行测方阵问题详细总结文档格式.docx

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　　A.1元B.2元C.3元D.4元（2005年中央真题）

　　2.某仪仗队排成方阵，第一次排列若干人，结果多余100人;

第二次比第一次每行、每列都增加3人，又少29人。

仪仗队总人数为多少?

答案：

1.C2.500人

（1）方阵总人（物）数＝最外层每边人（物）数的平方；

（2）方阵最外一层总人（物）数比内一层总人（物）数多8（行数和列数分别大于2）；

（3）方阵最外层每边人（物）数＝（方阵最外层总人数÷

4）＋1；

（4）方阵最外层总人数＝[最外层每边人（物）数－1]×

4；

（5）去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×

2－1

【例1】

（国家2002A类-9、国家2002B类-18）某学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人？

（）A.256人 

B.250人 

C.225人 

D.196人

［答案］A［解析］根据公式：

方阵人数＝（最外层人数÷

4＋1）^2＝（60÷

4＋1）^2＝256（人）。

【例2】

（浙江2003-18）某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，则这个学校共有学生（）。

A.600人 

B.615人 

C.625人 

D.640人

［答案］C［解一］根据公式：

4＋1）^2＝（96÷

4＋1）^2＝625（人）。

［解二］数字特性法：

方阵的人数应该是一个完全平方数，所以结合选项，选择C。

【例3】

（广西2008-11）参加阅兵式的官兵排成一个方阵，最外层的人数是80人，问这个方阵共有官兵多少人？

（）A．441B.400C.361D.386

4＋1）^2＝（80÷

4＋1）^2＝441（人）。

【例4】

（国家2005一类-44、国家2005二类-44）小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。

如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是多少？

（）A.1元 

B.2元 

C.3元 

D.4元

［答案］C［解一］设正方形每边x枚硬币，三角形每边y枚硬币，一共有N枚硬币，根据公式可得方程组：

N=4x－4

N=3y-3N=60

y-x=5，因为每枚硬币5分，所以总价值3元。

［注释］这里围成的三角形和正方形都指的是空心的。

［解二］根据数字特性法：

硬币能围成正三角形→硬币的个数是3的倍数→硬币的价值可以三等分→根据选项选择C。

【例6】参加中学生运动会团体操表演的运动员排成一个正方形队列，若减少一行一列，则要减少49人，则参加团体操表演的运动员共（）人。

A.576 

B.625 

C.676 

D.2401

［答案］B［解析］重叠点思维：

假设每边有x人，则一行一列共有（2x-1）人（注意该行与列的交叉点上的人被重复计算了两遍），有方程：

2x-1=49，解得x=25。

共有25^2=625人。

【例7】

（广东2005下-11）要在一块边长为48米的正方形地里种树苗，已知每横行相距3米，每竖列相距6米，四角各种一棵树，问一共可种多少棵树苗?

（）A.128棵 

B.132棵 

C.153棵 

D.157棵

［答案］C［解析］根据公式：

棵数=总长÷

间隔+1。

边长为48米，每横行相距3米，共有48÷

3+1=17行；

边长为48米，每横行相距6米，共有48÷

6+1=9列；

可得：

17×

9=153（棵），一共可种树苗153棵。

【例8】一些解放军战士组成一个长方阵，经一次队列变换后，增加了6行，减少了10列，恰组成一个方阵，一个人也不多，一个人也不少。

则原长方形阵共有（）人。

A.196 

B.225 

C.256 

D.289

［答案］B［解析］设该正方形阵每边x人，则原长方形阵为（x-6）行，（x+10）列。

x^2=（x-6）（x+10）x=15，因此共有152=225人，选择B。

【例9】奥运会前夕，在广场中心周围用2008盆花围成了一个两层的空心方阵。

则外层有（）盆花。

A.251 

B.253 

C.1000 

D.1008［答案］D

［解一］设外层有m盆，内层有n盆，根据公式：

m-n=8。

则：

m-n=8

m+n=2008m=1008

n=1000

［解二］设该方阵外层每边x盆，根据“逆向法思维”：

x^2-（x-4）^2=2008x=253，外层每边有253盆，根据公式：

外层共有253×

4-4=1008。

【例10】

（江苏2009-74）有一列士兵排成若干层的中空方阵，外层共有68人，中间一层共有44人，则该方阵士兵的总人数是（）。

A.296人 

B.308人 

C.324人 

D.348人

［答案］B［解一］最外层68人，中间一层44人，则最内层为44×

2－68＝20人（成等差数列）。

因此一共有：

68-208＋1＝7（层），总人数为44×

7＝308。

［解二］中间一层共44人，总人数是＝44×

层数，是44的倍数，结合选项直接锁定B。

【例11】有一队学生，排成一个中空方阵，最外层的人数共48人，最内层人数为24人，则该方阵共有（）人。

A.120 

B.144 

C.176 

D.194［答案］B

［解一］设最外层每边x人，最内层每边y人，根据公式：

4x-4=48

4y-4=24x=13

y=7

因此外层每边13人，内部空心部分每边7-2＝5人，根据“逆向法思维”：

共有132-52=144人。

［解二］总人数＝（48+24）×

层数÷

2＝36×

层数，是36的倍数，直接锁定B。

［解三］根据公式：

相邻两圈相差8，因此很容易得到这几圈分别为48、40、32、24，直接加起来即可。

【例12】有若干人，排成一个空心的四层方阵。

现在调整阵形，把最外边一层每边人数减少16人，层数由原来的四层变成八层，则共有（）人。

A.160 

B.1296 

C.640 

D.1936

［答案］C［解析］设调整前最外层每边x人，调整后每边y人，根据“逆向法思维”：

x-y=16

x^2-（x-8）^2=y^2-（y-16）^2x=44

y=28

因此：

44^2-（44-8）^2=640（人）。

容斥原理解题技巧

在行测考试中，容斥原理题令很多考生头痛不已，因为容斥原理题看起来复杂多变，让考生一时找不着头绪。

但该题型还是有着非常明显的内在规律，只要考生能够掌握该题型的内在规律，看似复杂的问题就能迎刃而解，下面就该题型分两种情况进行剖析，相信能够给考生带来一定的帮助。

　　一、两集合类型

　　1、解题技巧

　　题目中所涉及的事物属于两集合时，容斥原理适用于条件与问题都可以直接带入公式的题目，公式如下：

A∪B=A+B－A∩B

　　快速解题技巧：

总数=两集合数之和+两集合之外数－两集合公共数

　　2、真题示例

　　【例1】现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有（　　）

　　A、27人B、25人C、19人D、10人【答案】B

【解析】直接代入公式为：

50=31+40+4－A∩B得A∩B=25，所以答案为B。

　　【例2】某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。

其中25％是白色的，75％是蓝色的。

如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？

（　　）

　　A、15B、25C、35D、40【答案】C　　【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A∩B，本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B，小号占50%，蓝色占75%，直接代入公式为：

100=50+75+10－A∩B，得：

A∩B=35。

　　二、三集合类型

　　1、解题步骤

　　涉及到三个事件的集合，解题步骤分三步：

①画文氏图；

②弄清图形中每一部分所代表的含义，按照中路（三集合公共部分）突破的原则，填充各部分的数字；

③代入公式（A∪B∪C=A+B+C－A∩B－A∩C－B∩C+A∩B∩C）进行求解。

　　2、解题技巧

　　三集合类型题的解题技巧主要包括一个计算公式和文氏图。

　　公式：

总数=各集合数之和－两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数

　　3、真题示例

　　【例3】【国考2010-47】某高校对一些学生进行问卷调查。

在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。

问接受调查的学生共有多少人？

（　 

）A．120B．144C．177D．192【答案】A

　　【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字：

　　根据每个区域含义应用公式得到：

　　总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数

　　＝63+89+47－{（x+24）+（z+24）+（y+24）}+24+15

　　＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15

　　根据上述含义分析得到：

x+z+y只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以x+z+y的值为46人；

得本题答案为120.

　【例4】对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。

其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人（　　）

　　A.22人B.28人C.30人D.36人【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字12，再推其他部分数字：

根据各区域含义及应用公式得到：

　　100＝58+38+52－{18+16+（12+ 

x）}+12+0,因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为0，解方程得到：

x＝14。

52＝x+12+4+Y＝14+12+4+Y，得到Y＝22人。

（曾凡稳）

一、两集合类型

1、解题技巧

题目中所涉及的事物属于两集合时，容斥原理适用于条件与问题都可以直接带入公式的题目，公式如下：

A∪B=A+B－A∩B

快速解题技巧：

2、真题示例

【例1】现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则两种实验都做对的有（）

【答案】C【解析】直接代入公式为：

【例2】某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。

（）

A、15B、25C、35D、40【答案】C

【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A∩B，本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B，小号占50%，蓝色占75%，直接代入公式为：

二、三集合类型

1、解题步骤

涉及到三个事件的集合，解题步骤分三步：

2、解题技巧

三集合类型题的解题技巧主要包括一个计算公式和文氏图。

公式：

文氏图如下：

其中各区域含义分别为：

1区域代表只属于A集合；

2区域代表只属于A和B；

3区域代表只属于B集合；

4区域代表只属于B和C；

5区域代表三集合公共部分；

6区域代表只属于A和C；

7区域代表只属于C集合；

2+5区域代表A∩B；

4+5区域代表B∩C；

5+6区域代表A∩C；

1+2+5+6区域代表属于A集合；

3+2+5+4区域代表属于B集合；

4+5+6+7区域代表属于C集合。

3、真题示例

【例3】【国考2010-47】某高校对一些学生进行问卷调查。

（）A．120B．144C．177D．192【答案】A

【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字，得下图：

根据每个区域含义应用公式得到：

总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数

＝63+89+47－{（x+24）+（z+24）+（y+24）}+24+15

＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15

根据上术含义分析得到：

【例4】对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。

其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人（）

A.22人B.28人C.30人D.36人【答案】A

【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字12，再推其他部分数字，得下图：

根据各区域含义及应用公式得到：

100＝58+38+52－{18+16+（12+x）}+12+0,因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为0，解方程得到：

容斥原理题目巧解

　　容斥原理是公务员考试中较难的一类题目，一般的解题思路有两种：

　　1、公式法，适用于“条件与问题”都可直接代入公式的题目；

　　2、文氏图示意法，即当条件与问题不能直接代入公式时，需要利用该方法解决。

　　一般而言，能够直接代入公式的题目较容易，而需要利用文氏图的题目相对灵活，容易给考生解题带来不便。

如果大家能够对公式中的各个要素以及文氏图上的各个部分所代表的含义有深入了解，则可以快速抓住解题关键。

　　【例题】某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的—个课外活动小组。

现已知参加英语小组的有17人。

参加语文小组的有30人，参加数学小组的有13人。

如果有5个学生三个小组全参加了，问有多少个学生只参加了一个小组？

　　A.15 

B.16 

C.17 

D.18

　　对于这个题目，一般思路为：

将题目条件带入三集合文氏图，假设只参加两个小组的人数分别为x，y，z人，由加减关系可以得到只参加一个小组的人数的表示形式，根据总人数可以列出方程：

　　（13-5-x-y）+（17-5-x-y）+（30-5-x-y）+x+y+z+5=35，从而得到x+y+z=15，即为所求。

　　该方法是利用文氏图和列方程的方法进行解题，方法简单易懂，但是实际操作起来消耗时间较多，下文将给出本题的另外两种解法：

　　【解法1】文氏图与三集合标准型公式相结合。

　　三集合标准型的公式如下：

AUBUC=A+B+C-（AB+AC+BC）+ABC。

　　将语文小组的人数视为A，数学小组人数视为B，英语小组人数视为C，分别代入公式可以得到AB+AC+BC=30。

“AB+AC+BC”中包含三个ABC，因此要减去两个，即AB+AC+BC-2ABC=20，即为至少选两个小组的人数，因此，得到只参加一个小组的人数=总人数（AUBUC=35）减去至少选两个小组的人数（AB+AC+BC-2ABC=20），等于15。

　　该方法将文氏图与三集合标准型公式结合使用，避免了求解不必要要素的过程，这需要各位考生对于基本公式和文氏图各部分的意义有深刻理解。

对于这道题目而言，还有更加快速的解题方法，如下：

　　【解法2】通过读题，我们可以发现，英语小组、语文小组、数学小组在题目中都是同时出现，即这三个小组是并列关系，对于这三个小组的人数，即17、30、13三个数字只能用加法处理，等于60。

这样原题五个数字（35、17、30、13、5）就变为三个（35、60、5），而这三个数字之间只能做加减，而不能做乘除，因此，得到结果的尾数必为“0”或“5”。

　　在得到这个结论之后，我们观察一下选项，发现只有A选项尾数为5，因此，本题答案确定无疑，就是A。

本题成功实现“秒杀”。

　　关于容斥原理的考试题目千变万化，但是无论怎样变化都离不开基本公式和文氏图，考生在平时练习的时候一定要熟练掌握这两种方法，从而提高做题速度与正确率，并争取针对个性化的题目产生巧妙的方法。

山东公务员行测：

数量关系之容斥问题解题原理及方法

一、知识点

1、集合与元素：

把一类事物的全体放在一起就形成一个集合。

每个集合总是由一些成员组成的，集合的这些成员，叫做这个集合的元素。

如：

集合A={0，1，2，3，……，9}，其中0，1，2，…9为A的元素。

2、并集：

由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集，记作A∪B，记号“∪”读作“并”。

A∪B读作“A并B”，用图表示为图中阴影部分表示集合A，B的并集A∪B。

　　例：

已知6的约数集合为A={1，2，3，6}，10的约数集合为B={1，2，5，10}，则A∪B={1，2，3，5，6，10}

3、交集：

A、B两个集合公共的元素，也就是那些既属于A，又属于B的元素，它们组成的集合叫做A和B的交集，记作“A∩B”，读作“A交B”，如图阴影表示：

例：

已知6的约数集合A={1，2，3，6}，10的约数集合B={1，2，5，10}，则A∩B={1，2}。

4、容斥原理（包含与排除原理）：

（用|A|表示集合A中元素的个数，如A={1，2，3}，则|A|=3）

原理一：

给定两个集合A和B，要计算A∪B中元素的个数，可以分成两步进行：

第一步：

先求出∣A∣+∣B∣（或者说把A，B的一切元素都“包含”进来，加在一起）;

第二步：

减去∣A∩B∣（即“排除”加了两次的元素）

总结为公式：

|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣

原理二：

给定三个集合A，B，C。

要计算A∪B∪C中元素的个数，可以分三步进行：

先求∣A∣+∣B∣+∣C∣;

第二步：

减去∣A∩B∣，∣B∩C∣，∣C∩A∣;

第三步：

再加上∣A∩B∩C∣。

即有以下公式：

∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣B∩C∣-|C∩A|+|A∩B∩C∣

二、例题分析：

　　例1求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。

　　分析：

设A={20以内2的倍数}，B={20以内3的倍数}，显然，要求计算2或3的倍数个数，即求∣A∪B∣。

　　解1：

A={2，4，6，…20}，共有10个元素，即|A|=10B={3，6，9，…18}，共有6个元素，即|B|=6

　　A∩B={既是2的倍数又是3的倍数}={6，12，18}，共有3个元素，即|A∩B|=3

　　所以∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=10+6-3=13，即A∪B中共有13个元素。

　　解2：

本题可直观地用图示法解答

　　如图，其中，圆A中放的是不超过20的正整数中2的倍数的全体;

圆B中放的是不超过20的正整数中3的倍数的全体，其中阴影部分的数6，12，18是既是2的倍数又是3的倍数的数（即A∩B中的数）只要数一数集合A∪B中的数的个数即可。

　　例2某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人;

语文得90分以上的有21人;

两科中至少有一科在90分以上的有38人。

问两科都在90分以上的有多少人?

　　解：

设A={数学成绩90分以上的学生}B={语文成绩90分以上的学生}

　　那么，集合A∪B表示两科中至少有一科在90分以上的学生，由题意知，

　　∣A∣=25，∣B∣=21，∣A∪B∣=38

　　现要求两科均在90分以上的学生人数，即求∣A∩B∣，由容斥原理得

　　∣A∩B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∪B∣=25+21-38=8

　　点评：

解决本题首先要根据题意，设出集合A，B，并且会表示A∪B，A∩B，再利用容斥原理求解。

　　例3某班同学中有39人打篮球，37人跑步，25人既打篮球又跑步，问全班参加篮球、跑步这两项体育活动的总人数是多少?

设A={打篮球的同学};

B={跑步的同学}则A∩B={既打篮球又跑步的同学}A∪B={参加打篮球或跑步的同学}

　　应用容斥原理∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=39+37-25=51（人）

　　例4求在不超过100的自然数中，不是5的倍数，也不是7的倍数有多少个?

这个问题与前几个例题看似不相同，不能直接运用容斥原理，要计算的是“既不是5的倍数，也不是7的倍数的数的个数。

”但是，只要同学们仔细分析题意，这只需先算出“100以内的5的倍数或7的倍数的数的个数。

”再从100中减去就行了。

设A={100以内的5的倍数}B={100以内的7的倍数}A∩B=