθ＝＝＝，故|CF1|＋|CF2|＝＝|F1F2|＝2c，整理并化简得b2＝（a2－c2）＝ac，即（1－e2）＝e，解得e＝.

答案　C

3．（2012·吉安二模）抛物线y2＝2px与直线2x＋y＋a＝0交于A，B两点，其中点A的坐标为（1,2），设抛物线的焦点为F，则|FA|＋|FB|的值等于（　　）．

A．7B．3C．6D．5

解析　点A（1,2）在抛物线y2＝2px和直线2x＋y＋a＝0上，则p＝2，a＝－4，F（1,0），则B（4，－4），故|FA|＋|FB|＝7.

答案　A

4．（2013·宁波十校联考）设双曲线－＝1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝（　　）．

A．1＋2B．4－2

C．5－2D．3＋2

解析　如图，设|AF1|＝m，则|BF1|＝m，|AF2|＝m－2a，|BF2|＝m－2a，∴|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝m－2a＋m－2a＝m，得m＝2a，又由|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，可得m2＋（m－2a）2＝4c2，即得（20－8）a2＝4c2，∴e2＝＝5－2，故应选C.

答案　C

二、填空题（每小题5分，共10分）

5．椭圆＋y2＝1的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是________．

解析　设弦的两个端点为A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1＋x2＝1，y1＋y2＝1.

∵A，B在椭圆上，∴＋y＝1，＋y＝1.

两式相减得：

＋（y1＋y2）（y1－y2）＝0，

即＝－，

∵x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，

∴＝－，即直线AB的斜率为－.

∴直线AB的方程为y－＝－，

即该弦所在直线的方程为2x＋4y－3＝0.

答案　2x＋4y－3＝0

6．（2013·东北三省联考）已知椭圆C：

＋＝1（a>b>0），F（，0）为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为________．

解析　由题意，得

解得∴椭圆C的方程为＋＝1.

答案　＋＝1

三、解答题（共25分）

7．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点．

（1）如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；

（2）如果·＝－4，证明：

直线l必过一定点，并求出该定点．

（1）解　由题意：

抛物线焦点为（1,0），

设l：

x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x，

消去x得y2－4ty－4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），

则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，

∴·＝x1x2＋y1y2＝（ty1＋1）（ty2＋1）＋y1y2

＝t2y1y2＋t（y1＋y2）＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.

（2）证明　设l：

x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，

消去x得y2－4ty－4b＝0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，

∴·＝x1x2＋y1y2＝（ty1＋b）（ty2＋b）＋y1y2

＝t2y1y2＋bt（y1＋y2）＋b2＋y1y2

＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.

令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，

∴直线l过定点（2,0）．

∴若·＝－4，则直线l必过一定点．

8．（13分）给出双曲线x2－＝1.

（1）求以A（2,1）为中点的弦所在的直线方程；

（2）若过点A（2,1）的直线l与所给双曲线交于P1，P2两点，求线段P1P2的中点P的轨迹方程；

（3）过点B（1,1）能否作直线m，使得m与双曲线交于两点Q1，Q2，且B是Q1Q2的中点？

这样的直线m若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．

解　

（1）设弦的两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则两式相减得到2（x1－x2）（x1＋x2）＝（y1－y2）（y1＋y2），又x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，

所以直线斜率k＝＝4.

故求得直线方程为4x－y－7＝0.

（2）设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），

按照

（1）的解法可得＝，①

由于P1，P2，P，A四点共线，

得＝，②

由①②可得＝，整理得2x2－y2－4x＋y＝0，检验当x1＝x2时，x＝2，y＝0也满足方程，故P1P2的中点P的轨迹方程是2x2－y2－4x＋y＝0.

（3）假设满足题设条件的直线m存在，按照

（1）的解法可得直线m的方程为y＝2x－1.

考虑到方程组无解，

因此满足题设条件的直线m是不存在的．

B级　能力突破（时间：

30分钟　满分：

45分）

一、选择题（每小题5分，共10分）

1．（2013·皖南八校联考）已知直线l：

y＝k（x－2）（k>0）与抛物线C：

y2＝8x交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|AF|＝2|BF|，则k的值是（　　）．

A.B.C．2D.

解析　法一　据题意画图，作AA1⊥l′，BB1⊥l′，BD⊥AA1.

设直线l的倾斜角为θ，|AF|＝2|BF|＝2r，

则|AA1|＝2|BB1|＝2|AD|＝2r，

所以有|AB|＝3r，|AD|＝r，

则|BD|＝2r，k＝tanθ＝tan∠BAD＝＝2.

法二　直线y＝k（x－2）恰好经过抛物线y2＝8x的焦点F（2,0），由可得ky2－8y－16k＝0，因为|FA|＝2|FB|，所以yA＝－2yB.则yA＋yB＝－2yB＋yB＝，所以yB＝－，yA·yB＝－16，所以－2y＝－16，即yB＝±2.又k>0，故k＝2.

答案　C

2．（2012·沈阳二模）过双曲线－＝1（a>0）的右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是（　　）．

A．（，5）B．（，）　C．（1，）D．（5,5）

解析　令b＝，c＝，则双曲线的离心率为e＝，双曲线的渐近线的斜率为±.

据题意，2<<3，如图所示．

∵＝，

∴2<<3，

∴5

∴

答案　B

二、填空题（每小题5分，共10分）

3．（2013·南昌模拟）过椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若|AM|＝|MB|，则该椭圆的离心率为________．

解析　由题意知A点的坐标为（－a,0），l的方程为y＝x＋a，∴B点的坐标为（0，a），故M点的坐标为，代入椭圆方程得a2＝3b2，∴c2＝2b2，∴e＝.

答案　

4．已知曲线－＝1（a·b≠0，且a≠b）与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且·＝0（O为原点），则－的值为________．

解析　将y＝1－x代入－＝1，得（b－a）x2＋2ax－（a＋ab）＝0.设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1＋x2＝，x1x2＝.·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（1－x1）·（1－x2）＝2x1x2－（x1＋x2）＋1.所以－＋1＝0，即2a＋2ab－2a＋a－b＝0，即b－a＝2ab，所以－＝2.

答案　2

三、解答题（共25分）

5．（12分）（2012·上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：

2x2－y2＝1.

（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积．

（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点．若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：

OP⊥OQ.

（3）设椭圆C2：

4x2＋y2＝1.若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：

O到直线MN的距离是定值．

（1）解　双曲线C1：

－y2＝1，左顶点A，渐近线方程：

y＝±x.

不妨取过点A与渐近线y＝x平行的直线方程为

y＝，即y＝x＋1.

解方程组得

所以所求三角形的面积为S＝|OA||y|＝.

（2）证明　设直线PQ的方程是y＝x＋b.

因为直线PQ与已知圆相切，故＝1，即b2＝2.

由得x2－2bx－b2－1＝0.

设P（x1，y1）、Q（x2，y2），则

又y1y2＝（x1＋b）（x2＋b），所以

·＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋b（x1＋x2）＋b2

＝2（－1－b2）＋2b2＋b2＝b2－2＝0.

故OP⊥OQ.

（3）证明　当直线ON垂直于x轴时，

|ON|＝1，|OM|＝，则O到直线MN的距离为.

当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为y＝kx，

则直线OM的方程为y＝－x.

由得所以|ON|2＝.

同理|OM|2＝.

设O到直线MN的距离为d，

因为（|OM|2＋|ON|2）d2＝|OM|2|ON|2，

所以＝＋＝＝3，即d＝.

综上，O到直线MN的距离是定值．

6．（13分）（2012·临沂二模）在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，点M在线段PD上，且|DP|＝|DM|，点P在圆上运动．

（1）求点M的轨迹方程；

（2）过定点C（－1,0）的直线与点M的轨迹交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使·为常数，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

解　

（1）设P（x0，y0），M（x，y），则x0＝x，y0＝y.

∵P（x0，y0）在x2＋y2＝4上，∴x＋y＝4.

∴x2＋2y2＝4，即＋＝1.

点M的轨迹方程为＋＝1（x≠±2）．

（2）假设存在．当直线AB与x轴不垂直时，

设直线AB的方程为y＝k（x＋1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），N（n,0），

联立方程组

整理得（1＋2k2）x2＋4k2x＋2k2－4＝0，

∴x1＋x2＝－，x1x2＝.

∴·＝（x1－n，y1）·（x2－n，y2）

＝（1＋k2）x1·x2＋（x1＋x2）（k2－n）＋n2＋k2

＝（1＋k2）×＋（k2－n）×＋k2＋n2

＝＋n2

＝＋n2

＝（2n2＋4n－1）－.

∵·是与k无关的常数，∴2n＋＝0.

∴n＝－，即N，此时·＝－.

当直线AB与x轴垂直时，若n＝－，则·＝－.

综上所述，在x轴上存在定点N，使·为常数．

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