幂函数与指数函数的区别.docx

1、幂函数与指数函数的区别幂函数与指数函数的区别1、指数函数:自变量x在指数的位置上,y=ax(a0,a不等于1) 性质比较单一,当a1时,函数就是递增函数,且y0; 当0a0、2、幂函数:自变量x在底数的位置上,y=xa(a不等于1)、 a不等于1,但可正可负,取不同的值,图像及性质就是不一样的。高中数学里面,主要要掌握a=-1、2、3、1/2时的图像即可。其中当a=2时,函数就是过原点的二次函数。其她a值的图像可自己通过描点法画下并了解下基本图像的走向即可。3、y=8(-0、7)就是一个具体数值,并不就是函数,如果要与指数函数或者幂函数联系起来也就是可以的。首先您可以将其瞧成:指数函数y=8x

2、(a=8),当x=-0、7时,y的值;或者将其瞧成:幂函数y=x(-0、7)(a=-0、7),当x=8时,y的值。幂函数的性质:根据图象,幂函数性质归纳如下:(1)所有的幂函数在(0,+)都有定义,并且图象都过点 (1,1);(2)当a0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间0,+ )上就是增函数.特别地,当a1时,幂函数的图象下凸;当0a1时,幂函数的图象上凸;(3)当a0,且a1),那么数b叫做以a为底N的对数,记作:logaN=b。其中a叫做对数的底数,N叫做真数。注意:由于a0,故N0,即N为正数,可见零与负数没有对数。上面的问题:通常将以10为底的对数叫做常用对数,。以e为底的对数叫做

3、自然对数,。2.对数式与指数式的关系由定义可知:对数就就是指数变换而来的,因此对数式与指数式联系密切,且可以互相转化。它们的关系可由下图表示。由此可见a,b,N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化。3.三个对数恒等式由于对数式与指数式可以互化,因此指数的恒等转化为对数恒等式。在(a0,a1)前提下有:4、 三个运算法则:指数的运算法则通过转化可变为对数的运算法则。在a0,a1的前提下有:(1) 令am=M,an=N,则有m=logaM,n=logaN, , m+n=loga(MN),即 (2) ,令am=M,an=N,则有m=logaM,n=logaN, , ,即 。(3) ,令am=M,则

4、有 m=logaM,mn=n Mn=amn, mn= (nR), n = 。5.两个换底公式同底对数才能运算,底数不同时可考虑进行换底,在a0,a1,M0的前提下有:(1) 令logaM=b,则有ab=M,(ab)n=Mn,即 ,即 ,即:。(2) ,令logaM=b,则有ab=M,则有 即,即 ,即 当然,细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出,但在解决某些问题(1)又有它的灵活性。而且由(2)还可以得到一个重要的结论: 例题选讲:第一阶梯 例1将下列对数式化为指数式,指数式化为对数式: (1)log216=4; (3)54=625; 解: (1)24=16 (3)54=625,log56

5、25=4、 例2解下列各式中的x: (3)2x=3; (4)log3(x-1)=log9(x+5)、 解: (3)x=log23、 (4)将方程变形为 例3求下列函数的定义域: 思路分析: 求定义域即求使解析式有意义的x的范围,真数大于0、底大于0且不等于1就是对数运算有意义的前提条件。 解: (1)令x2-4x-50,得(x-5)(x+1)0,故定义域为x|x5 04x-31。 所以所求定义域为x|-10,或0X2、 第二阶梯 例4比较下列各组数中两个值的大小 (1)log23、4, log28、5; (2)log0.31.8, log0、32、7; (3)loga5、1, loga5、9(

6、a0,a1)。 思路分析: 题中各组数可分别瞧作对数函数y=log2x、y=log0、3x、y=logax的两函数值,可由对数函数的单调性确定。 解: (1)因为底数21,所以对数函数y=log2x在(0,+)上就是增函数,于就是log23、4LOG28、5; (2)因为底数为0、3,又00、3log0、32、7; (3)当a1时,函数y=logax在(0,+)上就是增函数,所以loga5、1LOGa5、9; 当0loga5、9。 说明:本题就是利用对数函数的单调性比较两对数的大小问题,对底数与1的大小关系未明确指定时,要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小,利用函数单调性比较对数的大小,

7、就是重要的基本方法。 例5若a0,a1,x0,y0,xy,下列式子中正确的个数就是( ) (1)logaxlogay=loga(x+y); (2)logax-logay=loga(x-y); (4)logaxy=logaxlogay; A、0 B、1 C、2 D、3 思路分析: 对数的运算实质就是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算。在运算中要注意不能把对数符号当作表示数的字母参与运算。如logaxlogax,logax就是不可分开的一个整体。4个选项都把对数符号当作字母参与运算,因此都就是错误的。 答案:A 例6已知lg2=0、3010,lg3=0、4771,求 。 思路分

8、析:解本题的关键就是设法将 的常用对数分解为2,3的常用对数代入计算。 解: 第三阶梯 例7若方程lg(ax)lg(ax2)=4的所有解都大于1,求a的取值范围。 思路分析:由对数的性质,方程可变形为关于lgx的一元二次方程,化归为一元二次方程解的讨论问题。 解:原方程化为 (lgx+lga)(lga+2lgx)=4。 2lg2x+3lgalgx+lg2a-4=0, 令t=lgx,则原方程等价于 2t2+3tlga+lg2a-4=0,(*) 若原方程的所有解都大于1,则方程(*)的所有解均大于0,则 说明:换元要确保新变量与所替换的量取值范围的一致性。 例8将y=2x的图像( ) A、先向左平

9、行移动1个单位 B、先向右平行移动1个单位 C、先向上平行移动1个单位 D、先向下平行移动1个单位 再作关于直线y=x对称的图像,可得函数y=log2(x+1)的图像。 思路分析:由于第二步的变换结果就是已知的,故本题可逆向分析。 解法1:在同一坐标系内分别作为y=2x与y=log2(x+1)的图像,直接观察,即可得D。 解法2:与函数y=log2(x+1)的图像关于直线y=x以对称的曲线就是它的反函数y=2x-1的图像,为了得到它,只需将y=2x的图像向下平移1个单位。 解法3: 本身。函数y=2x的图像向左或向右或向上平行移动都不会过(0,0)点,因此排除A、B、C,即得D。 说明:本题从

10、多角度分析问题、解决问题,注意培养思维的灵活性。 例9已知log189=a,18b=5,求log3645的值;(用含有a、b的式子表示) 思路分析: 当指数的取值范围扩展到有理数后,对数运算就就是指数运算的逆运算(扩展之前开方运算就是乘方运算的逆运算)。因此,当一个题目中同时出现指数式与对数式时,一般要把问题转化,即统一到一种表达形式上。 解:由18b=5,得b=log185, 又log189=a,log189+log185=log3645=a+b,则 说明:在解题过程中,根据问题的需要指数式转化为对数式,或者对数式转化为指数式运算,这正就是数学转化思想的具体体现,转化思想就是中学重要的教学思想,要注意学习、体会,逐步达到灵活应用。 详细题解 1.求值:(1) (2) (3) 解:(1) 。(2) (3) 注意:lg2=log102,此为常用对数,lg22=(lg2)2,区别于。2.求值:(1) (2) (3) 解:(1) (2) 。(3) 法一: 法二: 注意:运用换底公式时,理论上换成以大于0不为1任意数为底均可,但具体到每一个题,