高考数学复习立体几何与空间向量第8讲立体几何中的向量方法二 求空间角试题理.docx
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高考数学复习立体几何与空间向量第8讲立体几何中的向量方法二求空间角试题理
第八章立体几何与空间向量第8讲2018版高考数学大一轮复习
二）——求空间角试题理新人教版立体几何中的向量方法（基础巩固题组）
（建议用时：
40分钟一、选择题DBCDABCDACBA）所成的角的大小为与－（1.（2016·长沙模拟）在正方体中，11111ππππC.D.A.B.2436
A，，则（0解析建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为1DBC0）.，0），1（1，0，1），，（00，0），，（11，1→→DACB1）0），，＝（－1，1∴，－＝（1，1，1→→DACB·0，＝1×（－∵1）＋1×1＋0×（－1）＝1→→DACB⊥∴，1πDBAC.
所成的角为与∴12D
答案ACDBBABCDABCD）所成角的正弦值为（2.（2017·郑州调研）在正方体中，－与平面1111112333D.B.C.A.5325
DDDDADC所在直线为坐标原点，，，解析设正方体的棱长为1，以1Bxyz，（1，.分别为则轴、轴、1轴，建立空间直角坐标系，如图所示DBAC，0，0），，（0，10），1）（0，0），，（11，1），0（1，，11→→→ADBBAC1）.
0，10），，＝（－1，所以＝（0，0，1），＝（－1，11→→xxnACynADxzyACDnxz，令·＝－＝＋＋＝），则0，·0令平面的法向量为＝（＝－，，11n，1，1）＝1，可得（1＝，13→BBn.，〉||cosθ＝〈＝＝所以sin13×13B
答案
ABCDECAABCDBDEDABB所成的锐二面在正方体3.－与平面中，点的中点，则平面为111111）（角的余弦值为2123A.C.B.D.2233A为原点建立如图所示的空间直角坐标系以解析．
xyzA1－，，设棱长为
A则，（0，0，1）11?
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DE，1，0，，1，，0）（0?
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2→DA，＝（0，1，－∴1）11?
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2zy，＝0－?
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nAD，＝·011?
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zyAEDn解得即的一个法向量为）＝（1设平面，，所以有，111z→，＝01－?
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nEA，·0＝?
211y，＝2?
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n2）.
，（1，2∴＝1nABCD，0∵平面，的一个法向量为1）＝（0，222nn.
，〉＝∴cos〈＝213×132.
即所成的锐二面角的余弦值为3B
答案
aBCABCA的正三棱－4.（2017·西安调研）已知六面体是各棱长均等于111DABDCCCC）是侧棱所成的角为的中点，则直线（与平面柱，111°A.45°B.60°°D.30C.90NACN.
为坐标原点，建立空间直角坐标系，以解析如图所示，取的中点
aaaaa?
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CDCAB，，，00，，0，－00，，0，，，，，则a，0，11?
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aADCCAB，0，）.
∴，＝，＝，＝（0，0a，，11?
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22zxABDny），设平面，，的法向量为＝（1→→nnABnAD2）.（3·＝0，，，－·＝0，可取1由＝1→naCC·2－2→1nCC＝－cos∴〈，，〉＝＝12→a2×2nCC||||1DABCC.°与平面所成的角为45∴直线11A
答案
ABDCAABCDBDD）
2设正方体5.－的棱长为，则点到平面（的距离是111111．
323222B.D.A.C.3322
→ADABD，2），0）（2，如图建立坐标系.则2（0，0，2），，（2，0，解析1111→DB0），，＝（2，2，＝（2，0，0）BDA设平面的一个法向量1→?
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DAn，＝·01?
zynx，，则，）＝（→?
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DBn，＝·0zx，2＝＋20?
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nz1）.，＝（－1令∴，＝1，得1?
yx，＋220＝?
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→nAD3·2|2|11dBDDA.
的距离＝∴＝到平面＝11n3||3D答案
二、填空题
ABCAAABCABC，（2017·昆明月考6.）如图所示，在三棱柱⊥底面－中，1111BBABBCAAABCEFAB的中点，则直线＝，，∠，＝90°，点分别是棱＝11BCEF__________.
和所成的角是1zBBBCxBAy.为为轴，以轴，为轴，建立空间直角坐标系解析1AABCAB＝2设，＝＝1FCE0，1）1，0），，（0则，（2，0，2），（0，1
→→→→BCBCEFEF2），∴2·，则＝＝（0，－1，1），（2＝，0，1121→→BCEF〉，＝∴cos〈122×22BCEF.∴60和°所成的角为160°答案
BDCCDBCDAAABABCDA所成角的正弦值等于与平面，则在正四棱柱中，－＝27.111111__________.
ABDAA，2以.为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图设＝＝2解析1→DCBCCD，2），则1＝（00），，，（1，1，0），（0，1，，则（0，00），（0，11→→DCDB2）.
（0，，，，＝（1，10），1＝0）1→→DCnznBDCxynDB，所以有⊥设平面的一个法向量为⊥＝（，，，），则11yx，0＋＝?
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nyBDC＝（2，－的一个法向量为2，2令＝－，得平面1）.?
1yz＝0＋2，?
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→?
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DCn·2?
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→DCnCDBDC＝，|sinθ＝＝|cos.设〈与平面〉所成的角为θ，则?
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1→3DCn?
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||||2答案3FCCFBDBBCCEEBABCDEFABC，则的棱＝，8.已知点上，且，，分别在正方体－2＝211111111ABCAEF________.与平面平面所成的二面角的正切值等于
AGFECBG.
解析延长，如图所示，，连接相交于点EHHBHAGGBBC，则⊥，连接，作＝3设正方体的棱长为3，则于点＝EHB.
为所求二面角的平面角∠EB223EHBEBBH.
∵＝＝＝，＝1，∴tan∠BH322答案3三、解答题
ABCABCD°，9.（2015·全国Ⅰ卷）如图，四边形＝为菱形，∠120ABCDDFFEABCDBEABCD，⊥平面，⊥平面是平面，同一侧的两点，ECDFBEAE.
2，⊥＝AFCAEC证明：
平面，⊥平面
（1）CFAE.
求直线与直线所成角的余弦值
（2）
EFFGEGBDBDACG.，
（1）证明如图，连接，设，连接∩，＝GCAGABCDGBABC＝＝在菱形中，不妨设120＝1.由∠°，可得＝3.
ECABCDABBCAEBE.，，可知由⊥平面＝＝ECAE⊥又，ACEGEG.
所以⊥＝3，且2DFBEEBG.＝2，故在Rt＝△中，可得26FGFDG.＝在Rt△中，可得2232DFBEBDFEEFBD＝＝＝，可得＝，22在直角梯形中，由，，22222FGEFEGFGEG.，所以＝⊥从而＋AFCACFGGEG.，可得⊥平面又∩＝AECEG因为?
平面，AFCAEC.
⊥平面所以平面．
→→→GByGBGCxG为单位，轴正方向，的方向为|
（2）解如图，以轴，为坐标原点，分别以|xyzG－长度，建立空间直角坐标系，?
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FEA，由
（1）可得，（03，－，0），2）（1，0，，，－10?
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2C0）.
，（0，3?
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CFAE.
＝（1，3所以，2），＝，，－3－1?
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2→→CFAE3·→→CFAE.
〉＝，故cos〈＝－3→→CFAE||||3CFAE.与直线所成角的余弦值为所以直线3
FABCDE为顶点的五面，，10.（2016·全国Ⅰ卷）如图，在以，，，DABEFAFFDAFD°，且二面角2＝体中，平面，∠为正方形，90＝FCBEAFE.60－－－°与二面角都是－EFDCABEF证明：
平面；⊥平面
（1）AEBC.－的余弦值
（2）求二面角－
EFAFDFAF⊥⊥由已知可得，，
（1）证明
EFDCAF.⊥平面所以ABEFAF又，?
平面EFDCABEF.故平面⊥平面GEFDDG.作，垂足为
（2）解过⊥ABEFDG.
⊥平面
（1）知由→→GFGGFx建立如图所示的空间直角坐标|为坐标原点，|的方向为为单位长，以轴正方向，xyzG.
系－DGDFEDFDDFEAFE3.为二面角|－，－|的平面角，故∠＝＝60°，则|2|＝由
（1）知∠DEAB3）.00）（－3，0，，，（04，可得（1，40），（－3，，0），，EFDCABABEF.，所以由已知得∥平面∥CDABCDEFDC又平面＝∩平面，EFCDCDAB.
，故∥∥EFDCBEAFBE，可得⊥平面，由∥CEFCEFCBEF.°＝所以∠为二面角－－的平面角，∠60C3）.
，0，2－（从而可得．
→→→→ABEBECAC0）.＝0，－4，3）所以，＝（1，0，，3），，＝（0，40），（＝（－3，－4BCEyznx）＝（是平面，的法向量，设，→?
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ECn，·0＝?
zx，30＝＋?
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则即?
→y，＝04?
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EBn，·0＝n3）.
0（3，所以可取，－＝→?
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ACm，·0＝?
ABCDm是平面设的法向量，则→?
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ABm，0＝·m4）.
，，同理可取（0＝3mn19·2mn.
＝－则cos〈〉＝，mn19||||192AEBC.
－故二面角－的余弦值为－19能力提升题组）
（建议用时：
20分钟
如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱（2017·济南质检11.）ABBCCBBCCACCABCA夹角的余弦值为与直线，，则直线＝＝－2111111）（
5525A.C.B.5533D.5ACBCACCOBC，0），（2（0，0，1），（0，解析不妨令1＝，则2＝，可得＝2，（0，0，0），11B，，1）0，0），（0，21→→ABBC1），＝（－2，2，∴，－＝（0，21），11→→ABBC·－4151→→11ABBC0.
＞＝〉＝＝∴cos〈，＝115→→595×ABBC||||11→→ABBCBCAB与的夹角，的夹角即为直线与直线∴11115ABBC.夹角的余弦值为∴直线与直线115A
答案ODSPOSDSOABCD，＝为侧棱的中点，且在正四棱锥12.－中，为顶点在底面上的射影，PACBC）则直线与平面所成的角是（
°D.90°C.60°B.45°A.30．
xyzOO.
－解析如图，以为原点建立空间直角坐标系
aaCOBOCaAaBODSOOA，，，（－，0，0）设，＝0＝（0＝，＝0）＝.则，（aa?
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P，0，－.
0），?
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APCAa，，－－＝0），（2，，0则，＝?
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22→aCBa，0），＝（，zPACnxy的一个法向量为）＝设平面（，，，→?
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CAnx，＝＝0，·0?
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n，，解得可取1）＝（0，1则?
zy，＝→?
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APn，0＝·→aCBn1·→nCBcos〈＝，，〉＝＝则2→2a22·nCB|||·|→→nnCBCB），∴〈60，又∵〈°，，〉＝〉∈（0°，180°PACBC.30°所成的角为90°－∴直线60与平面°＝A
答案
BDABAC分别在这个二两点，直线13.如图所示，二面角的棱上有，，BDABABAC，6，.已知＝4，8＝＝面角的两个半平面内，且都垂直于CD__________.
，则该二面角的大小为2＝17→→→→BDABCDCA＋解析∵＋＝，
→→→→→→BDCABDBDCACA24.，|·cos∴〈
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