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3）正在改变人们的思维方式。
必须把数学教育作为整个教育的不可缺少的重要环节。
3．国际情况。
2000年——世纪转折年；
世界最权威的组织——联合国确定2000年是世界数学年。
世界最先进的国家——美国出版《为新世纪学习数学》。
过去三百年间美国课程表对数学的要求就清楚了。
哈佛大学于1636年建立，当时没有一个数学教授。
1726年，哈佛大学任命了第一位数学教授。
入学考试只考算术。
1820年，要求考代数，1844年要求几何。
1912年，美国仅有一半的高中讲一年的代数和一年的几何，其他学校只要半年的代数。
第二次世界大战使人们的数学观发生了深刻的变化。
数学课成了中学最重要的课程之一。
A.Kaplan说：
“由于最近20年的进步，社会科学的许多领域已经发展到不懂数学的人望尘莫及的阶段。
”
A.N.Rao更指出，一个国家的科学的进步可以用它消耗的数学来度量。
2000年是世界数学年。
里约热卢宣言：
“纯粹数学与应用数学是理解世界及其发展的一把大钥匙.”
20世纪70年代末，美国正式提出，美国的扫盲任务已转变为扫数学盲。
1989年，美国发表《人人关心数学教育的未来》。
强调：
“我们正处在国家由于数学知识而变得在经济上和种族上都被分裂的危险之中。
”并解释道：
“…除了经济以外，对数学无知的社会和政治后果给美国政治的生存提出了惊恐的信号。
因为数学掌握着我们的基于信息的社会的领导能力的关键，具有数学读写能力的人与不具有这种能力的人之间的差距越来越大，从种族和经济的围上，其程度是惊人地一致。
我们冒着变成一个分裂的国家的危险，其中数学知识支持着多产的、技术强大的精英阶层，而受赡养着、半文盲的成年人、不相称的西班牙人和黑人，却发现他们远远不具备经济和政治的能力。
这必须纠正过来，否则没有数学基本能力的人和文盲将迫使美国崩溃。
美国指出：
“信息时代就是数学的时代，…，未来的公民将需要极其多样的数学教育，以对付工作场所中的大量以数学为基础的工具、设备和技术。
大多数公民已经意识到了这一点，但是光意识到这一点还不够，还应当看到，当学生离开学校并进入工作生涯时，数学教育极决定了一个人能从事什么样的工作与不能从事什么样的工作。
20世纪科学技术的进步给人类的生产和生活带来巨大的变化。
1）信息技术的广泛使用，信息时代的到来；
2）原子能的发现与利用；
3）太空飞行；
4）计算机的诞生和使用；
5）遗传基因的发现和与之有关的生物技术。
4.美国的数学教育。
学生：
每年都要学习数学。
发现我们周围的数学。
在其他课程和日常生活中运用数学。
研究各种各样的数学课题。
老师：
讨论数学问题。
考察当前实践，并辩论新建议。
家长：
要求学校贯彻《全国数学理事会的标准》。
鼓励孩子们不断学习数学。
支持教师探索课程改革。
希望家庭作业不是例行的计算题。
校长：
为教师集体工作创造条件。
在数学教育上成为受教育者。
支持创新。
社会组织：
为所有学生组织一些能丰富数学知识的活动。
支持地方努力改进数学教育。
向公众解释改革的必要性。
（我们也有许多社会组织，但他们的活动几乎与数学无关）。
商业界与工业界：
鼓励学生学习数学与科学。
不要把好的教师挖走。
支持地方努力以确保教育基金。
为教师提供实习机会。
州长：
为鼓励改革提供物力与财力。
要求新的数学教育的标准。
引导公众按优先顺序作最佳的选择。
为有才能的学生制定容丰富的计划。
总统：
与州长们一起批准全国的议程。
把公众注意力引向数学教育。
强调教育严重地关系到国家安危。
数学认识周。
1986年，美国总统宣布：
每年4月14日——4月20日为全国数学认识周.
5.日本的数学学习潮。
《数字，成功之本》；
副标题是，21世纪管理新浪潮。
还有一本叫《数字专家最抢手》。
背面是3W：
WHO（谁）：
信息时代最抢手的人是谁？
善于运用数学头脑的人。
WHAT（做什么）：
成功三要素是，1。
能解读数字；
2。
能进行逻辑思考，判断正确；
3。
勇于尝试，不怕失败。
HOW（如何做）：
提高数学力。
中国的情况如何？
6．现代人的必备素质。
在中小学，什么课程最基本？
语文和数学。
语文。
你的词汇量有限，你成功的机会就有限。
新泽西州的某技术学院的100名学生做了词汇量的测验。
五年之后，
名次在前10%的无一例外都有了行政领导的职务，
最后25%的无一成为行政领导。
当然，在今天我们必须把英文也包括在.
数学。
数学的读写能力，即量的读写能力正在提到我们的眼前。
现代社会的许多信息是用量的方式提供的，
用量的方式去思维，去推理和判断成为一种基本能力。
未来的精英具备什么样的条件呢？
1）语言表达能力。
通过语言，展现自己的理想、信念、优势和水平。
2）逻辑思维能力、推理能力。
3）量的思维能力。
这种两种能力如何培养？
系统地学习数学。
1999年美国出版<
应用与理解数学>
表1。
技术水平
语言水平
数学水平
4
写报告、总结、摘要，参加辩论
熟练使用初等数学，熟悉公理化几何
5
读科技杂志、经济报告、法律文件，写社论，评论文。
懂微积分与统计，能处理经济问题
6
比5更高级
使用高等微积分，近世代数和统计。
表2。
职业要求
职业
生物化学
心理学家
律师
经济分析师
会计
公司懂事
计算机推销员
税务代理人
私人经纪人
应用实例。
1）理性决策——电视猜车。
问题。
设甲、乙、丙三个门，只有一个门后有一辆车。
你猜，哪个门后有车？
答：
你第一次猜对的概率是三分之一。
如果改变，你猜对的概率是三分之二。
概率统计的思想方法，就象读和写的能力一样，将来有一天会成为效率公民的必备能力。
2）微软面试。
3）字典的困境。
未来的精英=语言能力+数学思维+专业特长。
7．数学事业。
《101种数学事业》。
1）著名高技术企业的研究人员和管理人员，如
、美国电报公司、贝尔实验室、美国航空公司等。
2）政府部门的研究人员和技术人员，如美国航天太空总部、戈达德空间中心、农业部等。
3）教育界。
4）专业人士，包括法律和医学工作。
5）个人开业，包括软件设计制作等。
6）艺术与媒体行业的雕塑家、音乐家、电视制作及演播人员等。
几千年的文明史发展到今天，使整个人类面临一个新的转折时期。
3.对数学的认识
数学是这样一种东西：
她提醒你有无形的灵魂，她赋予她发现的真理以生命；
她唤起心神、澄清智慧；
她给我们的心思想增添光辉；
她涤尽我们有生以来的蒙昧和无知。
Proclus
数学方法的万能性与广泛性使它能够处理种类众多的问题，如空间的和运动的，机会的和概率的，统计的和社会科学的，艺术的和文学的，逻辑的和哲学的，音乐的和建筑的，政治的和战争的，食品的和医药的，遗传的和变异的，人类思维的和电脑的。
J.Singh
数学提供了理性思维的式。
数学提供了完善的方法论.
1．数学与对知识的探求。
首先问，有独立于人的物理世界存在吗？
其次问，我们如何获取关于外部世界的知识呢？
依靠自己的感官知觉。
亚里士多德说：
“如果我们不能感觉任何事情，我们将不能学会或弄懂任何事情；
无论我们何时何地思考什么事情，我们的头脑必然是在同一时间使用着那件事情的概念。
他还说：
“感觉和感官经验是科学知识的基础。
感官具有粗糙性，有时还具有欺骗性。
有谁感到地球在自转，还绕太阳公转？
有谁感到行星受到太阳的引力，绕太阳公转？
有谁感到电磁波的存在？
在探索宇宙的奥秘中，数学是一个本质的、关键的、具有穿透力的工具。
数学方法的运用是科学和前科学的分水岭。
2.数学的精神。
克莱因所指出的：
“数学是一种精神，一种理性精神。
正是这种精神激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维运转到最完善的程度，也正是这种精神试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；
试图回答人类自身提出的问题：
努力去理解和控制自然；
尽力去探求和确立已经获得的知识的最深刻和最完美的涵”。
实现数学与人文的结合是当前素质教育的首要目标。
3．五个质不同的时期。
第一个时期——数学形成时期.
第二个时期称为初等数学，即常量数学的时期.形成了初等数学的主要分支：
算术、几何、代数、三角.
它的主要成果就是欧几里得的《几何原本》及其延续。
代数学则研究数的运算。
解方程的学问在代数学中居中心地位。
第三个时期是变量数学的时期.
第一个决定性步骤出现在1637年笛卡儿的著作《几何学》.
恩格斯指出：
“数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了……”
在这个转折以前，数学中占统治地位的是常量，
这之后，数学转向研究变量了.
第二个决定性步骤是牛顿和莱布尼茨建立了微积分.
微积分的重要性
微积分使得局部与整体，微观与宏观，过程与状态，瞬间与阶段的联系更加明确。
恩格斯说:
“在一切理论成就中,未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了.如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩,那就正是在这里.”
微积分已成为现代人的基本素养.
第四个时期为公理化数学时期.
数学的研究对象发生了质的变化。
数学与现实世界的关系也发生了质的变化。
数学的抽象程度进入更高的阶段。
罗素的数学定义：
数学可以定义为这样一门学科：
我们不知道在其中我们说的是什么，也不知道我们说的是否正确。
第五个时期为信息时代的数学。
信息加工时代的数学工作包括
数学研究工作，数学工程工作和数学生产工作。
4.四个高峰期。
1）欧几里得《几何原本》的诞生。
2）解析几何与微积分的诞生。
3）公理化的数学诞生
4）与计算机结合的当代数学.
5．六次飞跃。
从数字运算到符号运算的飞跃.
从常量数学到变量数学的飞跃.
从研究运算到研究结构的飞跃。
从必然性数学到或然性数学的飞跃。
从线性到非线性的飞跃。
从明晰数学到模糊数学的飞跃。
惟有门前鉴池水，春风不改旧时波。
请君莫奏前朝曲，听唱新翻柳枝。
6．数学的特点。
抽象性。
数学抽象的特点在于：
第一，在数学的抽象中只保留量的关系和空间形式；
第二，数学所达到的抽象程度大大超过了其它学科中的一般抽象；
第三，不仅数学的概念是抽象的、思辨的，而且数学的方法也是抽象的、思辨的。
维钠说：
“数学让人们抓住本质而忽略非本质的东西。
数学也容许人们在不同的领域提出相同的问题，而不必囿于某一特定专业领域。
对那些视野开阔、敏感严谨的数学家而言，数学无疑是发现和发明的工具。
辛富说：
数学之所以能够以令人吃惊的程度深入到科学和技术的每一个分支中去，其原因在于数学的思想是纯粹抽象的，而抽象化正是科学和技术的主要动力。
数学越是远离现实（即走向抽象），它就越靠近现实。
因为不管它显得多么抽象，它归根到底还是从某些现实围中抽象出来的，一定的本质特征的具体表现。
数学的抽象性显示了思维的广阔性：
越抽象的东西，应用的领域就越广。
抽象的另一个作用是对数学知识总体进行简化和统一化。
数学的精确性.
爱因斯坦说：
“为什么数学比其它一切科学受到特殊的尊重？
一个理由是，它的命题是绝对可靠的和无可争辩的，而其它一切科学的命题在某种程度上都是可争辩的，并且经常处于被新发现的事物推翻的危险之中。
…数学之所以有高声誉，还有一个理由，那就是数学给精密自然科学以某种程度的可靠性，没有数学，这些科学是达不到这种可靠性的。
数学的精确性是思维严谨性的典。
数学应用的极其广泛性.
华罗庚教授曾指出，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在，凡是出现“量”的地方就少不了用数学，研究量的关系，量的变化，量的变化关系，量的关系的变化等现象都少不了数学。
数学之为用贯穿到一切科学部门的深处，而成为它们的得力助手与工具，缺少了它就不能准确地刻画出客观事物的变化，更不能由已知数据推出其它数据，因而就减少了科学预见的。
布特勒说：
“现代数学，这个最令人惊叹的智力创造，已经使人类心灵的目光穿过无限的时间，使人类心灵的手延伸到了无边无际的空间。
数学应用的广泛性是思维广阔性的具体体现。
7．数学的教育价值。
首先，数学的抽象性使得数学问题的解决伴随着困难。
马克思的话：
“在科学上是没有平坦大道可走的，只有在崎岖的攀登上不畏劳苦的人，才有希望达到光辉的顶点。
其次，数学的严密性和精确性可以使学生在将来的工作中减少随意性。
辛钦说：
“数学教学一定会慢慢地培养青年人树立起一系列具有道德色彩的特性，这种特性中包括正直和诚实。
再次，数学是思想的体操。
思维的批判性指，对论证和解答提出自己的看法。
数学中常用的反证法和构造反例是思维批判性的具体表现。
米山国藏说：
“我搞了多年的数学教育，发现学生们在初中、高中接受的数学知识因毕业了进入社会后，几乎没有什么机会应用这些作为知识的数学，所以通常是出校门不到一、两年就很快忘掉了。
然而，不管他们从事什么业务工作，惟有深深铭刻于头脑中的数学精神，数学的思维方法，研究方法和着眼点等，都随时随地发生作用，使他们受益终生。
狄尔曼说：
“数学能集中、强化人们的注意力，能够给人以发明创造的精细和谨慎的谦虚精神，能够激发人们追求真理的勇气和信心，…数学更能锻炼和发挥人们独立工作精神。
数学已成为现代人的基本素养。
8．优秀思维.
什么是优秀思维？
思维的严谨性、灵活性、广阔性、批判性和创造性。
第二部分------广阔用场
4.绘画艺术与几何学。
越往前走艺术越是科学化,同时科学越是艺术化.两者在山麓分手,有朝一日终将在山顶重逢.
福楼拜
两种艺术——音乐与绘画。
音乐——听觉艺术：
时间的艺术。
绘画——视觉艺术：
空间的艺术。
在数学中恰有两个分支与之对应：
代数与分析：
与时间相关的学问。
几何：
与空间相关的学问。
绘画艺术
1．错觉艺术。
工具有两个：
1）几何学，用于安排景物的远近、大小和位置；
2）光学，用明暗表示景物的向背和深度。
2．名画欣赏。
达.芬奇的《最后的晚餐》是一幅精美的数学画.
杜甫：
十日画一水，五日画一石。
能事不受相促迫，芬奇始能留真迹！
3.数学定理。
画布处于通常的垂直位置.从眼睛到画布的所有垂线,或者到画布延长部分的垂线都相交于画布的一点-------主没影点.
主没影点所在的水平线称为地平线;
定理1.景物中所有与画布所在平面垂直的水平线在画布上画出时,必须相交于主没影点.
定理2.任何与画布所在平面不垂直的平行线束,画出来时与垂直的平行线相交成一定的角度,且它们都相交于地平线上的一点
定理3.景物中与画布所在平面平行的平行水平线,画出来是水平平行的.
4.《最后的晚餐》的数学结构。
乔治.瓦萨里曾这样赞美他:
世间男女，
资质出众，才气横溢者，屡见不鲜。
然间或有人，独蒙上天垂爱，
风韵优雅，才华盖世，
令众生望尘莫及。
其行为举止，处处著有灵性，
而其所作所为，
实则无不出于造物之手，
非人力所能企及。
”欣赏我的作品的人,没有一个不是数学家”.
达·
芬奇指出,
”任何人类的探究活动也不能成为科学,除非这种活动通过数学的表达方式和经过数学证明为自己开辟道路”.
5．从艺术中诞生的科学——射影几何。
触觉几何和视觉几何。
射影几何是研究在射影变换下保持不变的性质的科学。
射影几何是独一无二的，它来源于艺术而不是科学或数学。
5.数学与自然科学
1.数学与近代科学。
1）借助系统的科学实验寻找因果关系；
2）将自然规律数量化；
3）建立严密的形式逻辑体系。
科学与前科学的分水岭：
自然规律的数量化。
2．物理学。
电磁理论的建立是物理学的第二次大综合。
电磁理论的建立。
眼见为实，眼不见为虚。
电磁波恰恰是这样的事物：
眼见为虚，眼不见为实。
1750年，米歇尔发现磁力的平方反比定律，这是磁学的诞生。
1785年，库仑实验证明，电力的平方反比定律，这是电学的诞生。
发现无线电波的中心人物是英国物理学家麦克斯韦。
19世纪，静电场与磁场的场行为用两条定律描述-------静电磁定律。
电磁感应现象------法拉第定律。
环绕着带有电流导线的磁场达成第四定律------安培定律。
四个方程构成著名的麦克斯韦方程组。
第一项是，电磁波的存在。
20世纪，数学之目又看见了黑洞。
第二项发现是，光波是电磁波。
物理学第二次大综合。
麦克斯韦的电磁理论在综合体系方面甚至超过了牛顿的万有引力定律。
费曼说：
“从人类历史的长远观点看，比如说，从一万年前至今，也许不那么肯定地说，19世纪最有意义的事件当属麦克斯韦对电动力学定律的发现。
在同一年代里，与这一重大事件相比，连像美国南北战争这样的事件都因其地域的限制而显得相形见绌。
反物质的发现。
1960年，物理学家维格纳:
《数学在自然科学中不可思议的作用》。
“数学上的形式体系有时会产生纯粹是物理上的基本而新颖的思想。
一个众所周知的例子是正电子的发现：
1928年，狄拉克建立了电子运动的量子力学相对论方程；
这些方程也可有一个得到满意的解释，其质量与电子相同，但却有相反的电荷。
人们做了种种尝试，希望对这种解能够得到满意的解释，或者对方程加以适当的修改而消除这种解，但却徒劳无功。
这就使狄拉克最终提出一个猜测：
存在正电子。
1932年，人们在宇宙射线中发现了正电子.
3．化学。
原子周期表的发现。
极其简单的数学思想——周期性
导致了极为深刻的化学定律，这是科学史上的一大奇迹。
晶体结构的确定。
1950年,豪普曼对晶体的结构产生了兴趣.
他认识到,这件事能形成一个纯粹的数学问题,并有一个优美的解.
在1985年获得了诺贝尔化学奖.
记住，
在老领域做老问题，你做不过老专家，
在新领域做新问题，你可能成祖师爷。
4．生物科学。
数学在生物学中的应用使生物学从经验科学上升为理论科学，由定性科学转变为定量科学。
它们的结合与相互促进必将产生许多奇妙的结果。
其特点是，
计算是简单的，思想是深刻的。
纯粹数学。
新工具解决旧问题，工具越高级，水平越高。
应用数学。
旧工具解决新问题，工具越低级，水平越高。
生命的奥秘。
1865年奥地利人孟德尔提出了“遗传因子”的概念。
并发现了生物遗传的分离定律和自由组合定律。
引发了一场人类对生命认识的革命。
孟德尔使用了概率论。
现在种子的杂交问题可以转化为简单的概率计算问题
遗传学之父。
英国广播公司说：
“常常象牛顿所说的，继承者能比先驱者看得远一些，因为他们站在先驱者的肩膀上，当然比先驱者看得远。
但对孟德尔不能这么说，因为他根本没有先驱者的肩膀好站。
生命科学。
弄清DNA结构需要扭结理论。
《Science》：
“数学打开了双螺旋的疑结”。
生理学。
人们已建立了心脏、肾、胰腺、耳朵等许多器官的计算模型。
脑科学。
网络学的研究对神经网络极关重要。
科学发展的趋势是综合、交叉与数学化。
6.数学与人文科学----莫道人文无方圆.
1.选票分配问题与诺贝尔经济奖。
选票分配的基本原则是什么呢?
公平合理.
能不能做到公平合理？
如何做到公平合理？
美国国会的议员的选举。
美国人口的总数是
各州的选民数分别是
.
议员的总数是
.记
称它为第i个州分配的份额.具体操作如下:
（1）取各州份额
的整数部分
让第i个州先拥有
个议员.
（2）然后考虑各个
的小数部分
按从大到小的顺序将余下的名额分配给相应的州,直到名额分配完为止.
这个方案——汉密尔顿方案得到了国会的通过。
假定某学院有三个系，总人数是200，学生会需要选举20名委员。
系别
人数
所占份额
应分配名额
最终分配名额
甲
103
51．5
10．3
10
乙
63
31．5
6．3
丙
34
17
3．4
合计
200
100
20
什么问题？
各州的人口比例不变,议员名额的总数增加，各州的议员名额数如何？
.
10．851
11
6．615
7
3．570
3
21
委员名额增多了，丙系反而减少一名。
亚拉巴马悖论。
公平四原则。
1）多数原则。
票数过半，且排在第一位，此候选人当选。
2）择优原则。
候选人中两两比较，他总占多数，则他获胜。
3）单调性原则。
某候选人在第一轮选举中获胜，在第二轮选举中票数更领先，则他获胜。
4）独立性原则。
某候选人在第一轮选举中获胜，并进入第二轮选举。
有一些候选人出局了，而选举人没有改变他们的优劣排序，则此候选人获胜。
阿罗不可能定理--------不可能找到一个公平合理的选举系统.
阿罗不可能定理是数学应用于
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