205 二次函数的一些应用1Word文档下载推荐.docx

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a＞﹣3

　6．（2006•自贡）若一元二次方程：

x2+px﹣q=O无实数根，则抛物线y=﹣x2﹣px+q位于（　　）

x轴的下方

x轴的上方

第二、三、四象限

第一、二、三象限

　7．（2007•潍坊）对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数y=x2﹣mx+m﹣2（m为实数）的零点的个数是（　　）

1

2

不能确定

　8．（2007•临汾）一个运动员打尔夫球，若球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数表达式为y=﹣

（x﹣30）2+10，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为（　　）

10m

20m

30m

60m

　9．（2010•柳州）抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：

x

…

﹣2

﹣1

y

4

6

从上表可知，下列说法正确的个数是（　　）

①抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）；

②抛物线与y轴的交点为（0，6）；

③抛物线的对称轴是x=1；

④在对称轴左侧y随x增大而增大．

3

　10．（2011•兰州）如图，已知：

正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（　　）

　二、解答题（共2小题）（选答题，不自动判卷）

11．（2013•雅安）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；

（3）如图

（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．

①求S与m的函数关系式；

②S是否存在最大值？

若存在，求出最大值及此时点E的坐标；

若不存在，请说明理由．

　12．（2013•遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，﹣

），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．

（1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；

（2）在

（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？

若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；

（3）以AB为直径的⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．

　【章节训练】20.5二次函数的一些应用-1

参考答案与试题解析

考点：

二次函数的应用．2196598

专题：

应用题；

压轴题；

数形结合．

分析：

根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案．

解答：

解：

∵水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x，

∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，

∴y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，

∴顶点坐标为：

（2，4），

∴喷水的最大高度为4米，

故选A．

点评：

本题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．

抛物线与x轴的交点；

根的判别式；

一次函数的性质．2196598

计算题；

压轴题．

分为两种情况：

①当k﹣3≠0时，（k﹣3）x2+2x+1=0，求出△=b2﹣4ac=﹣4k+16≥0的解集即可；

②当k﹣3=0时，得到一次函数y=2x+1，与X轴有交点；

即可得到答案．

①当k﹣3≠0时，（k﹣3）x2+2x+1=0，

△=b2﹣4ac=22﹣4（k﹣3）×

1=﹣4k+16≥0，

k≤4；

②当k﹣3=0时，y=2x+1，与X轴有交点．

故选B．

本题主要考查对抛物线与X轴的交点，根的判别式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能进行分类求出每种情况的k是解此题的关键．

二次函数的图象．2196598

根据二次函数二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两个实数根，利用两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1•x2=3，求得两个实数根，作出判断即可．

∵已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1•x2=3，

∴x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3=0的两个根，

∴（x﹣1）（x﹣3）=0，

解得：

x1=1，x2=3

∴二次函数ax2+bx+c（a＞0）与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0）

故选C．

本题考查了抛物线与x轴的交点坐标及二次函数的图象，解题的关键是根据题目提供的条件求出抛物线与横轴的交点坐标．

应用题．

设每件需降价的钱数为x元，每天获利y元，则可求出y与x之间的函数关系式，写成顶点式后直接解答．

设每件需降价的钱数为x元，每天获利y元，

则y=（135﹣x﹣100）（100+4x）

即：

y=﹣4（x﹣5）2+3600

∵﹣4＜0

∴当x=5元时，每天获得的利润最大．

根据每天的利润=一件的利润×

销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．

抛物线与x轴的交点．2196598

根据题意可知，当x=0时，函数y=ax2+2x﹣5=﹣5；

当x=1时，函数y=a+2﹣5=a﹣3．因为关于x的一元二次方程ax2+2x﹣5=0的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和1），所以当x=1时，函数图象必在x轴的上方，所以得到关于a的不等式，解不等式即可求出a的取值范围．

依题意得：

当x=0时，函数y=ax2+2x﹣5=﹣5；

当x=1时，函数y=a+2﹣5=a﹣3．

又关于x的一元二次方程ax2+2x﹣5=0的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和1），

所以当x=1时，函数图象必在x轴的上方，

所以y=a﹣3＞0，

即a＞3．

主要考查了一元二次方程和二次函数之间的关系，要会利用二次函数的模型来解决有关一元二次方程的问题．

根据二次函数的性质可知，只要函数y=﹣x2﹣px+q与x轴无交点即可．

∵a=﹣1＜0，

∴抛物线开口向下，

∵一元二次方程x2+px﹣q=O无实数根，

∴函数y=﹣x2﹣px+q与x轴无交点，

∴抛物线y=﹣x2﹣px+q位于x轴的下方，

当x取一切实数时，函数值y恒为正的条件：

抛物线开口向上，且与x轴无交点；

当x取一切实数时，函数值y恒为负的条件：

抛物线开口向下，且与x轴无交点．

新定义．

由题意可知：

函数的零点也就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点，判断二次函数y=x2﹣mx+m﹣2的零点的个数，也就是判断二次函数y=x2﹣mx+m﹣2与x轴交点的个数；

根据△与0的关系即可作出判断．

函数的零点也就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点

△=（﹣m）2﹣4×

1×

（m﹣2）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4

∵（m﹣2）2一定为非负数

∴（m﹣2）2+4＞0

∴二次函数y=x2﹣mx+m﹣2（m为实数）的零点的个数是2．

考查二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数．

函数表达式符合二次函数顶点式，a=﹣

＜0，开口向下，y有最大值是10．

在y=﹣

（x﹣30）2+10中，

当x=30时，y有最大值为10．

则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为10m．

本题求二次函数最大（小）值，就是要把二次函数写成顶点式，可以看出最大（小）值．

图表型．

从表中知道当x=﹣2时，y=0，当x=0时，y=6，由此可以得到抛物线与x轴的一个交点坐标和抛物线与y轴的交点坐标，从表中还知道当x=﹣1和x=2时，y=4，由此可以得到抛物线的对称轴方程，同时也可以得到在对称轴左侧y随x增大而增大．

从表中知道：

当x=﹣2时，y=0，

当x=0时，y=6，

∴抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），抛物线与y轴的交点为（0，6），

从表中还知道：

当x=﹣1和x=2时，y=4，

∴抛物线的对称轴方程为x=

（﹣1+2）=0.5，

同时也可以得到在对称轴左侧y随x增大而增大．

所以①②④正确．

此题主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标与自变量和的函数值的对应关系，也考查了利用自变量和对应的函数值确定抛物线的对称轴和增减性．

二次函数的应用；

全等三角形的判定与性质；

勾股定理．2196598

根据条件可知△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，设AE为x，则AH=1﹣x，根据勾股定理EH2=AE2+AH2=x2+（1﹣x）2，进而可求出函数解析式，求出答案．

∵根据正方形的四边相等，四个角都是直角，且AE=BF=CG=DH，

∴可证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG．

设AE为x，则AH=1﹣x，根据勾股定理，得

EH2=AE2+AH2=x2+（1﹣x）2

即s=x2+（1﹣x）2．

s=2x2﹣2x+1，

∴所求函数是一个开口向上，对称轴是直线x=

．

∴自变量的取值范围是大于0小于1．

本题需根据自变量的取值范围，并且可以考虑求出函数的解析式来解决．

二次函数综合题．2196598

综合题；

（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可；

（2）根据BC是定值，得到当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可；

（3）设点E的横坐标为m，表示出E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3），最后表示出EF的长，从而表示出S于m的函数关系，然后求二次函数的最值即可．

（1）由题意可知：

∴抛物线的解析式为：

y=﹣x2﹣2x+3；

（2）∵△PBC的周长为：

PB+PC+BC

∵BC是定值，

∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，

∵点A、点B关于对称轴I对称，

∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点

∵AP=BP

∴△PBC的周长最小是：

PB+PC+BC=AC+BC

∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），

∴AC=3

，BC=

；

故△PBC周长的最小值为3

+

（3）①∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3顶点D的坐标为（﹣1，4）

∵A（﹣3，0）

∴直线AD的解析式为y=2x+6

∵点E的横坐标为m，

∴E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3）

∴EF=﹣m2﹣2m+3﹣（2m+6）

=﹣m2﹣4m﹣3

∴S=S△DEF+S△AEF

=

EF•GH+

EF•AG

EF•AH

（﹣m2﹣4m﹣3）×

=﹣m2﹣4m﹣3；

②S=﹣m2﹣4m﹣3

=﹣（m+2）2+1；

∴当m=﹣2时，S最大，最大值为1

此时点E的坐标为（﹣2，2）．

此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的最值，根据点的坐标表示出线段的长是表示出三角形的面积的基础．

（1）利用顶点式求得二次函数的解析式后令其等于0后求得x的值即为与x轴交点坐标的横坐标；

（2）线段BC的长即为AP+CP的最小值；

（3）连接ME，根据CE是⊙M的切线得到ME⊥CE，∠CEM=90°

，从而证得△COD≌△MED，设OD=x，在RT△COD中，利用勾股定理求得x的值即可求得点D的坐标，然后利用待定系数法确定线段CE的解析式即可．

（1）由题意，设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）2﹣

（a≠0）

∵抛物线经过（0，2）

∴a（0﹣4）2﹣

=2

a=

∴y=

（x﹣4）2﹣

y=

x2﹣

x+2

当y=0时，

x+2=0

x=2或x=6

∴A（2，0），B（6，0）；

（2）存在，

如图2，由

（1）知：

抛物线的对称轴l为x=4，

因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小

∵B（6，0），C（0，2）

∴OB=6，OC=2

∴BC=2

，

∴AP+CP=BC=2

∴AP+CP的最小值为2

（3）如图3，连接ME

∵CE是⊙M的切线

∴ME⊥CE，∠CEM=90°

由题意，得OC=ME=2，∠ODC=∠MDE

∵在△COD与△MED中

∴△COD≌△MED（AAS），

∴OD=DE，DC=DM

设OD=x

则CD=DM=OM﹣OD=4﹣x

则RT△COD中，OD2+OC2=CD2，

∴x2+22=（4﹣x）2

∴x=

∴D（

，0）

设直线CE的解析式为y=kx+b

∵直线CE过C（0，2），D（

，0）两点，

则

∴直线CE的解析式为y=﹣

+2；

本题考查了二次函数的综合知识，特别是用顶点式求二次函数的解析式，更是中考中的常考内容，本题难度偏大．