《高校自主招生考试》数学真题分类解析之1不等式.docx

《高校自主招生考试》数学真题分类解析之1不等式.docx

《《高校自主招生考试》数学真题分类解析之1不等式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《高校自主招生考试》数学真题分类解析之1不等式.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

《高校自主招生考试》数学真题分类解析之1不等式

专题之10、不等式

一、选择题。

1．（2009年复旦大学）若实数x满足对任意实数a>0,均有x2<1+a,则x的取值范围是（）

A.（-1,1）

B.[-1,1]

C.（-,）

D.不能确定

2．（2010年复旦大学）已知点A（-2,0）,B（1,0）,C（0,1）,如果直线y=kx将△ABC分割为两个部分,则当k=　　　　时,这两个部分的面积之积最大.（）

A.-

B.-

C.-

D.-

3．（2010年复旦大学）将同时满足不等式x-ky-2≤0（k>0）,2x+3y-6≥0,x+6y-10≤0的点（x,y）组成的集合D称为可行域,将函数z=称为目标函数,所谓规划问题就是求解可行域内的点（x,y）,使目标函数达到在可行域内的最小值.如果这个规划问题有无穷多个解,则（）

A.k≥1

B.k≤2

C.k=2

D.k=1

4．（2011年复旦大学）设n是一个正整数,则函数y=x+在正实半轴上的最小值是（）

A.

B.

C.

D.

5．（2011年复旦大学）若对一切实数x,都有|x-5|+|x-7|>a,则实数a的取值范围是（）

A.a<12

B.a<7

C.a<5

D.a<2

6．（2011年清华大学等七校联考）已知向量a=（0,1）,b=（-,-）,c=（,-）,xa+yb+zc=（1,1）,则x2+y2+z2的最小值为（）

A.1

B.

C.

D.2

二、填空题。

7．（2010年中南财经政法大学）已知实数a,b满足a>b,ab=1,则的最小值是　　　　.

8．（2009年华中科技大学）对任意的a>0,b>0, 的取值范围是　　.

三、解答题。

9．（2009年中国科技大学）求证:

∀x,y∈R,不等式x2+xy+y2≥3（x+y-1）恒成立.

10．（2009年南京大学）P为△ABC内一点,它到三边BC,CA,AB的距离分别为d1,d2,d3,S为△ABC的面积,求证:

++≥.

11．（2010年南京大学）（a+b）2+3a+2b=（c+d）2+3c+2d.　（*）

证明:

（1）a=c,b=d的充分必要条件是a+b=c+d;

（2）若a,b,c,d∈N*,则（*）式成立的充要条件是a=c,b=d.

12．（2010年浙江大学）有小于1的n（n≥2）个正数:

x1,x2,x3,…,xn,且x1+x2+x3+…+xn=1.求证:

+++…+>4.

13．（2009年清华大学）设a=（n∈N*）,Sn=（x1-a）（x2-a）+（x2-a）（x3-a）+…+（xn-1-a）（xn-a）,求证:

S3≤0.

14．（2009年清华大学）

（1）x,y为正实数,且x+y=1,求证:

对于任意正整数n,xn+yn≥;

（2）a,b,c为正实数,求证:

++≥3,其中x,y,z为a,b,c的一种排列.

15．（2009年北京大学）∀x∈R都有acosx+bcos2x≥-1恒成立,求a+b的最大值.

16．（2011年北京大学等十三校联考）求f（x）=|x-1|+|2x-1|+…+|2011x-1|的最小值.

17．（2012年北京大学等十一校联考）求+=1的实数根的个数.

1.B

【解析】对任意实数a>0,函数f（a）=1+a的值域是（1,+∞）,因此只要x2≤1即可.由x2≤1,解得x∈[-1,1].

3.C

【解析】可行域如图中阴影部分所示,

目标函数z=的几何意义是可行域内的点与点（0,-1）连线的斜率,如果要使其取得最小值的点有无穷多个,则直线x-ky-2=0必过点（0,-1）,即k=2.选C.在解含有参数的平面区域问题时要注意含有参数的直线系的特点,本题的突破点是直线系x-ky-2=0过定点（2,0）.

4.C

【解析】题中函数为非常规函数,可利用导数求其最值.

因为y=x+=x+x-n,所以y'=1-x-n-1=1-,令y'=0得x=1,且函数y在（0,1）上递减,在（1,+∞）上递增,故函数y在正实半轴上的最小值为1+=.

5.D

【解析】可先求出函数y=|x-5|+|x-7|的最小值,然后根据不等式恒成立的条件求得a的取值范围.由于|x-5|+|x-7|≥|5-7|=2,即函数y=|x-5|+|x-7|的最小值等于2,所以要使|x-5|+|x-7|>a恒成立,应有a<2.

方法二　∵xa+yb+zc=（1,1）,∴-y+z=1,x-y-z=1,∴-y+z=,y+z=2x-2,∴z=+x-1,y=-+x-1,∴x2+（-+x-1）2+（+x-1）2=3x2-2（+1）x+（+1）2+2（-1）x+（-1）2=3x2-4x++2=3（x2-x+）++2-=3（x-）2+≥,当且仅当x=,z=,y=时等号成立.

9.x2+xy+y2-3（x+y-1）=（x+y）2+x2+y2-3x-3y+3

=（x+y）2+（x-3）2+（y-3）2-6≥（x+y）2+（x+y-6）2-6

=（x+y）2-3（x+y）+3=[（x+y）-]2≥0,

故∀x,y∈R,不等式x2+xy+y2≥3（x+y-1）恒成立.

10.2S=2（S△PBC+S△PCA+S△PAB）,2S=ad1+bd2+cd3.

要证++≥成立,

即证（ad1+bd2+cd3）（++）≥（a+b+c）2成立.

由柯西不等式可得上面不等式成立,当且仅当d1=d2=d3时等号成立.

11.

（1）由a=c,b=d得到a+b=c+d是显然的;反之,把a+b=c+d代入（*）式可得a=c,于是b=d.因此,a=c,b=d的充要条件是a+b=c+d.

（2）充分性是显然的,下面证明必要性.

当a+b=c+d时,由

（1）可知:

a=c,b=d,即必要性成立.

当a+b>c+d时,有a-c>d-b,设a-c=d-b+p（p≥1）,

由（*）式得（a+b+1）2+a=（c+d+1）2+c,

∴（a+b-c-d）（a+b+c+d+2）+a-c=0,

∴[（a-c）-（d-b）]（a+b+c+d+2）+a-c=0.

∴a-c+p（a+b+c+d+2）=0,

∴（1+p）a+pb+（p-1）c+pd+2p=0,这与p≥1相矛盾,于是a+b>c+d不能成立.

同理可证a+b

综上可知:

必要性成立.

12.∵0（i=1,2,3,…,n）.

∴+++…+>+++…+≥,

又∵1=x1+x2+x3+…+xn≥n,

∴≥n,又∵n≥2,∴+++…+>n2≥4.

13.S3=（x1-）（x2-）+（x2-）（x3-）

=（x2-）（x1-+x3-）

=·=-（x1+x3-2x2）2≤0.

14.

（1）设x=+a,则y=-a,其中-

（2）不妨设a≥b≥c>0,即0<≤≤,且{,,}={,,},由排序不等式得++≥++=3.

15.2

【解析】方法一　令cosx=t,则-1≤t≤1,

f（t）=2bt2+at+1-b≥0恒成立.

（1）当b<0时,,利用线性规划知识，如下图，可以解得:

-1≤a+b<1.

（2）当b=0时,at+1≥0,由-1≤t≤1,得-1≤a+b≤1.

（3）当b>0时,

（i）,利用线性规划知识，如下图，可以解得:

0

（ii）,即,

⇒9b2-（2k+8）b+k2≤0,

Δ≥0⇒-1≤k≤2,∴（a+b）max=2;

（iii）,即,利用线性规划知识，如图，

可以解得:

-1≤a+b<0.

综上,（a+b）max=2.

方法二　2bcos2x+acosx-b+1≥0,

令cosx=-,

得+≤1,即a+b≤2,

又当a=,b=时,cos2x+cosx+=（2cosx+1）2≥0成立,

∴（a+b）max=2.

16.

【解析】解法一　由绝对值的几何意义联想到求距离的最小值,如|x-a|+|x-b|的最小值应该是在数轴上a,b两点之间取得,为|a-b|,所以将函数f（x）的右边整理为

|x-1|+|x-|+|x-|+|x-|+|x-|+|x-|+…+|x-|+|x-|+…+|x-|,

共有1+2+3+…+2011=1006×2011项,

则f（x）可以理解为x到这1006×2011个零点的距离之和.从两端开始向中间靠拢,每两个绝对值的和的最小值都是在相应的零点之间取得,而且范围是包含关系,比如|x-1|+|x-|的最小值是在x∈[,1]上取得,|x-|+|x-|的最小值是在x∈[,]上取得,…,所以f（x）的最小值应该在正中间的零点或正中间的相邻两个零点之间取得.由=503×2011可知,f（x）取得最小值的范围在第503×2011个零点和第503×2011+1个零点之间（这两个零点也可能相等）.由<503×2011算得n≤1421,所以第503×2011个零点和第503×2011+1个零点均为,则[f（x）]min=f（）=.

解法二　由零点分区间法讨论去绝对值:

当x∈（-∞,]时,

f（x）=（1-x）+（1-2x）+…+（1-2011x）,

此函数图象是一条直线中的一部分,斜率k1=-1-2-…-2011.

当x∈（,]时,

f（x）=（1-x）+（1-2x）+…+（1-2010x）+（2011x-1）,

此函数图象是一条直线中的一部分,斜率k2=-1-2-…-2010+2011.

当x∈（,]时,

f（x）=（1-x）+…+（1-2009x）+（2010x-1）+（2011x-1）,

此函数图象是一条直线中的一部分,斜率k3=-1-2-…-2009+2010+2011.

……

当x∈（,]时,

f（x）=（1-x）+…+（1-mx）+[（m+1）x-1]+…+（2011x-1）,

此函数图象是一条直线中的一部分,斜率k2012-m=-1-2-…-m+（m+1）+…+2011.

当x∈（,]时,

f（x）=（1-x）+…+[1-（m-1）x]+（mx-1）+…+（2011x-1）,

此函数图象是一条直线,斜率k2013-m=-1-2-…-（m-1）+m+…+2011.

令,即,

即,由于m∈N*,解得m=1422.

所以当x∈（,]时,

f（x）=（1-x）+…+（1-1422x）+（1423x-1）+…+（2011x-1）=833-711×1423x+1717×589x,

[f（x）]min=f（）=.