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46.2

35.3

36.1

60.8

0.03

0.36

0.72

0.26

6.78

24.32

36.7

0.23

0.74

1.24

1.16

3.59

18.97

0.04

0.17

0.1

0.49

0.53

0.54

1.8

100

0.24

0.6

2.59

1.64

1.48

4.2

粗纤维（%

8.2

10.7

13.5

0.4

价格（kg）

2.1

4.8

1.4

2.4

6.8

3.2

0.2

工序安排问题

现有一批产品需用同一台机器进行加工处理，其编号依次为1、2、3、4、5、6、7,各

产品的加工时间依次为14,6，24，12，6，18,12（分钟），该机器一次只能加工一件产品，每个产品加工完毕即可运走投入下一工序。

（1）试安排一个加工次序，使各产品的加工和等待时间之和最小，并说明理由；

（2）若产品6、7必须先于产品2加工，产品1、2、4必须先于产品3加工，产品6必须先于产品4加工，产品3必须先于5产品加工。

试找出使各产品的加工和等待时间之总和最小的加工次序。

7X6+6X6+5X12+4X12+3X14+2X18+24=288；

6（12）、7（18）、2（6）、4（12）、1（14）、3

（24）、5（6）；

7*12+18*6+5*6+4*12+3*14+2*24+6=366

问题

（1）:

模型一：

设Pi表示第i次序加工产品的加工时间，Ti次序产品的总停留时间，T表示总时间，则

T=T1+T2+T3+T4+T5+T6+T7，第i次序产品的总停留时间应该是它前面产品加工时间之和，

即Ti=Pi+P2+……+Pi,从而

+（Pi+P2+P3+P4+P5+P6+P7）

=7Pi+6P2+5P3+4P4+3P5+2P6+P7,要使T最小，系数越大对应的值越小越好，因此有：

Pl*2*3丰4守5守6*7，由已知：

Pi=P2=6,卩3=卩4=12,P5=14,卩6=18,卩7=24，总时间为

T=T=7666512412314218•24=288，产品加工排列次序：

2—5

—4—7—1—6—3;

5—2—4—7—1—6—3;

2—5—7—4—1—6—3;

5—2—7—4—1—6—3;

（由于2与5,4与7加工时间相同）

模型二：

Xij=1表示第i号产品在第j次序加工，否则不加工，（i、j=1,2,3,4,5,6,7）,Ti表示第i号产

品停留时间，T表示总时间，

摘要

本问题是一个产品加工工序安排的问题，每种产品的完成时间不同，并且有一些产品加

工工序有顺序约束，要求是进行合理的安排，使得整个产品加工的时间和等待时间最短。

对于第一问，要求整个产品加工过程的时间最短，即是求出各产品的加工和等待时间之和最小。

可以利用整数规划中的0-1规划，建立优化模型，寻找其中的决策变量和约束条件，最后通Lingo软件进行求解。

对于第二问，在第一问的基础上，根据问题中所给的紧前工序，在第一问的模型上加上

一些约束条件，最后通Lingo软件进行求解。

关键词：

优化模型0-1规划lingo排序

一、问题重述

产品的加工，需要制定合理的计划。

通过经验或者调查，得出各种产品的加工时间，从

而制定高效的加工方案，可以节约时间和资源，对于社会发展有着重要意义。

编号

工序

备注一产品6，7要在2前；

产品124要在3前，产品6要在4前，产品3要在5前

第一问要求各产品的加工和等待时间之和最小，并说明理由；

第二问在第一问的基础上

加上一些限制性条件后，同样要求各产品的加工和等待时间之和最小，并说明理由；

二、问题分析

本问题是要求各产品的加工和等待时间之和最小，而产品的加工时间是已知的，所以题

目即转化为求各产品的最小等待时间之和。

我们通过整数规划中的0-1规划，建立优化模型，

寻找其中的决策变量和约束条件，最后通Lingo软件对模型进行求解。

3模型假设

1.假设人力和物力充足，不考虑劳动力和成本问题

2•假设题目所给的数据绝对真实，且符合实际情况

3假设产品加工是联系，不间断的

4符号说明

Ci:

i工件的的加工时间

Ei:

i工件的完工时间

aj:

排在j位加工

Tj:

排在j位次的工件总加工时间

B（i,j）:

1,表示i工件在j位加工

0，表示i工件不在j位加工

5模型的建立与求解

第一问

由问题已知：

各产品的加工和等待时间之和最小=各产品的加工时间+各产品的等待时间,

本题根据已知数据，结合问题中的具体要求，我们引入

0/1变量建立工件排序的数学规划模型。

借助Lingo软件进

行求解运算，得出其中的最优排序方案。

使得完成这批工件加工任务所需要的总时间最省。

在这里，我们通过对各个工件（排序后）完成某项特定工序所需总时间进行求和得到整个加工任务所需要的总时间。

而各工件的总时间包括其加工时间和加工其他零件时的等待时间，得到结果为2-5-4-7-1-6-3最短时间为288。

在第二问中我们使用全举法列出所有的可能情况，利用约翰逊算法进行排列得到最优的排列循序，得到结果为7-6-2-4-1-3-5最短时间为366。

关键字：

0、1变量lingo约翰逊算法全举法

问题重述：

现有一批工件要在一台机器上加工，各工件加工时间不同，合理安排工序使总加工时间最少，总加工时间为工件加工时间加等待时间。

问题一：

工件排序不受限制7个工件在一台机器上加工

求出最小值。

问题二：

排序要求产品6、7必须先于产品2加工，产品

1、2、4必须先于产品3加工，产品6必须先于产品4加工，产品3必须先于5产品加工。

求最小时间

问题分析：

本题涉及的总时间可以理解为各工件在加工和等待的时间

总和，设Ti为i工件实际完工时间，所以完成这批工件的总

时间为TTi，用0、1变量来确定他的排列循序。

i=4

模型假设：

在后面的模型中，我们都假定了忽略工件在转换工序时的运输时间。

即将整个工件加工过程简化为一个连续的过程，机床不会出现故障问题，只考虑机床在加工工件时其他工件的等待时间。

符号说明:

工件加工总时间

第i件工件加工的总时间

第i件工件只加工的时间

原始工件i工件加工时间

工件的排列序号

模型建立:

T1=A1*7;

T2=A2*6;

T3=A3*5;

T4=A4*4

T5=A5*3;

T6=A6*2;

T7=A7*1

则工件的总时间为

t八Ti=A1*7+A2*6+A3*5+A4*4+A5*3+A6*2+A7*1

i二

0/1算法排序为

xll

xl2

xl3

xl6

xl7

x21

x22

x23

*24

x26

x27

x31

x32

x33

k36

x37

x41

x42

z43

k44

x46

x47

x51

卞52

x53

x55

x61

x62

x63

x66

x67

x71

x73

曆4

汐5

x76

x77

因此：

建立问题

（1）的目标函数即数学模型为：

Min=A1*7+A2*6+A3*5+A4*4+A5*3+A6*2+A7*1

A仁x11*a1+x12*a2+x13*a3+x14*a4+x15*a5+x16*a6+x17*a7

A2=x21*a1+x22*a2+x23*a3+x24*a4+x25*a5+x26*a6+x27*a7

A3=x31*a1+x32*a2+x33*a3+x34*a4+x35*a5+x36*a6+x37*a7

A4=x41*a1+x42*a2+x43*a3+x44*a4+x45*a5+x46*a6+x47*a7

A5=x51*a1+x52*a2+x53*a3+x54*a4+x55*a5+x56*a6+x57*a7

A6=x61*a1+x62*a2+x63*a3+x64*a4+x65*a5+x66*a6+x67*a7

A7=x71*a1+x72*a2+x73*a3+x74*a4+x75*a5+x76*a6+x77*a7引入0/1变量xij=1或0

则x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17=1;

x21+x22+x23+x24+x25x+x26+x27=1;

x31+x32+x33+x34+x35+x36+x37=1;

x41+x42+x43+x44+x45+x46+x47=1;

x51+x52+x53+x54+x55+x56+x57=1;

x61+x62+x63+x64+x65+x66+x67=1;

x71+x72+x73+x74+x75+x76+x77=1;

x11+x21+x31+x41+x51+x61+x7仁1;

x12+x22+x23+x24+x25+x26+x27=1;

x13+x23+x33+x43+x53+x63+x73=1;

x14+x24+x34+x44+x54+x64+x74=1;

x15+x25+x35+x45+x55+x65+x75=1;

x16+x26+x36+x46+x56+x66+x76=1;

x17+x27+x37+x47+x57+x67+x77=1;

用lingo软件计算得到结果为

A16.000000

6.000000

12.00000

14.00000

18.00000

24.00000

X15

X22

X34

X47

X51

X66

X73

2-5-4-7-1-6-3（因为2、5用时相等，4、7用时相等位置可

以互换

T=6*7+6*6+12*5+12*4+14*3+18*2+24*1=288

得到最小值为288分钟

问题二题中要求产品6、7必须先于产品2加工，产品1、2、4必须先于产品3加工，产品6必须先于产品4加工，产品3必须先于5产品加工。

用全举法列出所有情况

由约翰逊算法内容可得，取出最小工时先加工最小工时。

如该工时的工序没做要求则最小工时为第一工序先加工；

反之，则放在要求的工序后面加工。

通过约翰逊算法加工时小的放在前面加工得到下面排序结

果

7-6-2-4-1-3-5

T=12*7+18*6+6*5+12*4+14*3+24*2+6

最少时间为366分钟

模型评价和推广：

优点：

根据工件的实际加工情况来分析，各工件在加工

过程中加工时间和总时间之间的联系，寻求各工件加工总时间的具体算法求出最佳结果。

再利用Lingo软件进行求解模

型，得出工件的最优排序。

其中逻辑严谨，论证充分，算法简洁准确。

有效地提高了软件求解效率。

缺点：

本模型忽略了工件在转换工序时的运输时间、机

床出现故障等问题，将整个工件加工过程简化为一个连续的

过程。

不符合实际的生产情况。

附件：

lingo软件编程

model:

min=A1*7+A2*6+A3*5+A4*4+A5*3+A6*2+A7*1;

A1=x11*14+x12*6+x13*24+x14*12+x15*6+x16*18+x17*12;

A2=x21*14+x22*6+x23*24+x24*12+x25*6+x26*18+x27*12;

A3=x31*14+x32*6+x33*24+x34*12+x35*6+x36*18+x37*12;

A4=x41*14+x42*6+x43*24+x44*12+x45*6+x46*18+x47*12;

A5=x51*14+x52*6+x53*24+x54*12+x55*6+x56*18+x57*12;

A6=x61*14+x62*6+x63*24+x64*12+x65*6+x66*18+x67*12;

A7=x71*14+x72*6+x73*24+x74*12+x75*6+x76*18+x77*12;

x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17=1;

x11+x21+x31+x41+x51+x61+x71=1;

@gin（x1）;

@gin（x2）;

@gin（x3）;

@gin（x4）;

@gin（x5）;

@gin（x6）;

@gin（x7）;

@gin（x8）;

@gin（x9）;

@gin（x10）;

@gin（x11）;

@gin（x12）;

@gin（x13）;

@gin（x14）;

@gin（x15）;

@gin（x16）;

@gin（x17）;

@gin（x18）;

@gin（x19）;

@gin（x20）;

@gin（x21）;

@gin（x22）;

@gin（x23）;

@gin（x24）;

@gin（x25）;

@gin（x26）;

@gin（x27）

;

@gin（x28）;

@gin（x29）;

@gin（x30）;

@gin（x31）;

@gin（x32）;

@gin（x33）;

@gin（x34

）;

@gin（x35）;

@gin（x36）;

@gin（x37）;

@gin（x38）;

@gin（x39）;

@gin（x40）;

end

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

Objectivebound:

Infeasibilities:

Extendedsolversteps:

Totalsolveriterations:

riable

Value

ReducedCost

0.000000

X11

68.00000

X12

42.00000

X13

124.0000

X14

84.00000

1.000000

X16

88.00000

X17

60.00000

X21

54.00000

36.00000

X23

100.0000

X24

72.00000

X25

X26

70.00000

X27

48.00000

X31

40.00000

X32

30.00000

X33

76.00000

X35

X36

52.00000

X37

X41

2.000000

X42

X43

28.00000

X44

X45

X46

10.00000

X52

X53

16.00000

X54

X55

X56

4.000000

X57

X61

X62

X63

X64

26.00000

X65

X67

X71

X72

X74

32.00000

X75

X76

X77

8.000000

X25X

0.00000（

X10

X18

X19

X20

X28

X29

X30

X38

X39

X40

Row

1288.0000

20.000000

30.000000

40.000000

50.000000

60.000000

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-24.00000

-12.00000

20.00000

-30.00000

-44.00000

-38.00000

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