平行线压轴题举例1Word格式文档下载.docx

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（2）如图2中，当点M向左移动到图2所示的位置时，∠M、∠A与∠B又有怎样的数量关系呢？

（3）如图3中，当点M向上移动到图2所示的位置时，∠M、∠A与∠B又有怎样的数量关系呢？

（4）如图4中，当点M向下移动到图2所示的位置时，∠M、∠A与∠B又有怎样的数量关系呢？

写出对应图形的数量关系，并选其中的一个图形加以证明

5．如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．

（1）若点P在图

（1）位置时，求证：

∠3=∠1+∠2；

（2）若点P在图

（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；

（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．

6．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P=90°

，PM交AB于点E，PN交CD于点F

（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为　　；

（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：

∠PFD﹣∠AEM=90°

；

（3）在

（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON=30°

，∠PEB=15°

，求∠N的度数．

参考答案

1．（2016春•碑林区校级月考）已知直线AB∥CD．

（1）如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是　∠ABE+∠CDE=∠BED　．

（3）如图3，点E在直线BD的右侧BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系　2∠BFD+∠BED=360°

　．

【分析】

（1）首先作EF∥AB，根据直线AB∥CD，可得EF∥CD，所以∠ABE=∠1，∠CDE=∠2，据此推得∠ABE+∠CDE=∠BED即可．

（2）首先根据BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，推得∠ABF+∠CDF=

（∠ABE+∠CDE）；

然后由

（1），可得∠BFD=∠ABF+∠CDF，∠BED=∠ABE+∠CDE，据此推得∠BFD=

∠BED．

（3）首先过点E作EG∥CD，再根据AB∥CD，EG∥CD，推得AB∥CD∥EG，所以∠ABE+∠BEG=180°

，∠CDE+∠DEG=180°

，据此推得∠ABE+∠CDE+∠BED=360°

然后根据∠BFD=∠ABF+∠CDF，以及BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，推得2∠BFD+∠BED=360°

即可．

【解答】解：

（1）∠ABE+∠CDE=∠BED．

理由：

如图1，作EF∥AB，

∵直线AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴∠ABE=∠1，∠CDE=∠2，

∴∠ABE+∠CDE=∠1+∠2=∠BED，

即∠ABE+∠CDE=∠BED．

故答案为：

∠ABE+∠CDE=∠BED．

（2）∠BFD=

如图2，∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，

∴∠ABF=

∠ABE，∠CDF=

∠CDE，

∴∠ABF+∠CDF=

∠ABE+

∠CDE=

（∠ABE+∠CDE），

由

（1），可得∠BFD=∠ABF+∠CDF=

（∠ABE+∠CDE）

∠BED=∠ABE+∠CDE，

∴∠BFD=

（3）2∠BFD+∠BED=360°

．

如图3，过点E作EG∥CD，，

∵AB∥CD，EG∥CD，

∴AB∥CD∥EG，

∴∠ABE+∠BEG=180°

，

∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°

由

（1）知，∠BFD=∠ABF+∠CDF，

又∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，

∴2∠BFD+∠BED=360°

2∠BFD+∠BED=360°

【点评】此题主要考查了平行线的性质和应用，解答此题的关键是要明确：

①定理1：

两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：

两直线平行，同位角相等．②定理2：

两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：

两直线平行，同旁内角互补．③定理3：

两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：

两直线平行，内错角相等．　

2．（2016春•武侯区期末）问题情境：

（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为　110　度；

（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质求∠APC即可；

（2）过P作PE∥AD交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；

（3）分两种情况：

P在BD延长线上；

P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案．

【解答】

（1）解：

过点P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD，

∴∠A+∠APE=180°

，∠C+∠CPE=180°

∵∠PAB=130°

∴∠APE=50°

，∠CPE=60°

∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°

（2）∠APC=∠α+∠β，

如图2，过P作PE∥AB交AC于E，

∴AB∥PE∥CD，

∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，

∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；

（3）如图所示，当P在BD延长线上时，

∠CPA=∠α﹣∠β；

如图所示，当P在DB延长线上时，

∠CPA=∠β﹣∠α．

【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．

3．（2013秋•吴江市期末）画图题：

（2）判断EF、GH的位置关系是　垂直　．

（3）连接AC和BC，则三角形ABC的面积是　10　．

（1）过点C作5×

1的矩形的对角线所在的直线，可得AB的垂线和平行线；

（2）易得EF与GH的位置关系是：

垂直；

（3）根据三角形的面积公式解答．

（1）如图

（2）EF与GH的位置关系是：

（3）设小方格的边长是1，则

AB=2

，CH=2

∴S△ABC=

×

2

=10．

【点评】此题灵活考查了过直线外一点作它的平行线、垂线，以及学生的观察、总结能力．

（1）先过点M作ME∥AC，得出AC∥ME∥DB，进而得到∠A=∠AME，∠B=∠BME，再根据角的和差关系即可得出∠A+∠B=∠AME+∠BME=∠AMB；

（2）先过点M作MF∥AC，得出AC∥MF∥DB，进而得到∠A+∠AMF=180°

，∠B+∠BMF=180°

，再根据角的和差关系即可得出∠AMB+∠A+∠B=∠A+∠AMF+∠B+∠BMF=360°

（3）先过点M作MG∥AC，得出AC∥MG∥DB，进而得到∠A=∠AMG，∠B=∠BMG，再根据角的和差关系即可得出∠A﹣∠B=∠AMG﹣∠BMG=∠AMB；

（4）先过点M作MH∥AC，得出AC∥MH∥DB，进而得到∠A=∠AMH，∠B=∠BMH，再根据角的和差关系即可得出∠B﹣∠A=∠BMH﹣∠AMH=∠AMB．

（1）∠AMB=∠A+∠B．

如图1，过点M作ME∥AC，

∵AC∥DB，

∴AC∥ME∥DB，

∴∠A=∠AME，∠B=∠BME，

∴∠A+∠B=∠AME+∠BME=∠AMB；

（2）∠AMB+∠A+∠B=360°

如图2，过点M作MF∥AC，

∴AC∥MF∥DB，

∴∠A+∠AMF=180°

∴∠AMB+∠A+∠B=∠A+∠AMF+∠B+∠BMF=360°

（3）∠A﹣∠B=∠AMB．

如图3，过点M作MG∥AC，

∴AC∥MG∥DB，

∴∠A=∠AMG，∠B=∠BMG，

∴∠A﹣∠B=∠AMG﹣∠BMG=∠AMB；

（4）∠B﹣∠A=∠AMB．理由：

如图4，过点M作MH∥AC，

∴AC∥MH∥DB，

∴∠A=∠AMH，∠B=∠BMH，

∴∠B﹣∠A=∠BMH﹣∠AMH=∠AMB．

【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作辅助线，根据两直线平行，同旁内角互补；

两直线平行，内错角相等进行求解．

5．（2016春•大同期末）如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．

【分析】此题三个小题的解题思路是一致的，过P作直线l1、l2的平行线，利用平行线的性质得到和∠1、∠2相等的角，然后结合这些等角和∠3的位置关系，来得出∠1、∠2、∠3的数量关系．

【解答】证明：

（1）过P作PQ∥l1∥l2，

由两直线平行，内错角相等，可得：

∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；

∵∠3=∠QPE+∠QPF，

∴∠3=∠1+∠2．

（2）关系：

∠3=∠2﹣∠1；

过P作直线PQ∥l1∥l2，

则：

∵∠3=∠QPF﹣∠QPE，

∴∠3=∠2﹣∠1．

（3）关系：

∠3=360°

﹣∠1﹣∠2．

过P作PQ∥l1∥l2；

同

（1）可证得：

∠3=∠CEP+∠DFP；

∵∠CEP+∠1=180°

，∠DFP+∠2=180°

∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°

即∠3=360°

【点评】此题主要考查的是平行线的性质，能够正确地作出辅助线，是解决问题的关键．

6．（2016春•威海期中）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P=90°

（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为　∠PFD+∠AEM=90°

　；

（1）由平行线的性质得出∠PFD=∠1，∠2=∠AEM，即可得出结果；

（2）由平行线的性质得出∠PFD+∠1=180°

，再由角的互余关系即可得出结果；

（3）由角的互余关系求出∠PHE，再由平行线的性质得出∠PFC的度数，然后由三角形的外角性质即可得出结论．

（1）作PG∥AB，如图①所示：

则PG∥CD，

∴∠PFD=∠1，∠2=∠AEM，

∵∠1+∠2=∠P=90°

∴∠PFD+∠AEM=∠1+∠2=90°

∠PFD+∠AEM；

（2）证明：

如图②所示：

∴∠PFD+∠BHF=180°

∵∠P=90°

∴∠BHF+∠2=90°

∵∠2=∠AEM，

∴∠BHF=∠PHE=90°

﹣∠AEM，

∴∠PFD+90°

﹣∠AEM=180°

∴∠PFD﹣∠AEM=90°

（3）如图③所示：

∴∠PHE=90°

﹣∠FEB=90°

﹣15°

=75°

∴∠PFC=∠PHE=75°

∵∠PFC=∠N+∠DON，

∴∠N=75°

﹣30°

=45°

【点评】本题考查了平行线的性质、角的互余关系；

熟练掌握平行线的性质，弄清角之间的数量关系是解决问题的关键．