高一数学《二次函数在闭区间上的最值》练习题.docx
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高一数学《二次函数在闭区间上的最值》练习题
基础过关
第1课二次函数在闭区间上的最值
一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：
对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况
2
设f（x）二axbxc（^--0），求f（x）在x・［m,n］上的最大值与最小值。
分析：
将f（x）配方，得顶点为
4ac—b2、对称轴为
4a」
b
2a
当a0时，它的图象是开口向上的抛物线，
（1）当一bm,n1时，f（x）的最小值是
2a
f（x）的最大值是
数形结合可得在［m，n］上f（x）的最值:
Jb\4ac-b2
f-一|=，
<2a丿4a
f（m）、f（n）中的较大者。
（2）当-——-（-：
：
m）时，f（x）在m，n上是增函数则f（x）的最小值是f（m），最大值是f（n）
2a
u
（3）当（n厂：
：
）时，f（x）在Im，n1上是减函数则f（x）的最大值是f（m），最小值是f（n）
2a
当a<0时，可类比得结论
典型例题
（一）、正向型
是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成
为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：
（1）轴定，区间定；
（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1.轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次
函数在定区间上的最值”。
例1.函数y=-x2+4x-2在区间［0，3］上的最大值是，最小值是
练习.已知2x2兰3x，求函数f（x）=x2+x+1的最值・。
2、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定
函数在动区间上的最值”。
例2.如果函数f（x）=（x-1）21定义在区间l.t，t11上，求f（x）的最小值。
例3.已知f（x）=x2-2x•3，当x・[t,t1],rR时，求f（x）的最大值.
观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？
这些问题其实仔细思考就很容易解决。
不难观察：
二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。
第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到,
当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。
根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。
对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：
f（n），—-^>n（如图3）
2a
f（X）min=$f（—丁），m<~—2a2a
f（m）,——2a
3、轴变区间定二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的,
我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。
[来源Zxx.k.Com]
例4.已知X<1，且a-2-0,求函数f（x）=x2•ax•3的最值。
［来源:
Z&xx&k.Com］
2
例5.⑴求f（x）=x-2ax-1在区间［-1,2］上的最大值。
（2）求函数y--x（x-a）在x：
=［-1,1］上的最大值。
4.轴变区间变二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动
二次函数在动区间上的最值”。
2.22
例6.已知y4a（x_a）i.a0.1，求u=x-3.1亠y的最小值。
［来源学*网：
***］
（二）、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。
2
例7.已知函数f（x）=ax-2ax-1在区间［-3,2］上的最大值为4,求实数a的值。
2
x
例8.已知函数f（x）x在区间［m,n］上的最小值是3m最大值是3n，求m，n的值。
2
m，n的取值范围，避开了繁
评注：
解法利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了难的分类讨论，解题过程简洁、明了。
解后反思：
若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不
妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程简洁、明了。
巩固训练
1•函数y=x•x•1在［-1,1］上的最小值和最大值分别是（）
31
（A）1,3（B）,3（C）-一,3
42
2
2•函数y=-x4x-2在区间[1,4]上的最小值是（
4.若函数y=2-J—x2+4x,x^［0,4］的取值范围是
23
5.已知函数f（x）二ax，（2a-1）x-3（a丰0）在区间［—,2］上的最大值是1,则实数a的值为
2
22
6.如果实数x,y满足xy=1，那么（1-xy）（1•xy）有（）
13
（A）最大值为1,最小值为（B）无最大值，最小值为一
24
3
（C）最大值为1,无最小值（D）最大值为1，最小值为一
4
2
&若xKO,y启O,x+2y=1，那么2x+3y的最小值为
9.设meR,x!
x2是方程x2—2mx+1—m2=0的两个实根，则x；+x；的最小值
2
10•设f（x）=x—4x-4,x・[t,t1]（rR）,求函数f（x）的最小值g（t）的解析式。
a
11.已知f（x）=x-ax，在区间[0,1]上的最大值为g（a），求g（a）的最小值。
2
2
12.设a为实数，函数f（x）=2x+（x—a）|x—a|.
（1）若f（0）-1，求a的取值范围；⑵求f（x）的最小值；
⑶设函数h（x）=f（x）,xfa,p），直接写出•不等式h（x）畠1的解集（不需给出演算步骤）.
第2课函数的定义域和值域
基础过关
一、定义域：
1•函数的定义域就是使函数式的集合.
2.常见的三种题型确定定义域：
1已知函数的解析式，就是
2复合函数f[g（x）]的有关定义域，就要保证内函数g（x）的域是外函数f（x）的域.
3实际应用问题的定义域，就是要使得有意义的自变量的取值集合•
、值域:
1函数y=f（x）中，与自变量x的值的集合.
2•求函数值域的常用方法：
①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；
⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法
12x+12
例如：
①y2，可米用法；②y（x），可米用法或法;
2+x3x+23
③y=a[f（x）]2•bf（x）•c,可采用法；④y=x—..1—x，可采用法;
典型例题
例1.求下列函数的定义域:
变式训练1：
求下列函数的定义域:
（1）y二f（3x）;
11
（3）y=f（x3）f（x-鼻）
33
x
（4）y=f（xa）f（x-a）l
2.设函数y=f（x）的定义域为]0,1L求下列函数的定义域
I来源:
学#科网］
I来源:
学科网］
变式训练4：
已知函数f（x）=x2-4ax亠2a亠6辽厂尺；1‘
（1）求函数的值域为］0,+R）时的a的值；
（2）若函数的值均为非负值，求函数f（a）=2-aa+3的值域）
第3课指数、对数和幕函数
基础过关
m
1指数：
（1）规定：
①a0=（a^0）②a-p=；③a"二m°，m
rsr-|srsrsrrr
（2）运算性质：
①aa=^（a>0糾s壬r）②（a）=a（a>0r、sEr）③（ab）=ab（a>°,b：
>°，r
2•指数函数：
1定义：
函数称为指数函数，
2性质：
1）函数的定义域为;2）函数的值域为;3）恒过定点,
4）当时函数为减函数，当时为增函数•
3函数图象：
3•对数：
（1）定义：
如果ab=N（a.0,且a=1），那么，其中a称为对数的底，N称为真数.
⑵基本性质：
①log/=0；②logaa=1_;③alogaN二N•④|oganb"=换底公式logaN=
I
4•对数函数：
①定义：
函数称为对数函数，
2性质1）函数的定义域为;2）函数的值域为;3）恒过定点,
4）当时，函数为减函数，当时为增函数；
5）函数y=logax与函数0,且a1）互为反函数•
3函数图象：
5•幕函数：
①定义：
我们把形如的函数称为幕函数，其中是自变量，是常数;
2性质：
（1）幕函数的图象都过点;
（2）任何幕函数都不过象限；
（3）当二；0时，幕函数在［0,•：
：
）上;当:
:
0时，幕函数在（0,•：
：
）上;
1
（4）当:
--2,2时，幕函数是；当:
--1,1,3,一时，幂函数是•
3
3函数图象：
1.指数函数
1
例1.已知a=^,b=9.
9
317
求：
（1）■.a\!
a-,.a~-/a15；
（2）
aJbJ
（ab）—1
变式训练1:
化简下列各式（其中各字母均为正数）
（1）
211
（a3bna2
1
b3
51121
（2）-ab~（-3a先丄）（4a3b"）2.
6
例2.函数f（x）=x2-bx+c满足f（1+x）=f（1-x）且f（0）=3,则f（bx）与f（cx）的大小关系是（）
xxxxxx
A.f（b）wf（c）B.f（b）>f（c）C.f（b）>f（c）D.大小关系随x的不同而不同
变式训练2：
已知实数a、b满足等式
（1）^
（1）b
（2）-（3），
①Ovbva;②avbv0;③Ovavb;
F列五个关系式中，不可能成立的关系式有（
④bvav0;⑤a=b.
例3•求卜我朮倣笔疋艾域.说域及兀节巧可.：
（1）f（x）=3■x_5x4;
（2）g（x）=-
（1）x
5.
变式训练3:
求下列函数的单调递增区间:
（2）y=2
x2-x-6
ex
例4.设a>0,f（x）=
a
a
x是R上的偶函数.
e
（1）求a的值；
（2）求证：
f（x）在（0,+8）上是增函数.
变式训练4:
已知定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期2即f（x2^f（x），且当x€（0,1）时,
2x
f（x）=x.
（1）求f（x）在］-1,1］上的解析式；
（2）证明：
f（x）在（0,1）上是减函数.
4x+1
［来源:
学_科_网Z_X_X_K
］
2.对数函数
例1计算：
（1）log23（2-、3）
（2）2（ig2）2+ig.2•Ig5+,（
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