分治算法讲解文档格式.docx
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(1)划分:
把问题的实例划分成子问题
(2)求解:
若是子问题比较简单,就直接解决,否则递归求解子问题
(3)合并:
合并子问题的解得到原问题的解
课前引导:
分段函数
例如:
高中数学中的分段函数也是类似分治思想的体现,如看图求y关于x的表达式。
一个分段函数,反映的是x与y的关系,简单来说,就是在R的范围内将y的表达式表示出来,那么这时候利用分治的思想,将R区间划分为小区间,然后分别求出各个小区间的表达式,最后合并起来,完成y关于x的表达式的求解
大整数乘法
123345678*3=370037034
在这里我们可以这样写:
123*3=369
345*3=1035
678*3=2034
组合在一起是
36910352034。
对比发现,当使用千进制的时候结果变成了370037034
首先他满足:
第一条件:
分解到一定小规模的时候可以解决
第二条件:
每个小规模都具有最佳子结构(在变量范围内,可以用来表示)
第三条件:
每个小问题可以通过合并在一起形成大问题的解
第四条件:
每个小问题相互独立
专题一:
分治算法之二分查找
思考题:
找假币:
有一堆个数为32的硬币,和一个天平,已知其中有一个假币,且假币比真硬币轻,找出这个假币
1.普通方法:
两两比较,轻的那个是假币,最多比较16次
2.二分法:
将硬币分为两份,假币在轻的那份中,然后继续分,直到找出假币,最多用5次
哪种方法好?
课题:
二分查找(折半查找)
知识目标:
理解二分查找算法的概念以及执行过程。
重点:
掌握二分查找算法的常规写法以及递归写法。
1.边界错误造成的问题
2.死循环
3.溢出
I.算法介绍:
二分查找又称折半查找,优点是比较次数少,查找速度快,平均性能好;
其缺点是要求待查表为有序表,且插入删除困难。
因此,折半查找方法适用于不经常变动而查找频繁的有序列表。
II.思路分析:
二分查找的基本思想是:
(1)先确定一组顺序排列的数据存储到数组中,输入要查找的数据
(2)将数组元素的中值与查找的数据相比较,如果两者相等,则子函数返回相应的结果后终止;
(3)否则利用中间位置缩小数据查找的范围。
如果中间位置的数组元素大于查找数值,则进一步查找中值之前的数组元素,否则进一步查找中值之后的数组元素。
(4)重复上述过程,直到在数组中找到相同的数字。
(5)若在数组中找不到这个数据,则显示查找不成功
III.算法框架:
按照分治算法三步骤,将二分算法作如下介绍:
(1)二分算法代码设计模式:
//arr[]表示要进行二分查找的顺序排列对象数组,low表示数组下标的最小值,high表示数组下表的最大值,key表示要查找的元素
interfen(intarr[],intlow,inthigh,intkey){
如果数组下标的最小值大于最大值
则返回结果为-1至主函数;
//表明在数组中不存在要查找的元素
确定数组的中间位置mid
若查找的元素等于数组的中间元素,则进行相应的步骤
④若查找的元素大于数组(指定范围内)的中间元素
则将查找范围缩小至数组(指定范围内)中间元素右边;
⑤若查找的元素小于数组指定范围内的中间元素
则将查找范围缩小至数组(指定范围内)中间元素左边;
}
例题1:
输入一个整数n,然后按升序输入n个整数,将它们存入数组a中,再输入一个数x,然后在数组中查找x,如果找到,输出相应的最小下标,否则,输出“NotFound”.
普通写法:
#include<
iostream>
usingnamespacestd;
intmain()
{
inti,s[100],n;
cin>
>
n;
for(i=0;
i<
i++)
s[i];
intx;
x;
{
if(s[i]==x)
{
cout<
<
endl;
break;
}
}
if(i==n)
cout<
"
Notfound"
return0;
}
二分写法:
voiderfen(inta[],intn,intkey)
intlow=0,high=n-1,mid;
while(low<
=high)
mid=(low+high)/2;
if(a[mid]==key)
cout<
这个数的下标是:
mid<
break;
elseif(a[mid]>
key)
high=mid-1;
else
low=mid+1;
if(low>
high)
NotFound!
}
inta[100];
intn,key,i;
a[i];
key;
erfen(a,n,key);
二分递归:
#include<
intsearch(inta[],intleft,intright,intkey)
{
if(left>
right)
Notfound!
exit(0);
else
intmiddle=(left+right)/2;
if(a[middle]==key)
{
returnmiddle;
elseif(key<
a[middle])//这里key是和a[middle]比较,而非middle;
right=middle-1;
returnsearch(a,left,right,key);
left=middle+1;
inta[100],n,x,left,right,i;
left=0;
right=n-1;
search(a,left,right,x)<
专题二:
分治算法之归并排序
归并排序是分治算法的一个非常典型的应用。
归并排序原理:
归并排序具体工作原理如下(假设序列共有n个元素):
将序列每相邻两个数字进行归并操作(merge),形成floor(n/2)个序列,排序后每个序列包含两个元素
将上述序列再次归并,形成floor(n/4)个序列,每个序列包含四个元素
重复步骤2,直到所有元素排序完毕
归并操作:
归并操作(merge),也叫归并算法,指的是将两个顺序序列合并成一个顺序序列的方法。
如 设有数列{6,202,100,301,38,8,1}
初始状态:
6,202,100,301,38,8,1
第一次归并后:
{6,202},{100,301},{8,38},{1},比较次数:
3;
第二次归并后:
{6,100,202,301},{1,8,38},比较次数:
4;
第三次归并后:
{1,6,8,38,100,202,301},比较次数:
总的比较次数为:
3+4+4=11;
归并基本算法:
输入两个整数,作为两个数组的长度,输入两个按升序排列好的数组,将两个已排序的数组合并后存放在另一个数组中,且合并后的数组也是有序排列(要求不能合并后再排序),再输出合并后的数组。
【样例输入】
45
1234
56789
【样例输出】
123456789
代码:
intm,n,i,j,k=0,a[100],b[100],c[200];
m>
m;
for(j=0;
j<
j++)
b[j];
i=0;
j=0;
while(i<
m&
&
n)//当数组a和数组b都没有完全赋值到数组c中时
if(a[i]<
b[j])//如果a数组里的元素比b数组的小
c[k]=a[i];
//就把数组a的元素赋给数组c
i++;
k++;
//且将数组a和数组c的下标都往后移一位
else//要是数组b的元素比数组a的元素大时
c[k]=b[j];
//就把数组b的元素赋值到数组c中
j++;
//且将数组b和数组c的下标往后移一位
if(i==m)//当数组a已经被完全赋值到数组c中
while(j<
n)//当数组b还没有完全赋值
//此时,只需要把b数组中剩余的数全部赋值到数组c接下去的位置上
j++;
else//当数组b已经被完全赋值到数组c中
while(i<
m)//当数组a还没有完全赋值
//此时,只需要把a数组中剩余的数全部赋值到数组c接下去的位置上
i++;
}
m+n;
i++)
c[i]<
"
;
归并函数:
所涉及知识过多,目前只需要了解思想
【例题三】设有n=2^k个运动员要进行网球循环赛。
现要设计一个满足以下要求的比赛日程表:
(1)每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次;
(2)每个选手一天只能参赛一次;
(3)循环赛在n-1天内结束
请按此要求将比赛日程表设计成有n行和n-1列的一个表。
在表中的第i行,第j列处填入第i个选手在第j天所遇到的选手。
其中1≤i≤n,1≤j≤n-1。
假设有8位参赛选手,8个选手的比赛日程表如下图:
【思路】
按分治的实现过程,可以先找到上面所示日程表的规律,即对角线相等,那么所要完成的操作就是对角线填充。
实现过程:
(1)用一个for循环输出日程表的第一行for(inti=1;
=N;
i++)a[1][i]=i
(2)然后定义一个m值,m初始化为1,m用来控制每一次填充表格时i(i表示行)和j(j表示列)的起始填充位置。
(3)用一个for循环将问题分成几部分,对于k=3,n=8,将问题分成3大部分,第一部分为,根据已经填充的第一行,填写第二行,第二部分为,根据已经填充好的第一部分,填写第三四行,第三部分为,根据已经填充好的前四行,填写最后四行。
for(ints=1;
s<
=k;
s++)
N/=2;
(4)用一个for循环对③中提到的每一部分进行划分for(intt=1;
t<
t++)对于第一部分,将其划分为四个小的单元,即对第二行进行如下划分
同理,对第二部分(即三四行),划分为两部分,第三部分同理。
(5)最后,根据以上for循环对整体的划分和分治法的思想,进行每一个单元格的填充。
填充原则是:
对角线填充
for(inti=m+1;
=2*m;
i++)//i控制行
for(intj=m+1;
j++)
//j控制列
{
a[i][j+(t-1)*m*2]=a[i-m][j+(t-1)*m*2-m];
/*右下角的值等于左上角的值*/
a[i][j+(t-1)*m*2-m]=a[i-m][j+(t-1)*m*2];
/*左下角的值等于右上角的值*/
}
实例过程:
(1)由初始化的第一行填充第二行
(2)由s控制的第一部分填完。
然后是s++,进行第二部分的填充
(3)最后是第三部分的填充