画法几何课件2Word格式文档下载.docx

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（2）点的正面投影和侧面投影的连线垂直OZ轴，即a′a″⊥OZ；

（3）点的水平投影a和到OX轴的距离等于侧面投影a″到OZ轴的距离，即aax=a″az。

（可以用45°

辅助线或以原点为圆心作弧线来反映这一投影关系）

根据上述投影规律，若已知点的任何两个投影，就可求出它的第三个投影。

3、讲解例题（例2－1）已知点A的正面投影a′和侧面投影a″（图2－12），求作其水平投影a。

（a）题目（b）解答

图2－12已知点的两个投影求第三个投影

强调：

一般在作图过程中，应自点O作辅助线（与水平方向夹角为45°

），以表明aax=a″az的关系。

（三）点的三面投影与直角坐标

1、点的三面投影与直角坐标的关系

三投影面体系可以看成是一个空间直角坐标系，因此可用直角坐标确定点的空间位置。

投影面H、V、W作为坐标面，三条投影轴OX、OY、OZ作为坐标轴，三轴的交点O作为坐标原点。

由图2－13可以看出A点的直角坐标与其三个投影的关系：

点A到W面的距离=Oax=a′az=aaYH=x坐标；

点A到V面的距离=OaYH=aax=a″az=y坐标；

点A到H面的距离=Oaz=a′ax=a″aYW=z坐标。

图2－13点的三面投影与直角坐标

用坐标来表示空间点位置比较简单，可以写成A（x，y，z）的形式。

由图2－13（b）可知，坐标x和z决定点的正面投影a′，坐标x和y决定点的水平投影a，坐标y和z决定点的侧面投影a″，若用坐标表示，则为a（x，y，0），a′（x，0，z），

a″（0，y，z）。

因此，已知一点的三面投影，就可以量出该点的三个坐标；

相反地，已知一点的三个坐标，就可以量出该点的三面投影。

2、讲解例题（例2－2）已知点A的坐标（20，10，18），作出点的三面投影，并画出其立体图。

其作图方法与步骤如图2－14所示：

（a）（b）（c）

图2－14由点的坐标作点的三面投影

立体图的作图步骤如图2－15所示；

图2－15由点的坐标作立体图

（四）特殊位置点的投影

1、在投影面上的点（有一个坐标为0）

有两个投影在投影轴上，另一个投影和其空间点本身重合。

例如在V面上的点A，如图2－16（a）所示；

2、在投影轴上的点（有两个坐标为0）

有一个投影在原点上，另两个投影和其空间点本身重合。

例如在OZ轴上的点B，如图2－16（b）所示；

3、在原点上的空间点（有三个坐标都为0）

它的三个投影必定都在原点上。

如图2－16（c）所示。

图2－16特殊位置点的投影

（五）两点的相对位置

1、两点的相对位置

设已知空间点A，由原来的位置向上（或向下）移动，则z坐标随着改变，也就是A点对H面的距离改变；

如果点A，由原来的位置向前（或向后）移动，则y坐标随着改变，也就是A点对V面的距离改变；

如果点A，由原来的位置向左（或向右）移动，则x坐标随着改变，也就是A点对W面的距离改变.

综上所述，对于空间两点A、B的相对位置

（1）距W面远者在左（x坐标大）；

近者在左（x坐标小）；

（2）距V面远者在前（y坐标大）；

近者在后（y坐标小）；

（3）距H面远者在左（z坐标大）；

近者在左（z坐标小）。

2、举例

如图2－17所示，若已知空间两点的投影，即点A的三个投影a、a′、a″和点B的三个投影b、b′、b″，用A、B两点同面投影坐标差就可判别A、B两点的相对位置。

由于xA>

xB，表示B点在A点的右方；

zB>

zA，表示B点在A点的上方；

yA>

yB，表示B点在点的A后方。

总起来说，就是B点在A点的右、后、上方。

图2－17两点的相对位置

3、重影点

若空间两点在某一投影面上的投影重合，则这两点是该投影面的重影点。

这时，空间两点的某两坐标相同，并在同一投射线上。

当两点的投影重合时，就需要判别其可见性，应注意：

对H面的重影点，从上向下观察，z坐标值大者可见；

对W面的重影点，从左向右观察，x坐标值大者可见；

对V面的重影点，从前向后观察，y坐标值大者可见。

在投影图上不可见的投影加括号表示，如（a′）。

4、举例

如图2－18中，C、D位于垂直H面的投射线上，c、d重影为一点，则C、D为对H面的重影点，z坐标值大者为可见，图中zC>

zD，故c为可见，d为不可见，用c（d）表示。

图2-18重影点

四、小结

1、空间点及其投影的标记标记符号

2、点的投影与与其直角坐标的关系

3、点的三面投影规律

4、特殊位置点的投影

5、两点的相对位置和重影点

2—4直线的投影

1、讲评上次作业。

2、复习点的投影与与其直角坐标的关系

3、复习点的三面投影规律

4、复习特殊位置点的投影

5、复习两点的相对位置和重影点

空间两点确定一条空间直线段，空间直线的投影一般也是直线。

直线段投影的实质，就是线段两个端点的同面投影的连线；

所以学习直线的投影，必须于点的投影联系起来。

（一）直线的投影图

空间一直线的投影可由直线上的两点（通常取线段两个端点）的同面投影来确定。

如图2－19所示的直线AB，求作它的三面投影图时，可分别作出A、B两端点的投影（a、a′、a″）、（b、b′、b″），然后将其同面投影连接起来即得直线AB的三面投影图（ab、a′b′、a″b″）。

图2－19直线的投影

（二）直线对于一个投影面的投影特性

空间直线相对于一个投影面的位置有平行、垂直、倾斜三种，三种位置有不同的投影特性。

1、真实性当直线与投影面平行时，则直线的投影为实长。

如图2－20（a）所示。

2、积聚性当直线与投影面垂直时，则直线的投影积聚为一点。

如图2－20（b）所示。

3、收缩性当直线与投影面倾斜时，则直线的投影小于直线的实长。

如图2－20（c）所示。

图2－20直线的投影

（三）各种位置直线的投影特性

根据直线在三投影面体系中的位置可分为投影面倾斜线、投影面平行线、投影面垂直线三类。

前一类直线称为一般位置直线，后两类直线称为特殊位置直线。

1、投影面平行线

平行于一个投影面且同时倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行线。

平行于V面的称为正平线；

平行于H面的称为水平线；

平行于W面的称为侧平线。

直线与投影面所夹的角称为直线对投影面的倾角。

α、β、γ分别表示直线对H面、V面、W面的倾角。

举例说明：

正平线的投影特性

（1）斜线反映实长；

（2）直线的倾角α、γ。

总结投影面平行线的投影特性：

两平一斜。

要求学生必须掌握表2－1中的图例。

对于投影面平行线的辨认：

当直线的投影有两个平行于投影轴，第三投影与投影轴倾斜时，则该直线一定是投影面平行线，且一定平行于其投影为倾斜线的那个投影面。

讲解例题（例2－3）如图2－21所示，已知空间点A，试作线段AB，长度为15，并使其平行V面，与H面倾角α＝30°

（只需一解）。

图2－21作正平线AB

2、投影面垂直线

垂直于一个投影面且同时平行于另外两个投影面的直线称为投影面垂直线。

垂直于V面的称为正垂线；

垂直于H面的称为铅垂线；

垂直于W面的称为侧垂线。

侧垂线的投影特性

（1）两个投影反映实长；

（2）一个投影积聚为一点。

两线一点。

要求学生必须掌握表2－2中的图例。

对于投影面垂直线的辨认：

直线的投影中只要有一个投影积聚为一点，则该直线一定是投影面垂直线，且一定垂直于其投影积聚为一点的那个投影面。

讲解例题（例2－4）如图2－22所示，已知正垂线AB的点A的投影，直线AB长度为10毫米，试作直线AB的三面投影（只需一解）。

图2－22作正垂线AB

3、一般位置直线

与三个投影面都处于倾斜位置的直线称为一般位置直线。

举例：

如图2－23（a）所示，直线AB与H、V、W面都处于倾斜位置，倾角分别为α、β、γ。

其投影如图2－23（b）所示。

一般位置直线的投影特征可归纳为：

（1）直线的三个投影和投影轴都倾斜，各投影和投影轴所夹的角度不等于空间线段对相应投影面的倾角；

（2）任何投影都小于空间线段的实长，也不能积聚为一点。

图2－24直角三角形法的原理

对于一般位置直线的辨认：

直线的投影如果与三个投影轴都倾斜，则可判定该直线为一般位置直线。

（四）一般位置直线的实长和对投影面的倾角

1、直角三角形法的作图原理

如图2－24所示，AB为一般位置直线，过端点A作直线平行其水平投影ab并交Bb于C，得直角三角形ABC。

在直角三角形ABC中，斜边AB就是线段本身，底边AC等于线段AB的水平投影ab，对边BC等于线段AB的两端点到H面的距离差（Z坐标差），也即等于a′b′两端点到投影轴OX的距离差，而AB与底边AC的夹角即为线段AB对H面的倾角α。

2、直角三角形法的作图方法和步骤

根据上述分析，只要用一般位置直线在某一投影面上的投影作为直角三角形的底边，用直线的两端点到该投影面的距离差为另一直角边，作出一直角三角形。

此直角三角形的斜边就是空间线段的真实长度，而斜边与底边的夹角就是空间线段对该投影面的倾角。

这就是直角三角形法。

作图方法与步骤如图2－25所示，用线段的任一投影为底边均可用直角三角形法求出空间线段的实长，其长度是相同的，但所得倾角不同。

图2－25直角三角形法

在直角三角形法中，直角三角形包含四个因素：

投影长、坐标差、实长、倾角。

只要知道两个因素，就可以将其余两个求出来。

3、讲解例题（例2－5）如图2－26（a）所示，已知直线AB的实长L=15mm，及直线AB的水平投影ab和点A的正面投影a′，试用直角三角形法求出直线AB的正面投影a′b′。

图2—26直角三角形法应用示例

1、三种位置直线（包括七种类型）的投影特性。

尤其注意：

实长和倾角的判断。

2、用直角三角形法求一般位置直线的实长及其对各投影面倾角的方法和步骤。

§

上次课我们学习了三种位置直线的投影特性，本次课我们继续学习空间直线的其他投影特性。

（一）直线上点的投影

1、直线上点的投影

点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上，反之，若一个点的各个投影都在直线的同面投影上，则该点必定在直线上。

如图2－27所示直线AB上有一点C，则C点的三面投影c、c′、c″必定分别在该直线AB的同面投影ab、a′b′、a″b″上。

图2－27直线上点的投影

2、直线投影的定比性

直线上的点分割线段之比等于其投影之比，这称为直线投影的定比性。

在图2－27中，点C在线段AB上，它把线段AB分成AC和CB两段。

根据直线投影的定比性，AC：

CB=ac：

cb=a′c′：

c′b′=a″c″：

c″b″。

3、讲解例题（例2－6）如图2－28（a），已知侧平线AB的两投影和直线上K点的正面投影k′，求K点的水平投影k。

（a）题目（b）解法1（c）解法2

图2—28求直线上点的投影

（二）两直线的相对位置

两直线的相对位置有平行、相交、交叉三种情况。

1、两直线平行

（1）特性

若空间两直线平行，则它们的各同面投影必定互相平行。

如图2－29所示，由于AB∥CD，则必定ab∥cd、a′b′∥c′d′、a″b″∥c″d″。

反之，若两直线的各同面投影互相平行，则此两直线在空间也必定互相平行。

图2－29两直线平行

（2）判定两直线是否平行

图2－30判断两直线是否平行

1）如果两直线处于一般位置时，则只需观察两直线中的任何两组同面投影是否互相平行即可判定。

2）当两平行直线平行于某一投影面时，则需观察两直线在所平行的那个投影面上的投影是否互相平行才能确定。

如图2－30所示，两直线AB、CD均为侧平线，虽然ab∥cd、a′b′∥c′d′，但不能断言两直线平行，还必需求作两直线的侧面投影进行判定，由于图中所示两直线的侧面投影a″b″与c″d″相交，所以可判定直线AB、CD不平行。

2、两直线相交

若空间两直线相交，则它们的各同面投影必定相交，且交点符合点的投影规律。

如图2－31所示，两直线AB、CD相交于K点，因为K点是两直线的共有点，则此两直线的各组同面投影的交点k、k′、k″必定是空间交点K的投影。

反之，若两直线的各同面投影相交，且各组同面投影的交点符合点的投影规律，则此两直线在空间也必定相交。

图2－31两直线相交

（2）判定两直线是否相交

1）如果两直线均为一般位置线时，则只需观察两直线中的任何两组同面投影是否相交且交点是否符合点的投影规律即可判定。

2）当两直线中有一条直线为投影面平行线时，则需观察两直线在该投影面上的投影是否相交且交点是否符合点的投影规律才能确定；

或者根据直线投影的定比性进行判断。

如图2－32所示，两直线AB、CD两组同面投影ab与cd、a′b′与c′d′虽然

相交，但经过分析判断，可判定两直线在空间不相交。

图2－32两直线在空间不相交

3、两直线交叉

两直线既不平行又不相交，称为交叉两直线。

若空间两直线交叉，则它们的各组同面投影必不同时平行，或者它们的各同面投影虽然相交，但其交点不符合点的投影规律。

反之亦然。

如图2－33（a）所示。

（2）判定空间交叉两直线的相对位置

空间交叉两直线的投影的交点，实际上是空间两点的投影重合点。

利用重影点和可见性，可以很方便地判别两直线在空间的位置。

在图2－33（b）中，判断AB和CD的正面重影点

k′（l′）的可见性时，由于K、L两点的水平投影k比l的y坐标值大，所以当从前往后看时，点K可见，点L不可见，由此可判定AB在CD的前方。

同理，从上往下看时，点M可见，点N不可见，可判定CD在AB的上方。

图2－33两直线交叉

（三）直角投影定理

1、概念

空间垂直相交的两直线，若其中的一直线平行于某投影面时，则在该投影面的投影仍为直角。

反之，若相交两直线在某投影面上的投影为直角，且其中有一直线平行于该投影面时，则该两直线在空间必互相垂直。

这就是直角投影定理。

如图2－34所示。

已知AB⊥BC，且AB为正平线，所以ab必垂直于bc。

（a）　　　　　　　　（b）

图2－34垂直相交的两直线的投影

2、讲解例题

（目的是帮助学生理解掌握利用直角投影定理图解空间几何问题的解题思路和解题方法）

（1）例2－7求点A到直线BC的距离，如图2－35（a）

（a）题目（b）解法

图2－35求点到直线的距离

（2）例2－8如图2－36（a）所示，已知菱形ABCD的一条对角线AC为一正平线，菱形的一边AB位于直线AM上，求该菱形的投影图。

图2－36求菱形的投影图

1、平行两直线的投影特性和判别方法。

2、相交两直线的投影特性和判别方法。

3、交叉两直线的投影特性。

4、直角投影定理的应用

2—5平面的投影

1、复习两直线各种相对位置（平行、相交、交叉）的投影特性和判别方法。

2、结合作业讲解直角投影定理的应用。

平面图形具有一定的形状、大小和位置，常见的有三角形、矩形、正多边形等直线轮廓的平面形。

另外，还有一些由直线或曲线围成的平面形。

平面投影的实质，就是求平面形轮廓上的一系列的点的投影（对于多边形而言则是其顶点），然后将各点的同面投影依次连线。

（一）平面的表示法

在投影图上表示平面有两种方法。

1、一组几何元素的投影表示平面

（1）不在同一直线上的三点，如图2－37（a）

（2）一直线和直线外一点，如图2－37（b）

（3）相交两直线，如图2－37（c）

（4）平行两直线，如图2－37（d）

（5）任意平面图形，如三角形、四边形、圆形等，如图2－37（e）

（a）（b）（c）（d）（e）

图2－37用几何元素表示平面

注意：

为了解题的方便，常常用一个平面图形（如三角形）表示平面。

2、迹线表示法

迹线——空间平面与投影面的交线，如图2－38（a）所示。

平面P与H面的交线称为水平迹线，用PH表示；

平面P与V面的交线称为正面迹线，用PV表示；

平面P与W面的交线称为侧面迹线，用PW表示。

PH、PV、PW两两相交的交点Px、PY、PZ称为迹线集合点，它们分别位于OX、OY、OZ轴上。

由于迹线既是平面内的直线，又是投影面内的直线，所以迹线的一个投影与其本身重合，另两个投影与相应的投影轴重合。

在用迹线表示平面时，为了简明起见，只画出并标注与迹线本身重合的投影，而省略与投影轴重合的迹线投影，如图2－38（b）所示。

图2－38用迹线表示平面

（二）平面对于一个投影面的投影特性

空间平面相对于一个投影面的位置有平行、垂直、倾斜三种，三种位置有不同的投影特性。

1、真实性当平面与投影面平行时，则平面的投影为实形，如图2－39（a）所示。

2、积聚性当平面与投影面垂直时，则平面的投影积聚成一条直线，如图2－39（b）所示。

3、类似性当直线或平面与投影面倾斜时，则平面的投影是小于平面实形的类似形，如图2－39（c）所示。

图2－39平面的投影特性

（三）各种位置平面的投影特性

根据平面在三投影面体系中的位置可分为投影面倾斜面、投影面平行面、投影面垂直面三类。

前一类平面称为一般位置平面，后两类平面称为特殊位置平面。

1、投影面垂直面

垂直于一个投影面且同时倾斜于另外两个投影面的平面称为投影面垂直面。

垂直于V面的称为正垂面；

垂直于H面的称为铅垂面；

垂直于W面的称为侧垂面。

平面与投影面所夹的角度称为平面对投影面的倾角。

α、β、γ分别表示平面对H面、V面、W面的倾角。

铅垂面的投影特性

（1）两个投影均为类似形；

（2）一个投影积聚为直线，并反映β、γ角。

两面一线。

要求学生必须掌握表2－3中的图例。

对于投影面垂直面的辨认：

如果空间平面在某一投影面上的投影积聚为一条与投影轴倾斜的直线，则此平面垂直于该投影面。

讲解例题（例2－9）如图2－39（a）所示，四边形ABCD垂直于V面，已知H面的投影abcd及B点的V面投影b′，且于H面的倾角α=45°

，求作该平面的V面和W面投影。

图2－40求作四边形平面ABCD的投影

2、投影面平行面

平行于一个投影面且同时垂直于另外两个投影面的平面称为投影面平行面。

平行于V面的称为正平面；

平行于H面的称为水平面；

平行于W面的称为侧平面；

正平面的投影特性

（1）两个投影积聚为直线；

（2）一个投影反映实形。

两线一面。

要求学生必须掌握表2－4中的图例。

3、一般位置平面

与三个投影面都处于倾斜位置的平面称为一般位置平面。

例如平面△ABC与H、V、W面都处于倾斜位置，倾角分别为α、β、γ。

其投影如图2－41所示。

一般位置平面的投影特征可归纳为：

一般位置平面的三面投影，既不反映实形，也无积聚性，而都为类似形。

图2－41一般位置平面

对于一般位置平面的辨认：

如果平面的三面投影都是类似的几何图形的投影，则可判定该平面一定是一般位置平面。

1、平面的两种表示法。

2、三种位置平面（包括七种类型）的投影特性，尤其注意：

有无实形的判断。

1、平面的两种表示法：

几何元素法和迹线表示法。

2、三种位置平面（包括七种类型）的投影特性。

上次课我们学习了三种位置直线的投影特性，本次课我们继续学习在平面上取点、取直线的作图问题。

（一）平面上的直线和点

1、平面上的点

点在平面上的几何条件是：

点在平面内的一直线上，则该点必在平面上。

因此在平面上取点，必须先在平面上取一直线，然后再在该直线上取点。

这是在平面的投影图上确定点所在位置的依据。

如图2－42所示，相交两直线AB、AC确定一平面P，点S取自直线AB，所以点S必在平面P上。

图2－42平面上的点

2、平面上的直线

直线在平面上的几何条件是：

（1）若一直线通过平面上的两个点，则此直线必定在该平面上。

（2）若一直线通过平面上的一点并平行于平面上的另一直线，则此直线必定在该平面上。

举例之一：

如图