8．如图，己知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=22．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t>0）秒．
（1）写出数轴上点B表示的数____，点P表示的数____（用含t的代数式表示）；
（2）若动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q?
（列一元一次方程解应用题）
（3）若动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问秒时P、Q之间的距离恰好等于2（直接写出答案）
（4）思考在点P的运动过程中，若M为AP的中点，N为PB的中点.线段MN的长度是否发生变化？
若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长.
9．如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是段AB的“2倍点”．
（1）线段的中点__________这条线段的“2倍点”；（填“是”或“不是”）
（2）若AB＝15cm，点C是线段AB的“2倍点”．求AC的长；
（3）如图②，已知AB＝20cm．动点P从点A出发，以2cm／s的速度沿AB向点B匀速移动．点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s），当t＝_____________s时，点Q恰好是线段AP的“2倍点”．（请直接写出各案）
10．已知：
A、O、B三点在同一条直线上，过O点作射线OC，使∠AOC：
∠BOC＝1：
2，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时三角板旋转的角度为 度；
（2）继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；
（3）将图1中的三角板绕点O按5°每秒的速度沿逆时针方向旋转一周的过程中，当直角三角板的直角边OM所在直线恰好平分∠BOC时，时间t的值为 （直接写结果）．
11．点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2．
（1）如图1点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+1＝x﹣5的解，在数轴上是否存在点P使PA+PB＝BC+AB？
若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由；
（2）如图2，若P点是B点右侧一点，PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：
①PM﹣BN的值不变；②BN的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值
12．如图，在数轴上从左往右依次有四个点，其中点表示的数分别是，且.
（1）点D表示的数是；（直接写出结果）
（2）线段以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时线段以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间是（秒），当两条线段重叠部分是2个单位长度时.
①求的值;
②线段上是否存在一点，满足?
若存在，求出点表示的数；若不存在，请说明理由.
13．已知：
如图，点是线段上一定点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（在线段上，在线段上）
若，当点、运动了，此时________，________；（直接填空）
当点、运动了，求的值．
若点、运动时，总有，则________（填空）
在的条件下，是直线上一点，且，求的值．
14．（阅读理解）
若A，B，C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，我们就称点C是（A，B）的优点．
例如，如图①，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是（A，B）的优点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是（A，B）的优点，但点D是（B，A）的优点．
（知识运用）
如图②，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为4．
（1）数 所表示的点是（M，N）的优点；
（2）如图③，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的优点？
15．如图所示，已知数轴上A，B两点对应的数分别为－2，4，点P为数轴上一动点，其对应的数为x.
（1）若点P到点A，B的距离相等，求点P对应的数x的值．
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A，B的距离之和为8？
若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．
（3）点A，B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以5个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间．当点A与点B重合时，点P经过的总路程是多少？
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一、压轴题
1．
（1）80°；
（2）140°
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的定义得∠BOM=∠AOB，∠BON=∠BOD，再根据角的和差得∠AOD=∠AOB+∠BOD，∠MON=∠BOM+∠BON，结合三式求解；
（2）根据角平分线的定义∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD，再根据角的和差得∠AOD=∠AOC+∠BOD-∠BOC，∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC结合三式求解.
【详解】
解：
（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
∴∠BOM=∠AOB，∠BON=∠BOD，
∴∠MON=∠BOM+∠BON=∠AOB+∠BOD=（∠AOB+∠BOD）.
∵∠AOD=∠AOB+∠BOD=α=160°，
∴∠MON=×160°=80°；
（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD，
∵∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC，
∴∠MON=∠AOC+∠BOD-∠BOC=（∠AOC+∠BOD）-∠BOC.
∵∠AOD=∠AOB+∠BOD，∠AOC=∠AOB+∠BOC,
∴∠MON=（∠AOB+∠BOC+∠BOD）-∠BOC=（∠AOD+∠BOC）-∠BOC，
∵∠AOD=α，∠MON=60°,∠BOC=20°,
∴60°=（α+20°）-20°,
∴α=140°.
【点睛】
本题考查了角的和差计算，角平分线的定义，明确角之间的关系是解答此题的关键.
2．
（1）135，135；
（2）∠MON＝135°；（3）同意，∠MON＝（90°﹣x°）+x°+（45°﹣x°）＝135°.
【解析】
【分析】
（1）由题意可得，∠MON＝×90°+90°，∠MON＝∠AOC+∠BOD+∠COD，即可得出答案；
（2）根据“OM和ON是∠AOC和∠BOD的角平分线”可求出∠MOC+∠NOD，又∠MON＝（∠MOC+∠NOD）+∠COD，即可得出答案；
（3）设∠BOC＝x°，则∠AOC＝180°﹣x°，∠BOD＝90°﹣x°，进而求出∠MOC和∠BON，又∠MON＝∠MOC+∠BOC+∠BON，即可得出答案.
【详解】
解：
（1）图2中∠MON＝×90°+90°＝135°；图3中∠MON＝∠AOC+∠BOD+∠COD＝（∠AOC+∠BOD）+90°＝90°+90°＝135°；
故答案为：
135，135；
（2）∵∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝180°﹣∠COD＝90°，
∵OM和ON是∠AOC和∠BOD的角平分线，
∴∠MOC+∠NOD＝∠A
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