液压挖掘机运动的动力学Kane方程建模03课件Word文档下载推荐.docx

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液压挖掘机其主要任务是挖掘土壤和其他材料，次要任务是在相对较短的距离挖料运输到储蓄网点或装上专用运输车辆。

它们被用于土木工程和采矿领域等所有类型的土壤挖掘。

其工作过程的微分方程是从解决挖掘机的结构元素的设计与优化问题，以及解决挖掘机控制组件的相关问题方面重要性为出发点建立的力学模型，如液压缸。

因此，参考[4]用牛顿–欧拉方法形成了挖掘机运动微分方程。

文献[5,6]在第二类拉格朗日方程的基础上对挖掘机动力学进行了分析。

[7]是由第一类拉格朗日方程研究了液压前臂铲斗机构动力学，参考[5]分析了其在动力学的基础上的弹性变形的影响。

挖掘任务期间，微分方程没有明确包括油缸驱动力。

另一方面，参考[6]分析了挖掘机振动引起的结构元素的弹性。

文献[8,9]重点在液压系统的动力学。

文献[10]，结合图分析了挖掘机的机械和液压系统的动态以及它们之间的相互作用。

另一方面，参考[1]使用线性图的方法来分析这种相互作用。

在本文中，用Kane方程[12]形成挖掘机的运微分方程，不同于牛顿方程的欧拉公式，Kane方程是有利的，因为他们不需要无

图1.液压挖掘机的多体模型

功约束的力和力矩的计算，使得这种方法公式计算方程能更有效的与其他方法相结合（详情见[13]）。

本文提出了一个将得到的运动微分方程作为特殊情况的想法，挖掘、提升和返回的运输业务同时涉及地基变形的影响等。

此外，本文的目标是明确在运动方程中加氢缸的力，从而避免它们随后测定通过在接头引入的时刻装置的影响，如在[1-4]进行。

从计算效率方面，意味着挖掘机的动态分析有了一个更有效的方法。

本文组织如下：

2节介绍了挖掘机运动学，相应的运动学关系用3×

3坐标变换矩阵。

3节为液压挖掘机Kane方程广义力的确定过程的详细介绍。

第4节分析了挖掘机动态变形对基础的影响。

第5节给出了一个数值例子。

得出的结论是在第6节。

2.在液压挖掘机的运动学描述

让我们假设一个液压挖掘机被放置在刚性横向地基（参照图1）。

挖掘机可以建模为通过转动的五个刚性体形成的开口运动链。

在图1，机构（Vi），i=0，...，4分别表示，底盘，旋转平台与驾驶室，吊臂，斗杆和挖斗。

与固定惯性参考坐标系OXYZ挖掘机的运动是由广义坐标描述的（i=1，…，4）。

坐标系（V）表示相对于（Vi-1）进行由单位向量EI确定关节轴。

这个载体被固定到主体（Vi-1）中。

在图1，点放在方向EI和代表第i个关节连接体的中心点（VI−1）和（VI）。

局部坐标系C0ξ0η0ζ0和Oiξiηiζi（ⅰ=1，...，4）分别介绍了（参见图1）该固定机构（V）中，i=0，...，4在刚性地基和不动履带的情况下，整体机架η0ζ0和OXYZ重合;

垂直Z轴方向向上和x轴表示体材料对称性（V0）的轴线。

点C0表示所述主体（V0）的质量中心。

不失一般性，假定配置Q1=Q2=Q3=Q4=0是挖掘机的参考配置，而且在这种结构中，所有的本地的轴坐标系的惯性对应的轴平行参考系，即，ξi∥ηIζi。

由此，变换矩阵，J（I=0，...，4;

J=1，...，4）从Ojξjηjζj到Oiξiηiζi参考系（I=0对应于系C0ξ0η0ζ0）的形式为[14,15]：

（1）

其中，Ark∈R3×

3是罗德里格兹矩阵[14]，I∈R3×

3是单位矩阵,并且ekk∈R3x3是斜对称矩阵[14,16]与矢量e（K）相关联。

请注意，右侧标（k）表示与对应的向量和矩阵的分量在Okξkηkζk局部坐标系中给出。

另外，由于罗德里格兹矩阵是正交[14]，下式成立[14-16].

（2）

其中，上标T表示矩阵转置。

在图1很明显，矢量EI（ⅰ=1，...，4）具有以下组件：

（3）

对于[13]，角速度ωi的（在=1，...，4）和角加速度εi（在=1，...4）的机构Vi（i=1，...，4）可以递归分别进行计算，如下：

（4）

（5）

式中，因为自身（V0）是在比ω一个静止状态w00=[0，0，0]T，和ε00=[0，0，0]T.根据前面的关系，速度Vci（i=1...4）和aci（i=1...4）的加速度;

质量中心Ci的第4个（ⅰ=1，...，4）的机构Vi的（ⅰ=1，...，4），分别由以下递推关系给出（对于证明见[13]）：

（6）

（7）

3.液压挖掘机的动力学凯恩方程

凯恩的所考虑的液压挖掘机的动力学方程[12,13]如下：

（8）

其中Qj和Qjjn在分别是广义主动力和与广义坐标qj相关的广义惯性力。

广义惯性力Qjin在（J=1，...，4）可以表示为（见[13]）

（9）

其中m，p是体（Ⅴp）的质量，和Icp是质心惯性钜，机身（Vp）的张量在局部框架中，

Cpξpηpζp表示轴选择，使得Cpξp∥OpξP，Cpηp∥OpηP，和Cpζp∥Opζp，以此考虑，载体的两个坐标系Pcξpηpζp和Ø

pξpηpζp，都是一样的。

基于方程。

（4）和（6），并且在[13,17]，部分角速度∂ωp/∂qj考虑和部分的速度∂Vc/∂qĴ可表示如下：

（10）

（11）

广义活性力Qj可以获得拆分成以下组件：

（12）

其中，Qj,（g）,Qj,（M）,Qj,（w）和Qj,（hc）是由于广义力分别与重力，在第一节的驱动力，阻力挖力，和液压缸的力。

这些广义力的确定将在下一小节显示。

3.1广义力的测定Qj,（g）

基于[14]，因重力作用而产生的广义力：

（13）

其中g是重力加速度，下标-1对应于OXYZ。

我们观察到，A−1,0=I成立。

注意式（13）用于第一拉格朗日关系∂rCi/∂qj=∂VCi/∂qj（参见，例如[18]）。

在起重作业时，质量M4为增加的挖斗土的质量。

3.2.广义力的测定Qj,（M）

在第一节由内部驱动力而产生的广义力由以下关系决定[15]

（14）

其中M（0）1=[0,0,M1ᶂ1]表示惯性力矩耦合的一瞬间，通过这种驱动力的耦合，在驾驶室与驾驶室相对于底盘与履带的运动实现。

3.3.广义力的测定Qj,（w）

在开挖阶段，建立具有土壤阻力的运动的挖斗的模型是一个非常复杂的任务。

其原因在于，，一个模型中，识别，包括和相连的所有相关因素在挖斗与土壤相互作用的过程是很困难的。

通常，对挖掘的总阻力的文献假设（切割）力FW对铲斗的切削刃中心K（见图2）。

在图2，θdg为挖掘角，θb是桶底部和η4轴之间的角度。

根据[1,2]，角度δ在间隔0.1≤δ≤0.45而变化，且依赖于挖角，挖状态及铲斗切削刃的磨损。

在模拟中，通常采取的该角度是恒定的并且等于δ=0.1（参见，例如[1-4]）。

在文献中，有对F的大小W上的力FW，这是在形成挖斗和土壤之间相互作用的模型的不同的方法和假设的相互作用的结果。

力FW取决于各种因素，如挖斗前端的K的深度，挖斗的宽度，地形坡度，土壤的物理特性。

适用于FW上的不同表现形式可以在[19-22]中找到。

本文进一步提出的程序用于确定广义力QĴ，表达的Qjw=（j=1，...，4）。

这些表达式使我们能够引入任何现有的表达式，如F的大小，W功率这些表达式。

根据图2，该力Fw可以被写为

（15）

另一方面，计算点的速度可以计算为

（16）

此外，由于力FW上的广义力被计算如下：

（17）

图2.挖斗和土壤的相互作用。

其中rK是K点相对于该机架的位置矢量XYZ和速度Vk的偏导数由下式给出：

（18）需要注意的是在起吊和返回任务时的广义力QĴ（w）（J=1，...，4）都等于零，

3.4.广义力Qj的测定

图3，4，和5示出的旋转平台的多体模型，起重臂、斗杆和挖斗，分别借助于加氢缸HCI（I=1,2,3）所述机构（VI）和（Vi+1的）的相互作用力。

（19）

图3.旋转平台机构的多体模型。

这里

是油缸的轴单位矢量，HCi，S2i-1,2i是向量的大小

由以下表达式确定：

（20）

（21）

（22）

图4.臂架机构的多体模型

这里P6=A8Ａ６，Ｐｊ（ｊ＝１．．．５）是固定到相应机构的载体（参见图3，图4和5），δ1和δ2分别是矢量P1和P2和P3和P4之间的角度，再配合ｑ2=q3=q4=0，和PI（ⅰ=1，...，6）为载体pi的幅值（I=1，...，6）。

角度δ3，θ３在图６中表示。

θ3的角度可表示为广义坐标的函数Q4。

也就是说，采用四连杆A8O4A7A6，如图６所示，Ａ8O4A7和A6A7A8循环以产生以下矢量关系：

（23）

（24）

图5.臂-斗机构的多体模型。

矢量关系（23）和（24）可以写成在标量形式如下：

（25）

（26）

（27）

（28）

其中p，Ｐ7和Ｐ8分别是向量p的大小，方程很容易表明。

由（25）-（28）得到下面的关系：

（29）

（30）

（31）

图6.四连杆机构

力的总虚功Ｆｈｃ２ｉ－１,２ｉ和Ｆｈｃ２ｉ，２ｉ－１是

（32）

其中r2I-1和r2I是点分别相对于框架OXYZ的位置向量Ａ2I-1和A2I。

注意，S2I-1,2i只是广义坐标数qi+1的功能。

最后，方程（32）遵循液压缸的广义力由下式给出：

（33）4.可变形地基上的挖掘机

当考虑到土壤基础的弹性，在坐标系C0ξ0η0ζ0和挖掘机进行运输作业过程中的Ozzy不再一致。

在这种情况下，该组广义坐标的qI（I=1，...，4）应通过增加广义坐标x，y和z，它决定了履带底盘质量中心相对于OXYZ的位置以及广义坐标φ1，φ2，φ3，这代表科比角度[16]。

这些角度指定机架的方向C0ξ0η0ζ0相对于OXYZ的变换矩阵A-1,0的形式为[16]：

（34）

其中，使用下列符号：

C=cos和S=sin.在地基小变形的情况下，Cosφi≈1和Sinφi≈φ保持为角度φi（I=1,2,3）。

忽略这些角度的小值高阶项，在方程（4），（5）和（6）应注意的是：

（35）

（36）

（37）

其中，公式（5）表示速度和角度之间的变换矩阵的公知关系（见[14,15]详情）。

此外，式（8）必须由以下等式来扩充：

（38）

其中，[χ1，...，χ6]=[X，Y，Z，φ1，φ2，φ3]。

不同的方程（8）和（8）描述了可变形的地基的液压挖掘机的动态。

在方程（38）中广义力由下面的表达式确定：

（39）

（40）

其中，m0是物体的质量（V0），IC0是重心惯性张量在机架C0ξ0η0ζ0中的表示，[χ1，...，χ6]=[X，Y，Z，φ1，φ2，φ3],Π（sf）（χ1,…,χ6）是变形的地基的势能，（χ1;

…;

χ6;

˙χ1;

χ6）是瑞利耗散函数，它描述一个地基的变形过程中的能量耗散。

对于函数Πsf和D中的表达可以在[5]中找到。

5.数值例子

应该指出的是，利用式（8）使数据的精度对得到结果的准确性有显著的影响。

确定在这些运动方程中出现挖掘机的物理参数的值的困难是由挖掘机配件

t（s）

图7.挖掘力随时间变化图

的复杂几何形状引起的。

点和不同的角度之间的距离可以通过在分析挖掘机的

直接测量。

另外，假设挖掘机配件是均质体，并具有对部分的尺寸（伴随技术文件）的数据，对材料的类型，转动惯量和质量中心可近似通过使用某些CAD程序计算。

通过将复杂挖掘机部件的形状逼近简单的几何形状，也可以得到这些参数的近似值（参看[1,2]）。

注意，对于驾驶室，悬臂，斗杆和铲斗的旋转平台代表一个开放的运动链型的机器人机构。

根据这一点，为了确定挖掘机惯性参数，现有的实验鉴定机器人系统技术（见例如[23-25]）都可以应用。

注意，用于确定机舱的惯性参数的测量技术在[26,27]。

在文献[1-3]数据的基础上，通过挖掘机作业时土壤与铲斗的以下参数来确定所必需的油缸力：

m2=1566kg,m3=735kg,m4=432kg,值14250.6应放置在一条线，IC2ξ2=14250.6kgm2，,IC3ξ3=727.7kgm2，IC4ξ4=224.6kgm2,p1=0.7m,p2=2.71m,p3=2.8m,p4=0.77m,p5=1.93m,p6=p9=0.5m,p7=0.365m,p8=0.378m,ℓ1=0.05m,ℓ2=5.16m,ℓ3=2.59m,O4K=1.33m,ℓC2=2.71m,ℓC3=0.64m,ℓC4=0.65m,δ1=1.423,δ2=0,δ3=0.1222,γ3=0.1047,γ4=1.92,∠（ℓC2:

η2）=0.2566，∠（ℓC3:

η3）=0.3316,∠（ℓC4:

η4）=0.3944ξPCP（P=2,3,4）的数量分别代表两次通过重力中心的轴惯性矩ICiξi（i=2,3,4），因此，

t（s）

图8.液压缸的力随时间变化图

如[5],它是采取考虑挖任务的时间间隔读取满足0≤t≤3S且Q2=-0.1744，Q3=0.436，Q4=0.1744t3-0.7848t2。

并且FW=2.1812t3-18.097t2+35.9936tKN中。

FW的大小的曲线如图7所示。

数值模拟的结果示于图8，9，10。

在初始刻t=0时Fhc2i,2i−1（u）（i=1,2,3）的投影值确定油缸力Q1=Q2=Q3=Q4，

图9.油缸2的油缸力随时间变化图

6.结论

如在[5],它是采取考虑挖任务的时间间隔读取满足0≤t≤3S且Q2=-0.1744Q3=0.436，Q4=0.1744t3-0.7848t2。

并且FW=2.1812t3-18.097t2+35.9936tKN中。

在初始刻t=0时Fhc2i,2i−1（u）（i=1,2,3）的投影值确定油缸力Q1=Q2=Q3=Q4，挖掘机在平衡位置。

注意，在图8和9挖掘过程中的力FHC2,1和FHC4,3改变方向。

在图10中，可以观察到的小的初始时间间隔，铲斗相对于挖掘力FW（重量对投影的负值有支配性的影响）在进一步增加力FHC6,5（U）大小，挖掘力FW对铲斗的重量占主导地位（投影正值FHC6,5（u））在本文中，以凯恩方程的形式提交了挖掘机液压运动的微分方程。

方程提出在挖掘机动力学的允许下的分析接下来的工作运输任务：

挖掘，提升和返回以及基座弹性对挖掘机的影响动力学。

需要注意的是倾倒任务，等式（8）中必须更正为了顾及与土壤铲斗质量的变化。

微分方程显然包括液压缸的力，以及内在驱动力O1的联合在当下，使得驾驶室能相对于底盘与履带运动。

这一事实表明了直接从不同规律变化的

图10.油缸3的油缸力随时间变化图

广义坐标方程qI（I=1，...，4）中确定驱动力大小的必要。

这使油缸有了液压系统动力学和挖掘机的机械系统动力学之间的连接。

有了这个想法，由公式（8）表达油缸力在对挖掘机液压系统的动态行为和相应的方程，从而得到表达式替换，其中描述了挖掘机的两个子系统的行为对应的微分方程。

这样，创造一个独特的模式，这两个子系统的问题，在图[10,11]中应用结合图法和图论处理就解决了。

在与参考文献[28,3]的方法比较，在本文描述的方法是一个在计算方面更有效的方法，因为它使用的3×

3变换矩阵，而不是4×

4的变换矩阵，并且不需要测定共同的反作用力。

如果有必要，以确定所述挖掘机共同的反作用力，它随后可以通过在[29]提出的方法来实现的。

本文分析了液压缸质量对挖掘机动力学的影响。

这种影响可以通过对活塞和油缸的处理进行检验，液压缸作为附加机构，与挖掘机的其他机构，形成一个封闭的循环运动链。

参考具有闭合回路的运动链和所提出的微分方程，与在闭环挖掘机模型工作方程基础上的模拟结果相比较，将表明这会在运输业务它会更有意义。

致谢

这项研究由塞尔维亚共和国教育部提供，tr35006号和tr35038号科学技术资助。

对此支持表示感谢。

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