第二十三章旋转Word格式.docx
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C.60°
D.55°
5.如图,△ABC为等边三角形,边长为2cm,点D为BC中点,△AEB是△ADC绕点A顺时针旋转60°
得到的.
(1)求∠ABE的度数及线段BE的长;
(2)连DE,求证:
△ADE为等边三角形.
6.如图所示,在方格纸上建立的平面直角坐标系中,将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°
,得△A'
O,画图并写出点A'
的坐标.
中档题训练
7.如图,∠AOB=90°
,∠B=30°
,△A'
OB'
可看做是由△AOB绕点O顺时针旋转a角度得到的,若点A'
在AB上,则旋转角a的大小是().
A.30°
B.45°
D.90°
8.(2014·
益阳)如图,将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转,使边AB与AC重合得△ACD,BC的中点E的对应点为F,则∠EAF的度数是___________.
9.如图,在4×
4的正方形网格中,△MNP绕某点旋转一定的角度,得到△M1N1P1,则其旋转中心可能是()
A.点AB.点BC.点CD.点D
10.(2013·
毕节)四边形ABCD是正方形,E、F分别是DC和CB的延长线上的点,且DE=BF,连接AE、AF、EF.
(1)求证:
△ADE≌△ABF;
(2)填空:
△ABF可以由△ADE绕旋转中心________点,按顺时针方向旋转________度得到;
(3)若BC=8,DE=6,求△AEF的面积.
综合题训练
11.(2014·
遵义)如图,已知△ABC中,∠C=90°
,AC=BC=
,将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°
到△AB'
的位置,连接C'
B,求C'
B的长.
2.图形的旋转
(二)
旋转的性质:
(1)对应点到旋转中心的距离_________;
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于________;
(3)旋转前后的图形_________.
【例】一个图形经过旋转,有以下结论:
①图形的形状、大小不变;
②对应线段相等;
③对应线段平行;
④旋转角相等.其中正确的结论是()
A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④
1.如图是日本三菱汽车公司的标志,该图形绕点O按下列角度旋转,能与自身重合的是()
A.60°
B.90°
C.120°
D.180°
2.如图,点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上,若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得,则旋转的角度为()
C.90°
D.135°
3.如图,P是正△ABC内的一点,若将△PBC绕点B旋转到△P'
BA,则∠PBP'
的度数是()
A.45°
B.60°
D.120°
邵阳)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(3,4),将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°
至OA'
,则点A'
的坐标是________.
5.如图,以点O为中心,把线段AB逆时针旋转90°
.
6.如图,以点C为中心,把△ABC旋转180°
7.如图,以点O为中心,把△ABC顺时针旋转120°
陕西)如图,在正方形ABCD中,AD=1,将△ABD绕点B顺时针旋转45°
得到△A'
BD'
,此时A'
D'
与CD交于点E,求DE的长度.
9.(2014·
哈尔滨)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,∠B=60°
,BC=2,△A'
C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到,其中点A'与点A是对应点,点B'与点B是对应点,连接AB'
,且A、B'
、A'在同一条直线上,则AA'
的长为()
A.6B.4
C.
D.3
铁岭)如图,在△ABC中,AB=2,BC=3.6,∠B=60°
,将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE,当点B的对应点D恰好落在BC边上时,则CD=_______.
随州)在等边△ABC中,D是边AC上一点,连接BD,将△BCD绕点B逆时针旋转60°
,得到△BAE,连接ED,若BC=5,BD=4,则下列结论错误的是().
A.AE∥BCB.∠ADE=∠BDC
C.△BDE是等边三角形D.△ADE的周长是9
12.如图,在等边△ABC中,AC=9,点O在AC上,且AO=3,点P是AB上的一动点,连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转60°
得到线段OD,要使点D恰好落在BC上,求AP的长.
13.(2014·
兰州)给出定义,若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称该四边形为勾股四边形.
(1)在你学过的特殊四边形中,写出两种勾股四边形的名称;
(2)如图,将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°
得到△DBE,连接AD,DC,CE,已知∠DCB=30°
①求证:
△BCE是等边三角形;
②求证:
DC2+BC2=AC2,即四边形ABCD是勾股四边形.
3.中心对称
1.把一个图形绕着某一点__________,如果它能够与另一个图形__________,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做___________.
【例】△ABC和△A'
关于点O对称,下列结论中不正确的是( ).
A.OA=A'
OB.AB∥A'
C.CO=BOD.∠BAC=∠B'
A'
1.如图所示,△A'
与△ABC关于O成中心对称,那么AO=_______,BO=_______,CO=_______,点A、O与______三点在用一直线上,_________________三点在同一直线上,________________三点在同一直线上.
2.下列说法:
①成中心对称的两个图形形状一致,大小一样;
②成中心对称的两个图形一定能重合;
③形状一样、大小一样的两个图形形成中心对称;
④旋转后能够重合的两个图形成中心对称,其中说法正确的个数是( ).
A.0个B.1个C.2个D.3个
3.如图,□ABCD中,对角线AC、BD交于点O,则下列结论不成立的是()
A.点A与点C关于点O成中心对称B.线段BC与线段DA关于点O成中心对称
C.△ABO与△CDO关于点O成中心对称D.△ADO与△ABO关于点O成中心对称
4.
(2014·
黄石)正方形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示,将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°
后,C点的坐标是()
A.(2,0)B.(3,0)C.(2,-1)D.(2,1)
5.如右上图,在网格中,不用量角器和刻度尺,画出已知图形关于
点O的中心对称图形.
6.已知,如图四边形ABCD和四边形EFGH关于点O成中心对称,
请在图中画出点O.
7.如图,画出△ABC以点O为对称中心的△A'
8.(2013·
天津)如图,在△ABC中,AC=BC,点D、E分别是边AB、AC的中点,将△ADE绕点E旋转180°
得△CFE,则四边形ADCF一定是().
A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形
9.在平面直角坐标系△ABC中,A(-1,0),B(-4,0),C(-3,2).
(1)将△ABC绕点M(0,1)顺时针旋转90°
得到△A1B1C1,画图并直接
写出C1的坐标;
(2)作出△ABC关于N(0,-1)的中心对称图形△A2B2C2并直接写出C2
的坐标,并画图;
(3)观察并直接回答B1C1与线段B2C2大小与位置关系.
10.如图,将△ABC绕点C(0,-1)旋转180°
C,设点A的坐标为(a,b),求点A'
的坐标.
11.如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥CD,请恰当选择对称中心P,作出梯形ABCD关于P点对称的图形,使得两个梯形合成一个矩形.
12.如图,△ABC中,AD是BC边上的中线,以D为旋转中心,将△ADC绕点D旋转180°
得到△EDB.
(1)画出△EDB;
(2)找出与AC相等的线段;
(3)若AB=5,AC=3,求线段AD的取值范围.
4.中心对称图形
1.把一个图形绕着某一个点____________,如果旋转后的图形能够与原来的图形__________,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的_____________.
【例】图形:
①线段;
②等边三角形;
③平行四边形;
④矩形;
⑤梯形;
⑥圆,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的序号是______________
基础题训练
1.(2014·
广西)下列图形中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是().
A.等边三角形B.平行四边形C.正方形D.正五边形
2.(2014·
青岛)下列四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是().
3.艺术字中,有些字母是中心对称图形,下面的5个字母中,是中心对称图形的有()
CHINA
A.2个B.3个C.4个D.5个
4.下列命题中正确的是().
A.轴对称图形是中心对称图形B.中心对称图形是轴对称图形
C.关于中心对称的两个三角形全等D.两个全等三角形一定关于某一点成中心对称
5.下列图形是中心对称不是轴对称图形的是().
A.等边三角形B.正方形C.平行四边形D.圆
6.如图,8*8方格纸的两条对称轴EF、MN相较于点O,对图a分别作如下变换:
①先以直线MN为对称轴做轴对称图形,再向上平移4格
②先以点O为对称中心旋转180°
,再向右平移1格
③先以直线EF为对称轴做轴对称图形,再向右平移4格,其中能将图a变化成图b的是()
A.①②B.①③C.②③D.③
7、图①、②均为7*6的正方形网格,点A、B、C在格点上.
⑴在图①中确定格点D,并画以A、B、C、D为顶点的四边形,十七为轴对称图形(画一个即可)
⑵在图②中确定格点E,并画以A、B、C、E为顶点的四边形,使其为中心对称图形(画一个即可)
图①图②
中档题训练
东营)将等腰直角三角形AOB按如图所示放置,然后绕点O逆时针旋转90°
至△A'
的位置,点B的横坐标为2,则点A'
的坐标为()
A.(1,1)B.
C.(-1,1)D.
9.如图是一个中心对称图形,A为对称中心,若∠C=90°
∠B=30°
,BC=1,则BB'
的长为().
A.4B.
D.
10.如图,在直角坐标系中,已知△ABC各顶点坐标分别为A(0,1),B(3,一1),C(2,2),试作出与△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1并直接写出A1,B1,C1的坐标.
11.(2010武汉元调)如图,在等腰ΔABC中,AB=AC,∠ABC=α,在四边形BDEC中,DB=DE,∠BDE=2α,M为CE的中点,连接AM,DM.
(1)在图中画出△DEM关于点M成中心对称的图形;
(2)求证AM⊥DM;
(3)当α=时,AM=DM.
5.关于原点对称的点的坐标
1.点P(x,y)关于原点的对称点为P'
_________
【例】如图,四边形ABCD在平面直角坐标系中,
⑴分别写出A、B、C、D各点的坐标;
⑵作出四边形ABCD关于原点O对称的四边形A′B′C′D′,并写出各顶点坐标.
1.在平面直角坐标系中,点(0,2)关于原点对称的点是().
A.(-2,0)B.(-2,-2)C.(2,2)D.(0,-2)
2.在平面直角坐标系中,点(-3,2)关于原点对称的点是().
A.(2,-3)B.(-3,-2)C.(3,2)D.(3,-2)
3.如果点P(a,3)和P1(-4,b)关于原点对称,则a+b的值为().
A.1B.-1C.7D.-7
4.已知点A(2,2),如果点A关于x轴的对称点是B,B点关于原点的对称点为C,那么C点的坐标是()
A.(2,2)B.(-2,2)C.(2,-2)D.(-2,-2)
5.若点P1(2-m,5)关于原点对称的点是P2(3,2n+1),则m-n酌值为().
A.6B.-3C.8D.9
6.若点A关于y轴对称的点的坐标是(4,-3),则点A关于原点对称的点的坐标是().
A.(4,-3)B.(-4,-3)C.(4,3)D.(-4,3)
7.如图,阴影部分组成的图案既是关于x轴对称的图形又是关于原点O成中心对称的图形,若点A的坐标是(1,3),则点M和点N的坐标分别是()
A.M(1,-3),N(-1,-3)B.M(-1,-3),N(-1,3)
C.M(-1,-3),N(1,-3)D.M(-1,3),N(1,-3)
8.已知点A(4-2m,5)关于原点对称的点在第三象限内,则m的取值范围是_______
9.△ABC在平面直角坐标系内,其中A(0,0),B(-4,1),C(-3.2),将△ABC绕着某一点旋转1800后,得到△A′B′C′,其中A的对应点A′(0,0),B的对应点B′(4,-1),则C点的对应点C′的坐标为__________
10.如图,在平面直角坐标系中,存在点A(-3,1)、点B(-2,0).
(1)画出△ABO关于原点O对称的△A′B′O(点A与A′是对应点,点B与B′是对应点),
并写出点A′、B′的坐标;
(2)连接AB′、BA′,求四边形ABA′B′的面积,
烟台)如图,将△ABC绕点P顺时针旋转90°
得到△A′B′C′,则点P的坐标是().
A.(1,1)B.(1,2)C.(1,3)D.(1,4)
12.如图,已知□ABCD的对称中心在原点O,且A(-2,1),B(-3,-2)
⑴求点C及点D的坐标
⑵求S□ABCD的值.
13.在平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴负半轴交于点A,与y轴交于点B
(1)点A关于原点的对称点A′的坐标是______,点B关于原点的对称点B′的坐标是________;
(2)求直线y=x+2关于原点对称的直线的解析式.
14.在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+2x+3交x轴负半轴于A,点B的坐标为(0,-3),将线段AB绕平面某点旋转180°
得线段CD,且点C,D正好落在抛物线y=-x2+2x+3的图象上,求点C、D的坐标.
6.课题学习图案设计
1.图案设计常用到的图形变换方式有:
_________、__________、________或利用它们的组合.
【例】在平面直角坐标系中有A(0,1),B(-2,0)两点,将线段AB以O为旋转中心逆时针分别旋转90°
,180°
270°
,请画出旋转后的图形.
1.如图,是北京国际数学大会的会徽,则该图案可看作由一个直角三角形()
A.绕中心点旋转90°
、180°
、270°
得到B.作轴对称3次得到
C.绕中心点旋转60°
、120°
得到D.平移3次得到
2.在下图右侧的四个三角形中,不能由左边的三角形经过旋转或平移得到的是()
3.如图,每个小方格都是边长为1的正方形,以O点为坐标原点建立平面直角坐标系.
⑴画出四边形OABC关于y轴对称的四边形OA1B1C1,并写出点B1的坐标_________
⑵画出四边形OABC绕点O顺时针方向旋转90°
后得到的四边形OA2B2C2,并求出点C旋转到点C2经过的路径的长度.
11.用四块如图⑴所示的瓷砖拼成一个正方形,使拼成的图案成轴对称图形,请你在⑵⑶⑷中各画出一种拼法.(要求三种拼法各不相同,所画图形的阴影部分用斜线表示)
(1)⑵⑶⑷
专题利用旋转作图求坐标
【方法归纳】:
将形的变化转化为点的变化,
武汉)如图,在直角坐标系中,A(0,4)、C(3,0)
(1)①画出线段AC关于y轴对称线段AB
②将线段CA绕点C顺时针旋转一个角,得到对应线段CD,使得AD∥x轴,请画出线段CD
(2)若直线y=kx平分
(1)中四边形ABCD的面积,请直接写出实数k的值
2.(2013·
武汉)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点分别是A(-3,2),B(0,4),C(0,2).
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°
,画出旋转后对应的△A1B1C1;
平移△ABC,若A的对应点
的坐标为(0,-4),画出平移后对应的△
;
(2)若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△
,请直接写出旋转中心的坐标;
(3)在
轴上有一点P,使得PA+PB的值最小,请直接写出点P的坐标.
3.(2013•昆明)在平面直角坐标系中,四边形ABCD的位置如图所示,解答下列问题:
(1)将四边形ABCD先向左平移4个单位,再向下平移6个单位,得到四边形A1B1C1D1,画出平移后的四边形A1B1C1D1;
(2)将四边形A1B1C1D1绕点A1逆时针旋转90°
,得到四边形A1B2C2D2,画出旋转后的四边形A1B2C2D2,并写出点C2的坐标.
轴上有一点P,使得
的值最大,请直接写出点P的坐标.
4.(2014·
武汉四调)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点的坐标分别为A(-1,5),B(-1,1),C(-3,1).将△ABC向右平移2个单位、再向下平移4个单位得到△
将△ABC绕原点O旋转180°
得到△
(1)请直接写出点
和
的坐标;
(2)请直接写出线段
的长.
专题旋转中的计算
(一)求角度
1.如图,在△ABC和△ADE中,点E在BC边上,∠BAC=∠DAE,∠B=∠D,AB=AD.
(1)求证:
△ABC≌△ADE;
(2)如果∠AEC=75°
,将△ADE绕着点A旋转一个锐角后与△ABC重合,求这个旋转角的大小.
2.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度,得到
△ADE,若∠CAE=65°
,∠E=70°
,且AD⊥BC,求∠BAC的度数.
3.(2013·
攀枝花)如图,在△ABC中,∠CAB=75°
,在同一平面内,将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置,使得C′C′∥AB,求∠BAB′的度数.
4.如图,在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,AD绕着点A顺时针旋转,当点D落在BC边上的点D′时,求∠AD′B的度数.
5.
如图,点P为等边△ABC内一点,且PA=2,PB=
,PC=1
(1)画出将△BPC绕点B逆时针旋转60°
后得到的图形;
(2)求∠BPC的度数;
(3)直接写出AB的长为.
专题旋转中的计算
(二)求长度
1、利用旋转求长度
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
∠ABC=30°
AC=1,将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C,使得点A′恰好落在AB上,连BB′,求BB′的长
2.如图,△ABC中,∠ACB=90°
,AB=10,BC=6,将△ABC绕点C顺时针旋转90°
到△A′B′C的位置,M为A′B′的中点,求AM的长.
二、利用旋转求面积
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,∠A=30°
(n<90),BC=2,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC,此时点D在AB边上,斜边DE交AC边于点F,求n的大小及图中阴影部分的面积.
4.如图,将边长
为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°
后得到正方形AB′C′D′.
ED=EB′;
(2)求图中阴影部分的面积.
专题旋转中的简单证明
1.如图,四边形ABCD和AEFG都是正方形,若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转,连接DG,在旋转的过程中,你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等?
请说明理由.
2.将两块含30°
角且大小相同的直角三角板按如图1摆放,将△CDE绕点C顺时针旋转45°
得到图2,AB、CE交于M,求证:
AM=
CM.
3.(2014·
莱芜)如图,已知△ABC是等腰三角形,顶角∠BAC=α(α<60°
),D是BC边上的一点,连接AD,线段AD绕点A顺时针旋转α到AE,过点E作BC的平行线,交AB于点F,连接DE,BE,DF.
BE=CD;
(2)若AD⊥BC,试判断四边形BDFE的形状,并给出证明.
专题旋转与勾股定理
通过图形的旋转,将要解决的线段转化到直角三角形,再运用勾股定理进行计算
1.(2013·
黄石)把一幅三角板如图1放置,其中∠ACB=∠DEC=90°
,∠A=45°
,∠D=30°
,斜边AB=6,DC=7,把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°
(如图2),此时AB与
交于点O,求线段AD1的长度
2.如图,将正方形ABCD中的△ABP绕点B顺时针旋转到△CBP′的位置,且BP=2,AP=1,
(1)求PP′的长;
(2)连CP,若CP=3,求∠APB的度数.
3.(2013·
常州)在Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=1,BC=
,点O为Rt△ABC内一点,连AO、BO、CO,且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°
,按下列要求画图(保留画图痕迹):
以点B为旋转中心,将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°
,得到△A′O′B(得到A、O的对应点分别为点A′、O′),并解答下列问题:
(1)求∠ABC和∠A′BC的度数,
(2)求OA+OB+OC的值