广东省海珠区高一下学期期末考试数学试题附解析Word文件下载.docx
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位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x、y的值分别为（）
A.55
将甲组和乙组数据从小到大列出来，然后利用位数的定义和平均数的公式列方程组，解出x和y的值。
【详解】甲组的5个数分别为9、12、x10、24、27或9、x10、12、24、27,由于甲组数据的中位数为15,则有x1015,得x5,
组的5个数据分别为9、15、x10、18、24,由于乙组的平均数为16.8,则有
915y101824
16.8,解得y8,故选：
D
【点睛】本题考查茎叶图以及样本的数据特征，解决茎叶图中的数据问题，弄清楚主干中的数据作高位,叶子中的数据代表低位的数据，另外就是在列数据时，一般是按照由小到大或由大到小进行排列，考查计算能力，属于中等题。
4.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成
[70,80）,[80,90）,[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图。
已知
估计，该模块测t成绩不少于60分的学生人数为（）
【答案】B
60分的频率是1-（0.005+0.015）M0=0.8,
试题分析：
根据频率分布直方图，得；
该模块测试成绩不少于
•••对应的学生人数是600X0.8=480
考点：
频率分布直方图
5.设，
A.若l
C.若"
【答案】
是两个不同的平面，l,m是两条不同的直线，且l,m（）
，则B.若，则lm
则//D.若//，则l〃m
A
由面面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得l,l
可得
空间线面平行垂直的判定与性质
6.设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若bc2a,3sinA5sinB,则角C=（）
2
A.一
3
B.——
C.一
4
5
D.——
6
5r7
V35m^=5sinB,由正弦定理可得3a5b即a—b；
因为h—仁二?
曰，所以c—b,所
33
圆心到直线的距离为d
选Co
8.已知直线l:
xay10（aR）是圆C:
x2y24x2y10的对称轴.过点A（4,a）作圆C的一
条切线，切点为b,则AB=（）
A.2B.4.2C.2.10D.6
将圆C的方程配成标准形式，确定圆心C的坐标与圆的半径长r,将圆心坐标代入直线l的方程，得出a的
值，并计算出|AC,最后利用勾股定理计算ab7|AC|2r20
22
【详斛】圆C的标准方程为x2y14,圆心为C2,1,半径长为r=2,
A4,1
易知，圆心C在直线l,则2a10,得a1
ACJ4221122710,因此，ABJ|AC『r22>
Ao2226。
D。
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查切线长的计算，在求解与圆有关的问题中，应将圆的方程表示成标准形式，确定圆心坐标和半径长，在计算切线长时，一般利用几何法，即勾股定理来进行计算，以点到圆心的距离为斜边、半径长和切线长为两直角边来计算，考查计算能力，属于中等题。
9.在三锥ABCD中，已知所有棱长均为2,E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值
为（）
A.—3B.-C.1D.—3
6633
【答案】A
取AD的中点F,连接CF、EF,于是得到异面直线CE与BD所成的角为CEF,然后计算出CEF
的三条边长，并利用余弦定理计算出CEF,即可得出答案。
【详解】如下图所示，取AD的中点F,连接CF、EF,
，一，…__一—1
由于E、F分别为AB、AD的中点，则EF〃BD,且EF-BD1,
所以，异面直线CE与BD所成的角为CEF或其补角，
Q三棱锥ABCD是边长为2的正四面体，则ABC、ACD均是边长为2的等边三角形,
QE为AB的中点，则CEAB,且CEJAC2AE2J3,同理可得CFJ3,
CEF中，由余弦定理得cosCEFCE2EF2CF2+立,2CEEF2,316
因此，异面直线CE与BD所成角的余弦值为Y3,故选：
A。
【点睛】本题考查异面直线所成角计算，利用平移法求异面直线所成角的基本步骤如下:
（1）一作：
平移直线，找出异面直线所成的角；
（2）二证：
对异面直线所成的角进行说明；
（3）三计算：
选择合适的三角形，并计算出三角形的边长，利用余弦定理计算所求的角。
故m的最大值为6.
点睛：
这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的,
联立的时候较少；
还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到
定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值。
11.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积等于（
A.27—B.16C.9D.我
44
不妨设球的半径为R,由题意得球心必在正四棱锥的高上，设为点O,如图所示，棱锥的侧棱
.故正确答案为D.
1.简单组合体；
2.球的表面积.
的最大值为（）
圆上一点Bx,y的距离的最大值（即OM加上半径）求出即可。
【详解】AC为RtABC的斜边，则AC为圆x2y21的一条直径，故AC必经过原点,
uuuuur
x2,yx6,y,
设点所以，2POPB22,0
uuruirurn।2-
所以,
PAPBPCJx6y2,其几何意义为点M6,0到圆上的点b的距离,
uiruiruuu।2
PAPBPCJx6y2OMr617,故选：
C。
【点睛】本题考查向量模的最值问题，在解决这类问题时，可设动点的坐标为x,y，借助向量的坐标运算,
将所求模转化为两点的距离，然后利用数形结合思想求解，考查运算求解能力，属于难题。
、填空题：
把答案填在答题卡上
13.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体的侧面积是
【答案】2
先确定旋转体为圆柱，根据条件得出圆柱的底面半径和母线长，然后利用圆柱侧面积公式计算可得出答案。
【详解】由题意可知，旋转体为圆柱，且底面半径为r1,母线长为l1,
因此，旋转体的侧面积为2rl2112,故答案为：
2。
【点睛】本题考查圆柱侧面积的计算，计算出圆柱的底面半径和母线长是解本题的关键，意在考查学生对
这些公式的理解与运用能力，属于基础题。
14.若直线l过点3,4,且平行于过点M（1,2）和N（1,5）的直线，则直线l的方程为
【答案】7x2y130
先利用斜率公式求出直线MN的斜率，由直线l与直线MN平行，得出直线l的斜率，再利用点斜式可得出直线l的方程。
【详解】由于直线
l//MN,则直线l的斜率等于直线MN的斜率
又由于直线l过点3,4,所以直线l的方程为y4工x3,即7x2y130。
故答案为：
7x2y130。
【点睛】本题考查斜率公式、两直线的位置关系以及直线方程，关键在于将两直线平行转化为斜率相等,并利用斜率公式求出直线的斜率，考查推理分析能力与计算能力，属于中等题。
15.如图，00的半径为1,六边形ABCDEF是。
0的内接正六边形，从A、B、C、D、E、F六点中任意取
16
两点，并连接成线段，则线段的长为J3的概率是.
概率。
【详解】在A、B、C、D、E、F中任取两点的所有线段有：
AB、AC、AD、AE、AF、BC、
BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF,共15条，
其中长度为J3的线段有：
AC、AE、BD、BF、CE、DF,共6条，
622
由古典概型的概率公式可知，线段的长为33的概率是———，故答案为：
-。
1555
【点睛】本题考查古典概型概率的计算，考查概率公式的应用，其中列举基本事件时，可以利用枚举法与
树状图法来列举，在列举应遵循不重不漏的原则进行，考查计算能力，属于中等题。
17.如图，一热气球在海拔60m的高度飞行，在空中A处测得前下方河流两侧河岸B,C的俯角分别为75°
30。
，则河流的宽度BC等于m.
li
【答案】120（.31）
先计算出AC的长度，然后在ABC中求出BAC和ABC,利用正弦定理求出BC的长度。
【详解】在^ABC中，由ACB30o得AC120.
又BAC75o30o45°
ABC1050,
由正弦定理得BCACsinBAC120sin45120—J120（731）.
sinABCsin105o2,2.6
12061。
【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形的实际应用，一般而言，正弦定理解三角形适用于已知两角与一边类型的三角形，同时要分清楚正弦、余弦定理所适用的基本类型，在解三角形时根据已知元素类型合理选择这两个公式来求解。
三、解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
18.某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽样100个进行检查，测得每个球的直径（单位：
mm）将数据分
组如下表
分组
频数
频率
39,95,39,97
10
39,97,39,99
20
39,99,40,01
50
40,01,40,03
合计
100
星就
25
1?
v39.95内63赛994（10140,03
（1）请在上表中补充完成频率分布表（结果保留两位小数），并在上图中画出频率分布直方图；
（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间39.99,40.01的中点值是40.00）作为代表.
据此估计这批乒乓球直径的平均值（结果保留两位小数）.
【答案】⑴见解析；
（2）40.00（mm）
解：
（1）频率分布表如下：
频率Wf
[39.95,39.97）
0.10
[39.97,39.99）
0.20
[39.99,40.01）
0.50
[40.01,40.03]
1
注：
频率分布表可不要最后一列，这里列出，只是为画频率分布直方图方便.
频率分布直方图如下：
（2）整体数据的平均值约为39.960.10+39.980.20+40.000.50+40.02X0.20=40.00（mm）
19.某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生
进行视力调查。
（I）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。
（II）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，
（1）列出所有可能的抽取结果；
（2）求抽取的2所学校均为小学的概率。
…31
（1）3,2,1
（2）F二——二二
（1）从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3、2、1.
（2）①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1,A2,A3,2所中学分别记为A4,A5,大学记为A6,则抽
取2所学校的所有可能结果为{A1，A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,
A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15种.②从6所学校中抽取的2所学校均为小学（记为事件B）的所有可能结果为{A1，A2},{A1,A3},{A2,A3},
共3种.
所以P（B）=-=—.
155
（1）求圆C的标准方程；
（2）若过点N（2,有1）的直线l被圆C截得白勺弦AB的长为4,求直线l的倾斜角.
（1）（x1）2（y1）25
（2）30或90°
.
（1）解法一：
将圆的方程设为一般式，将题干三个点代入圆的方程，解出相应的参数值，即可得出圆C的
一般方程，再化为标准方程；
解法二：
求出线段M1M2和M1M3的中垂线方程，将两中垂线方程联立求出交点坐标，即为圆心坐标，然
后计算CM3为圆的半径，即可写出圆C的标准方程；
（2）先利用勾股定理计算出圆心到直线l的距离为1,并对直线l的斜率是否存在进行分类讨论：
一是直线
l的斜率不存在，得出直线l的方程为x2,验算圆心到该直线的距离为1；
二是当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yJ31kx2,并表示为一般式，利用圆心到直线
的距离为1得出关于k的方程，求出k的值。
结合前面两种情况求出直线l的倾斜角。
【详解】
设圆C的方程为x2y2DxEyF0,
1DF0,D2,
则93DF0,E2,
1EF0,F3,
即圆C为x2y22x2y30,
・••圆C的标准方程为（x1）2（y1）25；
则M1M2中垂线为x1,M1M3中垂线为yX,
\_|
・•・圆心C（x,y）满足，■'
C（1,1）,
半径rCM3.145,
・••圆C的标准方程为（x1）2（y1）25.
（2）①当斜率不存在时，即直线l:
x2到圆心的距离为1,也满足题意,
此时直线l的倾斜角为90。
②当斜率存在时，设直线l的方程为yk（x2）G1,
由弦长为4,可得圆心C（1,1）到直线l的距离为.5—41,
|k（12）1.31|1
1Te
■•k—,此时直线l的倾斜角为30。
，
综上所述，直线l的倾斜角为30。
或90。
【点睛】本题考查圆的方程以及直线截圆所得弦长的计算，在求直线与圆所得弦长的计算中，问题的核心要转化为弦心距的计算，弦心距的计算主要有以下两种方式：
一是利用勾股定理计算，二是利用点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离。
.c....
⑴求一的值;
a
4_1
（2）右cosB一
（1）在题干等式中利用边化角思想，结合两角和的正弦公式、内角和定理以及诱导公式计算
c-
sinC2sinA,再利用角化边的思想可得出一的比值；
a
最后
（2）由
（1）中的结果，结合余弦定理求出a和c的值，再利用同角三角函数的平方关系求出sinB,
利用三角形的面积公式求出ABC的面积S。
abc
（1）由正弦定理得-a--一—2R,sinAsinBsinC
皿2RsinB4RsinC2RsinA
则,
cosBcosA2cosc
sinB2sinCsinA
所以,
即sinB（cosA2cosC）cosB（2sinCsinA）,化简可得sin（AB）2sin（BC）.
所以sinC2sinA.
ccac-
所以—2一，即—2.
2R2Ra
（2）由
（1）知c2a.
1由余弦te理b2a2c22accosB及cosB一，b2,
2221
付4=a4a4a—,.解得a1,因此c24
因为cosB一，且0B4
因此S1acsinB112巫巫.2244
【点睛】在解三角形的问题时，要根据已知元素的类型合理选择正弦定理与余弦定理解三角形，除此之外，
在有边和角的等式中，优先边化角，利用三角恒等变换思想化简求解，能起到简化计算的作用。
21.如图，三棱柱ABCAB1C1中，侧面BB1C1C为菱形，BQ的中点为。
，且AO平面BBCQ.
⑴证明：
BCAB；
（1）由菱形的性质得出BiCBC1,由AO平面BBCiC,得出B〔CAO,再利用直线与平面垂直的
判定定理证明BiC平面ABO,于是得出BiCAB；
于是找出
（2）过点O在平面BCCiBi内作OD人BC,垂足为点D,连接AD,可证出BC，平面ADO,二面角ABCBi的平面角为ADO,并计算出RtADO的三边边长，利用锐角三角函数计算出cosADO,即为所求答案。
（D连接BCi,
因为侧面BB1cle为菱形，
所以BiCBCi，且BiC与BCi相交于。
点.
因为ao平面bb1cle,b1c平面bb1cle,
所以B1CAO.
又BCiIAOO,所以BiC平面ABO
因为ABi平面ABO,所以BiCAB.
（2）作ODAbc,垂足为D,连结AD,
所以BC±
平面AOD
又BC
~.11
1,所以OC-BC—,
|PA|
（1）若点P是圆O上任意一点，求J——1;
|PD|
（2）过圆O上任意一点M与点B的直线，交圆。
于另一点N,连接MC,NC,求证：
MCBNCB.
（1）2
（2）见证明【解析】【分析】
（1）
设点P的坐标为x,y,得出x2y21,利用两点间的距离公式以及将关系式
2PA
y1代入可求出ppDj的值;
①直线MN的斜率不存在时，由点M、N的对称性证明结论;
所以x2y2
5k2ok24
k—222-2
21k24（1k2）,
0
（K2）（X22）
MCBNCB.
【点睛】本题考查直线与圆位置关系问题，考查两点间的距离公式、韦达定理在直线与圆的综合问题的处理，本题的关键在于将角的关系转化为斜率之间的关系来处理，另外，利用韦达定理求解直线与圆的综
合问题时，其基本步骤如下:
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