高中数学必修1知识点及题型.docx

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高中数学必修1知识点及题型

1.集合

知识点一　集合的概念

1．集合：

一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合（或集），通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示．

2．元素：

构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示．

3．空集：

不含任何元素的集合叫做空集，记为.

知识点二　集合与元素的关系

1．属于：

如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a________A.

2．不属于：

如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a________A.

知识点三　集合的特性及分类

1．集合元素的特性_______、________、________.

2．集合的分类：

（1）有限集：

含有_______元素的集合；

（2）无限集：

含有_______元素的集合．

3．常用数集及符号表示

名称

非负整数集（自然数集）

整数集

实数集

符号

N

N*或N＋

Z

Q

R

知识点四　集合的表示方法

1．列举法：

把集合的元素______________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法

2．描述法：

用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法．

知识点五　集合与集合的关系

1．子集与真子集

定义

符号语言

图形语言

（Venn图）

子集

如果集合A中的________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集

________（或________）

真子集

如果集合A⊆B，但存在元素________，且________，我们称集合A是集合B的真子集

________（或________）

2.子集的性质

（1）规定：

空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________．

（2）任何一个集合A都是它本身的子集，即________．（3）如果A⊆B，B⊆C，则________．（4）如果AB，BC，则________．

3．集合相等

定义

符号语言

图形图言

（Venn图）

集合相等

如果集合A是集合B的子集（A⊆B），且________________，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等

A＝B

知识点

六　集合的运算

1．交集

自然语言

符号语言

图形语言

由___________________

_____________________

组成的集合，称为A与B的交集

A∩B＝_________

2．并集

自然语言

符号语言

图形语言

由_________________

_________________组成的集合，称为A与B的并集

A∪B＝_______________

3.交集与并集的性质

交集的运算性质

并集的运算性质

A∩B＝________

A∪B＝________

A∩A＝________

A∪A＝________

A∩∅＝________

A∪∅＝________

A⊆B⇔A∩B＝________

A⊆B⇔A∪B＝________

4.全集

在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的________，那么就称这个集合为全集，通常记作________．

5．补集

文字语言

对于一个集合A，由全集U中__________的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作________

符号语言

∁UA＝________________

图形语言

典例精讲

题型一*判断能否构成集合

1．在“①高一数学中的难题；②所有的正三角形；③方程x2－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是。

题型二*验证元素是否是集合的元素

1、已知集合，判断3是不是集合A的元素。

2、集合A是由形如的数构成的，判断是不是集合A中的元素.

题型三**求集合

1．方程组的解集是（　　）

A.B．{x，y|x＝3且y＝－7}C．{3，－7}D．{（x，y）|x＝3且y＝－7}

2．下列六种表示法：

①{x＝－1，y＝2}；②{（x，y）|x＝－1，y＝2}；③{－1,2}；④（－1,2）；⑤{（－1,2）}；⑥{（x，y）|x＝－1或y＝2}．

能表示方程组的解集的是（　　）

A．①②③④⑤⑥B．②③④⑤C．②⑤D．②⑤⑥

题型四**利用集合中元素的性质求参数

1．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是（　　）

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．等腰三角形

2.设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝________.

3.已知P＝{x|2＜x＜k，x∈N，k∈R}，若集合P中恰有3个元素，则实数k的取值范围是________.

4.已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为（　　）

A．2B．3C．0或3D．0或2或3

题型五**判断集合间的关系

1、设,，则M与N的关系正确的是（）

A.M=NB.C.D.以上都不对

2．判断下列集合间的关系：

（1）A＝{x|x－3＞2}，B＝{x|2x－5≥0}；

（2）A＝{x∈Z|－1≤x<3}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}．

题型六**求子集个数

1．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．

2.已知集合A＝{1，2，3}，写出集合A的所有子集，非空子集，真子集，非空真子集

题型七**利用两个集合之间的关系求参数

1.已知集合A＝{1,2，m3}，B＝{1，m}，B⊆A，则m＝________.

2．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|ax－2＝0}，若B⊆A，则a的值不可能是（　　）

A．0B．1C．2D．3

题型八***集合间的基本运算

1．下面四个结论：

①若a∈（A∪B），则a∈A；②若a∈（A∩B），则a∈（A∪B）；③若a∈A，且a∈B，则a∈（A∩B）；④若A∪B＝A，则A∩B＝B.其中正确的个数为（　　）

A．1　　　　B．2C．3D．4

2．已知集合M＝{x|－33}，则M∪N＝（　　）

A．{x|x>－3}B．{x|－3

3．已知集合A＝{2，－3}，集合B满足B∩A＝B，那么符合条件的集合B的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

4．（2016·全国卷Ⅲ理，1）设集合S＝{x|（x－2）（x－3）≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝（　　）

A．[2,3]B．（－∞，2]∪[3，＋∞）C．[3，＋∞）D．（0,2]∪[3，＋∞）

5．下列关系式中，正确的个数为（　　）

①（M∩N）⊆N；②（M∩N）⊆（M∪N）；③（M∪N）⊆N；④若M⊆N，则M∩N＝M.

A．4B．3C．2D．1

6．（2016·唐山一中月考试题）已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2

题型九**根据集合运算的结果求参数

1．若集合A＝{2,4，x}，B＝{2，x2}，且A∪B＝{2,4，x}，则x＝________.

2．设A＝{x|x2＋8x＝0}，B＝{x|x2＋2（a＋2）x＋a2－4＝0}，其中a∈R.如果A∩B＝B，求实数a的取值范围.

3．U＝{1,2}，A＝{x|x2＋px＋q＝0}，∁UA＝{1}，则p＋q＝________.

题型十**集合中的新定义问题

1．集合P＝{3,4,5}，Q＝{6,7}，定义P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P*Q的子集个数为（　　）

A．7B．12C．32D．64

2．当x∈A时，若x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，由A的所有孤立元素组成的集合称为A的“孤星集”，若集合M＝{0,1,3}的孤星集为M′，集合N＝{0,3,4}的孤星集为N′，则M′∪N′＝（　　）

A．{0,1,3,4}B．{1,4}C．{1,3}D．{0,3}

知识点一　函数的有关概念

知识点二　两个函数相等的条件

1．定义域________．

2．________完全一致．

知识点三　区间的概念及表示

1．一般区间的表示

设a，b∈R，且a

定义

名称

符号

数轴表示

{x|a≤x≤b}

闭区间

{x|a

开区间

{x|a≤x

半开半闭区间

{x|a

半开半闭区间

2.特殊区间的表示

定义

R

{x|x≥a}

{x|x>a}

{x|x≤a}

{x|x

符号

（－∞，＋∞）

a，＋∞）

（a，＋∞）

（－∞，a]

（－∞，a）

知识点四　函数的表示方法

函数的三种表示法：

解析法、图象法、列表法．

知识点五　分段函数

如果函数y＝f（x），x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的________，那么称这样的函数为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的________，值域是各段值域的________．

知识点六　映射的概念

设A，B是两个________________，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的________________，在集合B中都有________确定的元素y与之对应，那么就称对应f：

A→B为从集合A到集合B的一个映射．

知识点七　函数的单调性

1．增函数、减函数：

设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．

2．函数的单调性：

若函数f（x）在区间D上是增（减）函数，则称函数f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做f（x）的单调区间．

3．单调性的常见结论：

若函数f（x），g（x）均为增（减）函数，则f（x）＋g（x）仍为增（减）函数；若函数f（x）为增（减）函数，则－f（x）为减（增）函数；若函数f（x）为增（减）函数，且f（x）>0，则为减（增）函数．

知识点八　函数的最大值、最小值

最值

类别

最大值

最小值

条件

设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足

（1）对于任意的x∈I，都有__________

（2）存在x0∈I，使得______________

（1）对于任意的x∈I，都有________

（2）存在x0∈I，使得________

结论

M是函数y＝f（x）的最大值

M是函数y＝f（x）的最小值

性质：

定义在闭区间上的单调函数，必有最大（小）值．

知识点九　函数的奇偶性

1．函数奇偶性的概念

偶函数

奇函数

条件

对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有

f（－x）＝f（x）

f（－x）＝－f（x）

结论

函数f（x）是偶函数

函数f（x）是奇函数

2.性质