幂函数与指数函数的区别.docx

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幂函数与指数函数的区别

幂函数与指数函数的区别

1、指数函数:

自变量x在指数的位置上,y=a^x（a>0,a不等于1）

性质比较单一,当a>1时,函数就是递增函数,且y>0;

当00、

2、幂函数:

自变量x在底数的位置上,y=x^a（a不等于1）、

a不等于1,但可正可负,取不同的值,图像及性质就是不一样的。

高中数学里面,主要要掌握a=-1、2、3、1/2时的图像即可。

其中当a=2时,函数就是过原点的二次函数。

其她a值的图像可自己通过描点法画下并了解下基本图像的走向即可。

3、y=8^（-0、7）就是一个具体数值,并不就是函数,如果要与指数函数或者幂函数联系起来也就是可以的。

首先您可以将其瞧成:

指数函数y=8^x（a=8）,当x=-0、7时,y的值;或者将其瞧成:

幂函数y=x^（-0、7）（a=-0、7）,当x=8时,y的值。

幂函数的性质:

根据图象,幂函数性质归纳如下:

（1）所有的幂函数在（0,+∞）都有定义,并且图象都过点（1,1）;

（2）当a>0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+∞）上就是增函数.

特别地,当a>1时,幂函数的图象下凸;当0

（3）当a<0时,幂函数的图象在区间（0,+∞）上就是减函数.在第一象限内,

当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋

于+∞时,图象在轴x上方无限地逼近轴x正半轴。

指出:

此时y＝x0＝1;定义域为（－∞,0）∪（0,＋∞）,特别强调,

当x为任何非零实数时,函数的值均为1,图像就是从点（0,1）出发,平行于x轴的两条射线,但点（0,1）要除外。

思考讨论:

（1）在幂函数y＝xa中,当a就是正偶数时,这一类函数有哪种重要性质？

（2）在幂函数y＝xa中,当a就是正奇数时,这一类函数有哪种重要性质？

讲评:

（1）在幂函数y＝xa中,当a就是正偶数时,函数都就是偶函数,在第一象限内就是增函数。

对数函数的性质

（1）当a＞1时,

①x＞0,即0与负数无对数;

②当x=1时,y=0;

③当x＞1时,y＞0;当0＜x＜1时,y＜0;

④在（0,+∞）上就是增函数.

（2）当0＜a＜1时,

①x＞0,即0与负数没有对数;

②当x=1时,y=0;

③当x＞1时,y＜0;当0＜x＜1时,y＞0;

④在（0,+∞）上就是减函数.

函数叫做幂函数,其中x就是自变量,a就是常数（这里我们只讨论a就是有理数n的情况）.

对数与对数函数

学习目标

   1、理解对数概念;

   2、能进行对数式与指数式的互化;

   3、掌握对数的运算性质;

   4、培养应用意识、化归意识。

   5、掌握对数函数的概念;

   6、掌握对数函数的图像的性质;

   7、掌握比较对数大小的方法,培养应用意识;

   8、培养图形结合、化归等思想。

　　知识要点:

　　我们在学习过程遇到2x=4的问题时,可凭经验得到x=2的解,而一旦出现2x=3时,我们就无法用已学过的知识来解决,从而引入出一种新的运算——对数运算。

　　1.对数的定义:

　　如果ab=N（a>0,且a≠1）,那么数b叫做以a为底N的对数,记作:

logaN=b。

其中a叫做对数的底数,N叫做真数。

　　注意:

由于a>0,故N>0,即N为正数,可见零与负数没有对数。

　　上面的问题:

　　通常将以10为底的对数叫做常用对数,。

以e为底的对数叫做自然对数,。

　　2.对数式与指数式的关系

　　由定义可知:

对数就就是指数变换而来的,因此对数式与指数式联系密切,且可以互相转化。

它们的关系可由下图表示。

　　由此可见a,b,N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化。

　　3.三个对数恒等式

　　由于对数式与指数式可以互化,因此指数的恒等转化为对数恒等式。

在（a>0,a≠1）前提下有:

　　4、三个运算法则:

　　指数的运算法则通过转化可变为对数的运算法则。

在a>0,a≠1的前提下有:

（1）

　　令am=M,an=N,则有m=logaM,n=logaN,

　　∵,∴m+n=loga（MN）,即

（2）,

　　令am=M,an=N,则有m=logaM,n=logaN,

　　∵,∴,即。

　　（3）,令am=M,则有m=logaM,∴mn=n

　　∵Mn=amn,∴mn=（n∈R）,∴n=。

　　5.两个换底公式

　　同底对数才能运算,底数不同时可考虑进行换底,在a>0,a≠1,M>0的前提下有:

（1）

　　令logaM=b,则有ab=M,（ab）n=Mn,即,即,即:

。

（2）,令logaM=b,则有ab=M,则有

　　即,即,即

　　当然,细心一些的同学会发现

（1）可由

（2）推出,但在解决某些问题

（1）又有它的灵活性。

而且由

（2）还可以得到一个重要的结论:

　　例题选讲:

第一阶梯

   [例1]将下列对数式化为指数式,指数式化为对数式:

（1）log216=4;       （3）54=625;           

   解:

（1）24=16

   （3）∵54=625,∴log5625=4、

   [例2]解下列各式中的x:

   （3）2x=3;

   （4）log3（x-1）=log9（x+5）、

   解:

   （3）x=log23、

   （4）将方程变形为

   [例3]求下列函数的定义域:

   思路分析:

   求定义域即求使解析式有意义的x的范围,真数大于0、底大于0且不等于1就是对数运算有意义的前提条件。

   解:

（1）令x2-4x-5>0,得（x-5）（x+1）>0,故定义域为{x|x<-1,或x>5}

   ∴0<4x-3≤1。

   所以所求定义域为{x|-1<0,或0

第二阶梯

   [例4]比较下列各组数中两个值的大小

（1）log23、4,log28、5;

（2）log0.31.8,log0、32、7;

   （3）loga5、1,loga5、9（a>0,a≠1）。

   思路分析:

   题中各组数可分别瞧作对数函数y=log2x、y=log0、3x、y=logax的两函数值,可由对数函数的单调性确定。

   解:

（1）因为底数2>1,所以对数函数y=log2x在（0,+∞）上就是增函数,于就是log23、4

（2）因为底数为0、3,又0<0、3<1,所以对数函数y=log0、3x在（0,+∞）上就是减函数,于就是log0.31.8>log0、32、7;

   （3）当a>1时,函数y=logax在（0,+∞）上就是增函数,所以loga5、1

      当0loga5、9。

   说明:

本题就是利用对数函数的单调性比较两对数的大小问题,对底数与1的大小关系未明确指定时,要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小,利用函数单调性比较对数的大小,就是重要的基本方法。

   [例5]若a>0,a≠1,x＞0,y＞0,x＞y,下列式子中正确的个数就是（）

（1）logax·logay=loga（x+y）;

（2）logax-logay=loga（x-y）;

   （4）logaxy=logax·logay;

   A、0  B、1  C、2  D、3

   思路分析:

   对数的运算实质就是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算。

在运算中要注意不能把对数符号当作表示数的字母参与运算。

如logax≠loga·x,logax就是不可分开的一个整体。

4个选项都把对数符号当作字母参与运算,因此都就是错误的。

   答案:

A

   [例6]已知lg2=0、3010,lg3=0、4771,求。

   思路分析:

解本题的关键就是设法将的常用对数分解为2,3的常用对数代入计算。

   解:

第三阶梯

   [例7]若方程lg（ax）·lg（ax2）=4的所有解都大于1,求a的取值范围。

   思路分析:

由对数的性质,方程可变形为关于lgx的一元二次方程,化归为一元二次方程解的讨论问题。

   解:

原方程化为

   （lgx+lga）（lga+2lgx）=4。

   2lg2x+3lga·lgx+lg2a-4=0,

   令t=lgx,则原方程等价于

   2t2+3tlga+lg2a-4=0,（*）

   若原方程的所有解都大于1,则方程（*）的所有解均大于0,则

   说明:

换元要确保新变量与所替换的量取值范围的一致性。

   [例8]将y=2x的图像（）

   A、先向左平行移动1个单位

   B、先向右平行移动1个单位

   C、先向上平行移动1个单位

   D、先向下平行移动1个单位

   再作关于直线y=x对称的图像,可得函数y=log2（x+1）的图像。

   思路分析:

由于第二步的变换结果就是已知的,故本题可逆向分析。

   解法1:

在同一坐标系内分别作为y=2x与y=log2（x+1）的图像,直接观察,即可得D。

   解法2:

与函数y=log2（x+1）的图像关于直线y=x以对称的曲线就是它的反函数y=2x-1的图像,为了得到它,只需将y=2x的图像向下平移1个单位。

   解法3:

   本身。

函数y=2x的图像向左或向右或向上平行移动都不会过（0,0）点,因此排除A、B、C,即得D。

   说明:

本题从多角度分析问题、解决问题,注意培养思维的灵活性。

   [例9]已知log189=a,18b=5,求log3645的值;（用含有a、b的式子表示）

   思路分析:

   当指数的取值范围扩展到有理数后,对数运算就就是指数运算的逆运算（扩展之前开方运算就是乘方运算的逆运算）。

因此,当一个题目中同时出现指数式与对数式时,一般要把问题转化,即统一到一种表达形式上。

   解:

由18b=5,得b=log185,又log189=a,∴log189+log185=log3645=a+b,则

   说明:

在解题过程中,根据问题的需要指数式转化为对数式,或者对数式转化为指数式运算,这正就是数学转化思想的具体体现,转化思想就是中学重要的教学思想,要注意学习、体会,逐步达到灵活应用。

   详细题解

   1.求值:

（1）　　

（2）　　（3）

　　解:

（1）。

（2）

　　（3）

　　注意:

lg2=log102,此为常用对数,lg22=（lg2）2,区别于。

　　2.求值:

（1）　　

（2）（3）

　　解:

（1）

（2）。

　　（3）法一:

　　　　法二:

　　注意:

运用换底公式时,理论上换成以大于0不为1任意数为底均可,但具体到每一个题,