七年级下册第一单元《平行线》探究题Word格式文档下载.docx

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,过点E作EF∥l1,如图①所示,求∠BED的度数.

(2)若点A在点B的左侧,∠ABC=α°

,∠ADC=60°

如图②所示,求∠BED的度数;

(直接写出计算的结果)

(3)若点A在点B的右侧,∠ABC=α°

∠ADC=60°

,如图③所示,求∠BED的度数.

7.已知:

如图,直线a∥b,直线c与直线a、b分别相交于C、D两点,直线d与直线a、b分别相交于A、B两点.

(1)如图1,当点P在线段AB上(不与A、B两点重合)运动时,∠1、∠2、∠3之间有怎样的大小关系?

请说明理由;

(2)如图2,当点P在线段AB的延长线上运动时,∠1、∠2、∠3之间的大小关系为 ;

(3)如图3,当点P在线段BA的延长线上运动时,∠1、∠2、∠3之间的大小关系为 .

8.如图,已知AM∥BN,∠A=60°

.点P是射线AM上一动点(与点A不重合),BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN,分别交射线AM于点C,D.

(1)①∠ABN的度数是  ;

②∵AM∥BN,∴∠ACB=∠;

(2)求∠CBD的度数;

(3)当点P运动时,∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化?

若不变化,请写出它们之间的关系,并说明理由;

若变化,请写出变化规律.

(4)当点P运动到使∠ACB=∠ABD时,∠ABC的度数是  .

9.如图①,将一副直角三角板放在同一条直线AB上,其中∠ONM=30°

∠OCD=45

(1)将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转,使∠BON=30°

如图②,MN与CD相交于点E,求∠CEN的度数;

(2)将图①中的三角尺OMN绕点O按每秒15°

的速度沿逆时针方向旋转一周,在旋转的过程中,在第秒时,边MN恰好与边CD平行;

在第 秒时,直线MN恰好与直线CD垂直.(直接写出结果)

10.如图,直线AC∥BD,连接AB,直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分,规定线上各点不属于任何部分.

(1)如图

(1),当动点P落在第①部分时,直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系是

(1)如图(2),当动点P落在第②部分时,直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系是

(3)如图(3),当动点P落在第③部分时,直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系是 

(4)选择以上一种结论加以证明.

11.如图1,将两根笔直细木板MN、EF用图钉固定并平行摆放,将一根橡皮筋拉直后用图钉分别固定在MN、EF上,橡皮筋的两端点分别记为点A、点B.

(1)图1中,若∠1=110°

,则∠2=度.(直接写出结果,不需说理)

(2)P为橡皮筋上一点,利用橡皮筋的弹性拉动橡皮筋,使A、P、B三点不在同一直线上,然后用图钉固定点P.

①如图2,若点P在两细木棒所在直线之间,且∠1+∠2=90°

,试判断线段AP与BP所在直线的位置关系,并说明理由;

②如图3,若点P在两细木棒所在直线的同侧,且∠1+∠2=90°

,∠APB=28°

,试求∠1、∠2的度数.

(3)P1、P2为AB上两点,拉动橡皮筋并固定如图4,若∠1+∠2=90°

则∠AP1P2+∠BP2P1= 度.(直接写出结果,不需说理)

12.已知,如图,AB∥CD,分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB,∠PCD之间的关系,请你从所得到的关系中任选一个加以证明(温馨提示:

添加适当辅助线)

(1)在图1中,∠APC与∠PAB,∠PCD之间的关系是:

 .

(2)在图2中,∠APC与∠PAB,∠PCD之间的关系是:

(3)在图3中,∠APC与∠PAB,∠PCD之间的关系是:

 .

(4)在图4中,∠APC与∠PAB,∠PCD之间的关系是:

 .

(5)在图中,求证:

13.学习平行线性质后,老师让学生完成教材第135页练习中第2题,并针对这道题做深入的探究,看有什么新发现:

题目:

如图,AB∥DE,BC∥EF.求证:

∠B=∠E.

下面是小明和小红探究完成这道题的过程.请补充完整:

(1)小明发现,利用平行线性质,这道题很容易证明.小明利用的平行线性质可能是  .

(2)小红说她的方法和小明的不一样,小红利用的平行线性质可能是  .

(3)继续探究后,小明说:

“我发现这道题可以用文字语言这样叙述:

如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角相等.”

小红针对小明的叙述做深入探究后说:

“针对这道题你的说法是对的,因为这道题给出了图形,如果没有给出图形,你说的“如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角相等是不准确的,我发现它还存在另外一种情况.”

你认为小红的说法是否正确?

若正确,请就小红说的“还存在另外一种情况”画出图形,给出证明,并补充修改小明给出的文字语言叙述.若不正确,请说明理由.

14.已知,如图,l1∥l2.

(1)如图1,过点P作l1的平行线,可证∠APB,∠A,∠B之间的等量关系是:

∠APB=∠A+∠B.

(2)如图2,请你写出∠APB,∠A,∠B之间的等量关系,并证明.

(3)如图3,请你直接写出∠P1,∠P2,∠P3,∠P4,∠P5之间的等量关系为:

 .

15.几何问题中,当图形的位置改变时,与之相关的某些数量关系也会随之发生变化,完成探究:

(1)若AB∥CD,同一平面内另一点E在AB与CD之间时,如图1,求证:

∠B+∠D=∠E;

(2)若AB∥CD,同一平面内另一点E在AB的上面时,如图2,试探究∠B,∠D,∠E之间的关系式并证明你的结论;

(3)若AB∥CD,同一平面内另一点E在CD的下面时,如图3,直接写出∠B,∠D,∠E之间的关系式;

(4)若AB∥CD,同一平面内另一点E在AB与CD之间时,如图4,直接写出∠B、∠D、∠E之间的关系式.

参考答案与试题解析

一.解答题(共15小题)

1.(2016春•周口期末)将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起(其中,∠A=60°

∠D=30°

∠E=∠B=45°

(1)①若∠DCE=45°

则∠ACB的度数为 135°

 ;

求∠DCE的度数;

(2)由

(1)猜想∠ACB与∠DCE的数量关系,并说明理由.

(3)当∠ACE<

180°

且点E在直线AC的上方时,这两块三角尺是否存在一组边互相平行?

若存在,请直接写出∠ACE角度所有可能的值(不必说明理由);

若不存在,请说明理由.

【分析】

(1)①首先计算出∠DCB的度数,再用∠ACD+∠DCB即可;

②首先计算出∠DCB的度数,再计算出∠DCE即可;

(2)根据

(1)中的计算结果可得∠ACB+∠DCE=180°

,再根据图中的角的和差关系进行推理即可;

(3)根据平行线的判定方法可得.

【解答】解:

(1)①∵∠ECB=90°

,∠DCE=45°

∴∠DCB=90°

﹣45°

=45°

∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°

+45°

=135°

故答案为:

135°

②∵∠ACB=140°

,∠ACD=90°

∴∠DCB=140°

﹣90°

=50°

∴∠DCE=90°

﹣50°

=40°

;

(2)∠ACB+∠DCE=180°

∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°

+∠DCB,

∴∠ACB+∠DCE=90°

+∠DCB+∠DCE=90°

+90°

=180°

(3)存在,

当∠ACE=30°

时,AD∥BC,

当∠ACE=∠E=45°

时,AC∥BE,

当∠ACE=120°

时,AD∥CE,

当∠ACE=135°

时,BE∥CD,

当∠ACE=165°

时,BE∥AD.

【点评】此题主要考查了角的计算,以及平行线的判定,关键是理清图中角的和差关系.

2.(2016春•乐业县期末)已知如图,AB∥CD,试解决下列问题:

(1)∠1+∠2= 180°

(2)∠1+∠2+∠3= 360°

 ;

(3)∠1+∠2+∠3+∠4=540°

(4)试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=(n﹣1)180°

.

(1)中,根据两条直线平行,同旁内角互补作答;

(2)过点E作平行于AB的直线,运用两次两条直线平行,同旁内角互补即可得到三个角的和;

(3)分别过点E,F作AB的平行线,运用三次平行线的性质,即可得到四个角的和;

(4)同样作辅助线,运用(n﹣1)次平行线的性质,则n个角的和是(n﹣1)180°

.

【解答】

解:

(1)∵AB∥CD,∴∠1+∠2=180°

(两直线平行,同旁内角互补);

(2)过点E作一条直线EF平行于AB,

∵AB∥CD,

∵AB∥EF,CD∥EF,

∴∠1+∠AEF=180°

∠FEC+∠3=180°

∴∠1+∠2+∠3=360°

(3)过点E、F作EG、FH平行于AB,

∵AB∥CD,

∵AB∥EG∥FH∥CD,

∴∠1+∠AEG=180°

,∠GEF+∠EFH=180°

∠HFC+∠4=180°

∴∠1+∠2+∠3+∠4=540°

(4)中,根据上述规律,显然作(n﹣2)条辅助线,运用(n﹣1)次两条直线平行,同旁内角互补.即可得到n个角的和是180°

(n﹣1).

【点评】注意此类题要构造平行线,运用平行线的性质进行解决.

3.(2016春•广水市期末)如图,直线CB∥OA,∠C=∠OAB=100°

E、F在CB上,且满足∠FOB=∠AOB,OE平分∠COF

(1)求∠EOB的度数;

(2)若平行移动AB,那么∠OBC:

∠OFC的值是否随之发生变化?

若不变,求出这个比值.

(3)在平行移动AB的过程中,是否存在某种情况,使∠OEC=∠OBA?

若存在,求出其度数;

若不存在,说明理由.

(1)根据两直线平行,同旁内角互补求出∠AOC,然后求出∠EOB=

∠AOC,计算即可得解;

(2)根据两直线平行,内错角相等可得∠AOB=∠OBC,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠OFC=2∠OBC,从而得解;

(3)根据三角形的内角和定理求出∠COE=∠AOB,从而得到OB、OE、OF是∠AOC的四等分线,再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.

【解答】解:

(1)∵CB∥OA,

∴∠AOC=180°

﹣∠C=180°

﹣100°

=80°

∵OE平分∠COF,

∴∠COE=∠EOF,

∵∠FOB=∠AOB,

∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=

∠AOC=

×

80°

(2)∵CB∥OA,

∴∠AOB=∠OBC,

∵∠FOB=∠AOB,

∴∠FOB=∠OBC,

∴∠OFC=∠FOB+∠OBC=2∠OBC,

∴∠OBC:

∠OFC=1:

2,是定值;

(3)在△COE和△AOB中,

∵∠OEC=∠OBA,∠C=∠OAB,

∴∠COE=∠AOB,

∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线,

∴∠COE=

80°

=20°

∴∠OEC=180°

﹣∠C﹣∠COE=180°

﹣100°

﹣20°

=60°

故存在某种情况,使∠OEC=∠OBA,此时∠OEC=∠OBA=60°

【点评】本题考查了平行线的性质,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,角平分线的定义,熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键.

4.(2016春•大同期末)如图,已知直线l1∥l2,l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D,点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合.记∠AEP=∠1,∠PFB=∠2,∠EPF=∠3.

(1)若点P在图

(1)位置时,求证:

∠3=∠1+∠2;

(2)若点P在图

(2)位置时,请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系;

(3)若点P在图(3)位置时,写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明.

【分析】此题三个小题的解题思路是一致的,过P作直线l1、l2的平行线,利用平行线的性质得到和∠1、∠2相等的角,然后结合这些等角和∠3的位置关系,来得出∠1、∠2、∠3的数量关系.

【解答】证明:

(1)过P作PQ∥l1∥l2,

由两直线平行,内错角相等,可得:

∠1=∠QPE、∠2=∠QPF;

∵∠3=∠QPE+∠QPF,

∴∠3=∠1+∠2.

(2)关系:

∠3=∠2﹣∠1;

过P作直线PQ∥l1∥l2,

则:

∠1=∠QPE、∠2=∠QPF;

∵∠3=∠QPF﹣∠QPE,

∴∠3=∠2﹣∠1.

(3)关系:

∠3=360°

﹣∠1﹣∠2.

过P作PQ∥l1∥l2;

(1)可证得:

∠3=∠CEP+∠DFP;

∵∠CEP+∠1=180°

,∠DFP+∠2=180°

∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°

即∠3=360°

﹣∠1﹣∠2.

【点评】此题主要考查的是平行线的性质,能够正确地作出辅助线,是解决问题的关键.

5.(2016春•吴中区校级期末)AB∥CD,C在D的右侧,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,BE、DE所在直线交于点E.∠ADC=70°

(1)求∠EDC的度数;

(2)若∠ABC=n°

,求∠BED的度数(用含n的代数式表示);

(3)将线段BC沿DC方向移动,使得点B在点A的右侧,其他条件不变,若∠ABC=n°

求∠BED的度数(用含n的代数式表示).

(1)根据角平分线的定义可得∠EDC=

∠ADC,然后代入数据计算即可得解;

(2)根据角平分线的定义表示出∠CBE,再根据两直线平行,内错角相等可得∠BCD=∠ABC,然后根据三角形的内角和定理列式整理即可;

(3)根据角平分线的定义求出∠ADE、∠ABE,根据两直线平行,同旁内角互补求出∠BAD,再根据四边形的内角和定理列式计算即可得解.

(1)∵DE平分∠ADC,∠ADC=70°

∴∠EDC=

∠ADC=35°

(2)∵BE平分∠ABC,

∴∠CBE=

∠ABC=

∵AB∥CD,

∴∠BCD=∠ABC=n°

∴∠CBE+∠BED=∠EDC+∠BCD,

n°

+∠BED=35°

+n°

解得∠BED=35°

+

(3)如图,∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,

∴∠ADE=

∠ADC=35°

∠ABE=

∠ABC=

∴∠BAD=180°

﹣∠ADC=180°

﹣70°

=110°

在四边形ADEB中,∠BED=360°

﹣110°

﹣35°

=215°

【点评】本题考查了平行线的性质,角平分线的定义,熟记性质并准确识图是解题的关键.

6.(2016春•大冶市期末)已知直线l1∥l2,点A是l1上的动点,点B在l1上,点C、D在l2上,∠ABC,∠ADC的平分线交于点E(不与点B,D重合).

(1)若点A在点B的左侧,∠ABC=80°

,∠ADC=60°

,过点E作EF∥l1,如图①所示,求∠BED的度数.

(2)若点A在点B的左侧,∠ABC=α°

∠ADC=60°

如图②所示,求∠BED的度数;

(3)若点A在点B的右侧,∠ABC=α°

∠ADC=60°

,如图③所示,求∠BED的度数.

(1)根据BE、DE分别是∠ABC,∠ADC的平分线,得出∠ABE=

∠ABC,∠CDE=

∠ADC,再由平行线的性质得出∠BEF=∠ABE,同理可得出∠DEF=∠CDE,再由∠BED=∠BEF+∠DEF即可得出结论;

(2)过点E作EF∥AB,同(1)的证明过程完全相同;

(3)过点E作EF∥L1,根据BE,DE分别是∠ABC、∠ADC平分线可知∠ABE=

∠ABC=

α°

∠CDE=

∠ADC,再由EF∥L1可知∠BEF=(180﹣

α)°

.根据L1∥L2可知EF∥L2,故∠DEF=∠CDE=30°

所以∠BED=∠BEF+∠DEF.

(1)∵BE、DE分别是∠ABC,∠ADC的平分线,

∴∠ABE=

∠ABC=

=40°

,∠CDE=

∠ADC=

60°

=30°

∵EF∥L1,

∴∠BEF=∠ABE=40°

∵L1∥L2

∴EF∥L2

∴∠DEF=∠CDE=30°

∴∠BED=∠BEF+∠DEF=40°

+30°

=70°

(2)BE、DE分别是∠ABC,∠ADC的平分线,

∴∠ABE=

,∠CDE=

∠ADC=

∵EF∥L1,

∴∠BEF=∠ABE=

∵L1∥L2,

∴EF∥L2,

∴∠DEF=∠CDE=30°

∴∠BED=∠BEF+∠DEF=

+30°

即∠BED=(

α+30)°

(3)过点E作EF∥L1,

∵BE,DE分别是∠ABC、∠ADC平分线,

∴∠ABE=

∠ABC=

,∠CDE=

∠ADC=

60°

=30°

∵EF∥L1,

∴∠BEF=(180﹣

又∵L1∥L2

∴EF∥L2

∴∠DEF=∠CDE=30°

∴∠BED=∠BEF+∠DEF

=(180﹣

α+30)°

=(210﹣

【点评】本题考查的是平行线的性质,根据题意作出平行线,再由平行线的性质及三角形外角的性质即可得出结论.

7.(2016春•高阳县期末)已知:

如图,直线a∥b,直线c与直线a、b分别相交于C、D两点,直线d与直线a、b分别相交于A、B两点.

(1)如图1,当点P在线段AB上(不与A、B两点重合)运动时,∠1、∠2、∠3之间有怎样的大小关系?

请说明理由;

(2)如图2,当点P在线段AB的延长线上运动时,∠1、∠2、∠3之间的大小关系为∠1=∠2+∠3 ;

(3)如图3,当点P在线段BA的延长线上运动时,∠1、∠2、∠3之间的大小关系为 ∠2=∠1+∠3.

(1)过点P作a的平行线,根据平行线的性质进行解题;

(2)过点P作b的平行线PE,由平行线的性质可得出a∥b∥PE,由此即可得出结论;

(3)设直线AC与DP交于点F,由三角形外角的性质可得出∠1+∠3=∠PFA,再由平行线的性质即可得出结论.

(1)如图1,过点P作PE∥a,则∠1=∠CPE.

∵a∥b,PE∥a,

∴PE∥b,

∴∠2=∠DPE,

∴∠3=∠1+∠2;

(2)如图2,过点P作PE∥b,则∠2=∠EPD,

∵直线a∥b,

∴a∥PE,

∴∠1=∠3+∠EPD,即∠1=∠2+∠3.

故答案为:

∠1=∠2+∠3;

(3)如图3,设直线AC与DP交于点F,

∵∠PFA是△PCF的外角,

∴∠PFA=∠1+∠3,

∵a∥b,

∴∠2=∠PFA,即∠2=∠1+∠3.

∠2=∠1+∠3.

【点评】本题考查的是平行线的性质,根据题意作出平行线,利用平行线的性质解答是解答此题的关键.

8.(2016秋•德惠市期末)如图,已知AM∥BN,∠A=60°

.点P是射线AM上一动点(与点A不重合),BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN,分别交射线AM于点C,D.

(1)①∠ABN的度数是120°

②∵AM∥BN,∴∠ACB=∠CBN ;

(2)求∠CBD的度数;

(3)当点P运动时,∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化?

若不变化,请写出它们之间的关系,并说明理由;

若变化,请写出变化规律.

(4)当点P运动到使∠ACB=∠ABD时,∠ABC的度数是30°

(1)由平行线的性质:

两直线平行同旁内角互补和内错角相等可得;

(2)由

(1)知∠ABP+∠PBN=120°

,再根据角平分线的定义知∠ABP=2∠CBP、∠PBN=2∠DBP,可得2∠CBP+2∠DBP=120°

,即∠CBD=∠CBP+∠DBP=60°

(3)由AM∥BN得∠APB=∠PBN、∠ADB=∠DBN,根据BD平分∠PBN知∠PBN=2∠DBN,从而可得∠APB:

∠ADB=2:

1;

(4)由AM∥BN得∠ACB=∠CBN,当∠ACB=∠ABD时有∠CBN=∠ABD,得∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN,即∠ABC=∠DBN,根据∠ABN=120°

∠CBD=60°

可得答案.

(1)①∵AM∥BN,∠A=60°

∴∠A+∠ABN=180°

∴∠ABN=120°

②∵AM∥BN,

∴∠ACB=∠CBN,

120°

,∠CBN;

(2)∵AM∥BN,

∴∠ABN+∠A=180°

∴∠ABN=180°

﹣60°

=120°

∴∠ABP+∠PBN=120°

∵BC平分∠ABP,BD平分∠PBN,

∴∠ABP=2∠CBP,∠PBN=2∠DBP,

∴2∠CBP+2∠DBP=120°

∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=60°

(3)不变,∠APB:

∠ADB=2:

1.

∵AM∥BN,

∴∠APB=∠PBN,∠ADB=∠DBN,

∵BD平分∠PBN,

∴∠PBN=2∠DBN,

∴∠APB:

∠ADB=2:

1;

(4)

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