高等数学第六章定积分应用综合测试题.docx
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高等数学第六章定积分应用综合测试题
第六章定积分应用测试题A卷
一、填空题（20分）
1、定积分表示一平面图形的面积，这一图形的边界曲线方程是.
2、设一放射性物质的质量为，其衰变速度，则从时刻到此物质分解的质量用定积分表示为.
3、抛物线与轴所围成图形的面积.
4、由极坐标方程所确定的曲线及所围扇形的面积为.
二、选择题（20分）
1、曲线及轴所围图形的面积，则[]
（A）;（B）;
（C）;（D）.
2、曲线下方与该曲线过原点的切线左方及轴右方所围成的图形面积[].
（A）;（B）;
（C）;（D）.
3、曲线上一段弧长[].
（A）;（B）;
（C）;（D）.
4、矩形闸门宽米，高米，垂直放在水中，上沿与水面齐，则闸门压力[].
（A）;（B）;
（C）;（D）.
三、解答题
1、（10分）求曲线与纵轴所围成图形的面积.
2、（10分）求由圆绕轴旋转而成的环体的体积.
3、（10分）试证曲线的弧长等于椭圆的周长.
4、（10分）设半径为1的球正好有一半浸入水中，球的密度为1，求将球从水中取出需作多少功？
5、（20分）设直线与抛物线所围成图形的面积为，它们与直线所围成的图形面积为.并且.如图6.25.
（1）试确定的值，使达到最小，并求出最小值；
（2）求该最小值所对应的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.
第六章定积分应用测试题B卷
一、填空题（20分）
1、求曲线所围图形面积（上半平面部分），则.
2、曲线所围图形面积.
3、求曲线从到一段弧长.
4、曲线所围成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.
二、选择题（20分）
1、曲线所围图形的面积为，则[]
（A）;（B）;
（C）;（D）.
2、摆线一拱与轴所围成的图形绕轴旋转的旋转体体积[]
（A）;（B）
;
（C）;（D）.
3、星形线的全长[]
（A）;（B）;
（C）;（D）.
4、半径为的半球形容器，每秒灌水，水深，则水面上升速度是[]
（A）;（B）;
（C）;（D）.
三、解答题
1、（13分）由两条抛物线所围成的图形.
（1）计算所围成图形的面积；
（2）将此图形绕轴旋转，计算旋转体的体积.
2、（15分）由曲线，直线及轴所围图形记作，
（1）求绕轴旋转所得旋转体的体积；
（2）求绕直线旋转所得旋转体的体积；
（3）求以为底且每个与轴垂直的截面均为等边三角形的立体的体积.
3、（12分）曲线与轴在第一象限内所围图形记作，试在曲线上求一点，使直线把分成面积相等的两部分.
4、（10分）设某潜水艇的观察窗的形状为长、短半轴依次为的半椭圆，短轴为其上沿，上沿与水面平行，且位于水下
处，试求观察窗所受的水压力.
5.（10分）求曲线，，，所围成的平面图形的面积S，并求
该平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积。
综合测试题A卷答案
一、填空题
1、上半圆，直线和直线；
2、；3、；4、.
二、选择题
1、C;2、A;3、B；4、A.
三、解答题
1、先求交点，令得，故，及曲线与纵轴交点为.又，所以.
2、因为而，所求环体体积是由半圆与半圆绕轴旋转生成的旋转体体积之差，即
.
3、因为椭圆方程为，即，则其参数方程为
，
由椭圆关于轴的对称性，所以周长
.
而曲线的弧长
.
故.
4、将球提出水面的力等于露出水面部分的重量，其数值等于球露出水面部分的体积：
其中为球心向上移动距离（），故将球从水中取出所作的功为
.
5、解
（1）当时（如图一）
.
令，得，又
则是极小值及最小值.其值为
当时，，
，
单调减少，故时，取得最小值，此时.
综合上述，当时，为所求最小值，最小值为.
（2）
.
综合测试题B卷答案
一、填空题
1、；2、；
3、；4、..
二、选择题
1、C;2、B;3、B；4、D
三、解答题
1、
（1）.
（2）
2、
（1）绕轴旋转所得旋转体的体积
（2）绕直线旋转所得旋转体的体积
（3）以为底且与轴垂直呈等边三角形的的立体的平行截面的面积为
因此平行截面的面积为的立体体积
.
3、设为曲线上一点，则截下部分的曲边扇形面积
的面积.
由条件，即得，所以.对应的，故点的极坐标为.
4、建立如图6.26所示的坐标系
椭圆方程为，则
令，则.
其中为水的密度，g为重力加速度.
5.解：
所求面积，（图6.27）
。
图6.27
。
。
平面图形绕轴旋转一周所得旋转体体积
，
平面图形绕轴旋转一周所得旋转体体积
，
故所求旋转体的体积。
解法2：
（薄壳法）
。
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