《高校自主招生考试》数学真题分类解析之1不等式.docx

1、高校自主招生考试数学真题分类解析之1不等式专题之10、不等式一、选择题。1(2009年复旦大学)若实数x满足对任意实数a0,均有x20),2x+3y-60,x+6y-100的点(x,y)组成的集合D称为可行域,将函数z=称为目标函数,所谓规划问题就是求解可行域内的点(x,y),使目标函数达到在可行域内的最小值.如果这个规划问题有无穷多个解,则( )A.k1B.k2C.k=2D.k=14(2011年复旦大学)设n是一个正整数,则函数y=x+在正实半轴上的最小值是( )A.B.C.D.5(2011年复旦大学)若对一切实数x,都有|x-5|+|x-7|a,则实数a的取值范围是( )A.a12B.a7

2、C.a5D.ab,ab=1,则的最小值是 .8(2009年华中科技大学) 对任意的a0,b0,的取值范围是 .三、解答题。9(2009年中国科技大学)求证:x,yR,不等式x2+xy+y23(x+y-1)恒成立.10(2009年南京大学)P为ABC内一点,它到三边BC,CA,AB的距离分别为d1,d2,d3,S为ABC的面积,求证:+.11(2010年南京大学)(a+b)2+3a+2b=(c+d)2+3c+2d. (*)证明:(1)a=c,b=d的充分必要条件是a+b=c+d;(2)若a,b,c,dN*,则(*)式成立的充要条件是a=c,b=d.12(2010年浙江大学)有小于1的n(n2 )

3、个正数:x1,x2,x3,xn,且x1+x2+x3+xn=1.求证:+4.13(2009年清华大学)设a=(nN*),Sn=(x1-a)(x2-a)+(x2-a)(x3-a)+(xn-1-a)(xn-a),求证:S30.14(2009年清华大学)(1)x,y为正实数,且x+y=1,求证:对于任意正整数n,xn+yn;(2)a,b,c为正实数,求证:+3,其中x,y,z为a,b,c的一种排列.15(2009年北京大学)xR都有acos x+bcos 2x-1恒成立,求a+b的最大值.16(2011年北京大学等十三校联考)求f(x)=|x-1|+|2x-1|+|2 011x-1|的最小值.17(2

4、012年北京大学等十一校联考)求+=1的实数根的个数.1.B【解析】对任意实数a0,函数f(a)=1+a的值域是(1,+),因此只要x21即可.由x21,解得x-1,1.3.C【解析】可行域如图中阴影部分所示,目标函数z=的几何意义是可行域内的点与点(0,-1)连线的斜率,如果要使其取得最小值的点有无穷多个,则直线x-ky-2=0必过点(0,-1),即k=2.选C. 在解含有参数的平面区域问题时要注意含有参数的直线系的特点,本题的突破点是直线系x-ky-2=0过定点(2,0).4.C【解析】题中函数为非常规函数,可利用导数求其最值.因为y=x+=x+x-n,所以y=1-x-n-1=1-,令y=

5、0得x=1,且函数y在(0,1)上递减,在(1,+)上递增,故函数y在正实半轴上的最小值为1+=.5.D【解析】可先求出函数y=|x-5|+|x-7|的最小值,然后根据不等式恒成立的条件求得a的取值范围.由于|x-5|+|x-7|5-7|=2,即函数y=|x-5|+|x-7|的最小值等于2,所以要使|x-5|+|x-7|a恒成立,应有ac+d时,有a-cd-b,设a-c=d-b+p(p1),由(*)式得(a+b+1)2+a=(c+d+1)2+c,(a+b-c-d)(a+b+c+d+2)+a-c=0,(a-c)-(d-b)(a+b+c+d+2)+a-c=0.a-c+p(a+b+c+d+2)=0,

6、(1+p)a+pb+(p-1)c+pd+2p=0,这与p1相矛盾,于是a+bc+d不能成立.同理可证a+bc+d也不能成立.综上可知:必要性成立.12.0xi(i=1,2,3,n).+,又1=x1+x2+x3+xnn,n,又n2,+n24.13.S3=(x1-)(x2-)+(x2-)(x3-)=(x2-)(x1-+x3-)=-(x1+x3-2x2)20.14.(1)设x=+a,则y=-a,其中-a0,即0,且,=,由排序不等式得+=3.15.2【解析】方法一令cos x=t,则-1t1,f(t)=2bt2+at+1-b0恒成立.(1)当b0时,利用线性规划知识，如下图，可以解得:-1a+b0时

7、,(i),利用线性规划知识，如下图，可以解得:0a+b; (ii),即,9b2-(2k+8)b+k20,0-1k2,(a+b)max=2;(iii),即,利用线性规划知识，如图，可以解得:-1a+b0.综上,(a+b)max=2.方法二2bcos2x+acos x-b+10,令cos x=-,得+1,即a+b2,又当a=,b=时,cos2x+cos x+=(2cos x+1)20成立,(a+b)max=2.16.【解析】解法一由绝对值的几何意义联想到求距离的最小值,如|x-a|+|x-b|的最小值应该是在数轴上a,b两点之间取得,为|a-b|,所以将函数f(x)的右边整理为|x-1|+|x-|

8、+|x-|+|x-|+|x-|+|x-|+|x-|+|x-|+|x-|,共有1+2+3+2 011=1 0062 011项,则f(x)可以理解为x到这1 0062 011个零点的距离之和.从两端开始向中间靠拢,每两个绝对值的和的最小值都是在相应的零点之间取得,而且范围是包含关系,比如|x-1|+|x-|的最小值是在x,1上取得,|x-|+|x-|的最小值是在x,上取得,所以f(x)的最小值应该在正中间的零点或正中间的相邻两个零点之间取得.由=5032 011可知,f(x)取得最小值的范围在第5032 011个零点和第5032 011+1个零点之间(这两个零点也可能相等).由5032 011算得

9、n1 421,所以第5032 011个零点和第5032 011+1个零点均为,则f(x)min=f()=.解法二由零点分区间法讨论去绝对值:当x(-,时,f(x)=(1-x)+(1-2x)+(1-2 011x),此函数图象是一条直线中的一部分,斜率k1=-1-2-2 011.当x(,时,f(x)=(1-x)+(1-2x)+(1-2 010x)+(2 011x-1),此函数图象是一条直线中的一部分,斜率k2=-1-2-2 010+2 011.当x(,时,f(x)=(1-x)+(1-2 009x)+(2 010x-1)+(2 011x-1),此函数图象是一条直线中的一部分,斜率k3=-1-2-2

10、009+2 010+2 011.当x(,时,f(x)=(1-x)+(1-mx)+(m+1)x-1+(2 011x-1),此函数图象是一条直线中的一部分,斜率k2 012-m=-1-2-m+(m+1)+2 011.当x(,时,f(x)=(1-x)+1-(m-1)x+(mx-1)+(2 011x-1),此函数图象是一条直线,斜率k2 013-m=-1-2-(m-1)+m+2 011.令,即,即,由于mN*,解得m=1 422.所以当x(,时,f(x)=(1-x)+(1-1 422x)+(1 423x-1)+(2 011x-1)=833-7111 423x+1 717589x,f(x)min=f()=.