高考数学理必刷试题+参考答案+评分标准 8Word下载.docx

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13.已知向量=（x，x-2），=（3，4），若，则向量的模为______．

14.已知α，β均为锐角且tanα=7，，则α+β=______．

15.设D为△ABC所在平面内一点，=-+，若=λ（λ∈R），则λ=______．

16.已知函数，g（x）=mx+1，若f（x）与g（x）的图象上存在关于直线y=1对称的点，则实数m的取值范围是______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2=4，S5=25．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）记bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．

18.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．

（1）求∠B的值；

（2）若a=4，，求△ABC的面积．

19.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，SB=SD．

（1）证明：

BD⊥SA；

（2）若面SBD⊥面ABCD，SB⊥SD，∠BAD=60°

，AB=1，求B到平面SAD的距离．

20.已知函数f（x）=ax-sinx-1，x∈[0，π]．

（1）若，求f（x）的最大值；

（2）当时，求证：

f（x）+cosx≤0．

21.已知抛物线C1的方程为x2=2y，其焦点为F，AB为过焦点F的抛物线C1的弦，过A，B分别作抛物线的切线l1，l2，设l1，l2相交于点P．

（1）求的值；

（2）如果圆C2的方程为x2+y2=8，且点P在圆C2内部，设直线AB与C2相交于C，D两点，求|AB|•|CD|的最小值．

22.

在极坐标系中，已知两点O（0，0），B（2，）．

（1）求以OB为直径的圆C的极坐标方程，然后化成直角方程；

（2）以极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．若直线l与圆C相交于M，N两点，圆C的圆心为C，求△MNC的面积．

23.已知函数f（x）=|x+1|-m|x-2|（m∈R）．

（1）当m=3时，求不等式f（x）＞1的解集；

（2）当x∈[-1，2]时，不等式f（x）＜2x+1恒成立，求m的取值范围．

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：

∵A={-3，1}，B={-3，-1，1，3}，

∴A∩B={-3，1}．

故选：

A．

可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．

本题考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算，属于基础题．

2.【答案】C

===i，

C．

将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用复数的乘法法则进行化简．

本题考查两个复数相除的方法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．

3.【答案】A

由log2（x+1）＜1得0＜x+1＜2，解得-1＜x＜1，

则“0＜x＜1”是“log2（x+1）＜1”的充分不必要条件，

根据不等式之间的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键．

4.【答案】A

因为tana==，

所以cosa=2sina，

所以cos2a=4sin2a，

因为sin2a+cos2a=1，

所以sin2a=，

因为α∈（π，），

所以sina＜0

sina=-．

利用同角三角函数关系解答．

本题主要考察了同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查．

5.【答案】C

由|+|=||，得，

由（-）•=0，得，

两式联立得，

所以===，

又∈[0°

，180°

]，

所以=60°

，

把|+|=||平方展开，又（-）•=0，联立解出，再利用向量的夹角公式，求出角．

考查了向量数量积的运算，向量的夹角公式，联立解方程组，中档题．

6.【答案】D

将函数f（x）=cos（3x+）图象上所有的点向右平移个单位长度后，

得到函数g（x）=cos[3（x-）+]=cos（3x-）的图象，

则=cos（3×

-）=cos=-．

D．

利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用特殊角的三角函数值求解即可．

本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数求值，属于基础题．

7.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查等差数列和等比数列的中项性质和特殊角的正切函数值，考查运算能力，属于基础题．

​由等差数列和等比数列的中项性质，以及特殊角的正切函数值，可得所求值．

【解答】

解：

数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，

若，b1+b6+b11=7π，

可得（a6）3=3，3b6=7π，

即有a6=，b6=π，

则=tan

​=tan=tan=​，

故选D．

8.【答案】C

由题意可得x=log2（2+x），x＞0，∴2x=x+2，解得x=2．

通过类比推理的方法，得到求值的方法：

列方程，求解即可．

类比推理方法的前提是两种对象部分有共同属性，由特殊点向特殊点推理．通过类比推理考核研究问题的深度、思维发散情况和观察的仔细程度．属于中档题．

9.【答案】C

依题意，设A表示“从中任选2名学生去参加活动，恰好选中2名女生”，

则事件A包含的基本事件个数为=3种，

而基本事件的总数为=10，

所以P（A）=，

根据计数原理以及排列组合求出“恰好选中2名女生”包含的基本事件个数和基本事件的总数，即可得到所求．

本题考查了古典概型的概率，考查了计数原理和排列组合．考查分析解决问题的能力，属于基础题．

10.【答案】B

​本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，属于中档题．

先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、C两个选项，再看此函数与直线y=x的交点情况，即可作出正确的判断．

​解：

由于f（x）=x+cosx，

∴f（-x）=-x+cosx，

∴f（-x）≠f（x），且f（-x）≠-f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A、C；

又当x=时，x+cosx=x，

即f（x）的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为，排除D．

B．

11.【答案】D

△ABC中，A（-5，0），B（5，0），点C在双曲线上，

∴A与B为双曲线的两焦点，

根据双曲线的定义得：

|AC-BC|=2a=8，|AB|=2c=10，

则==±

=±

．

根据题意，求出△ABC的三边关系，再利用正弦定理化简，求出它的值即可．

本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了双曲线的定义与简单性质的应用问题，是基础题目．

12.【答案】B

本题考查了利用导数求函数的极值，研究函数的零点问题，利用导数研究函数的单调性，是难题．

利用函数的导数，判断函数的单调性，对四个选项分别进行判断，即可得出结论

对于①，∵f（x）=ex-ax，

∴f'

（x）=ex-a，令f'

（x）=ex-a＞0，

当a≤0时，f'

（x）=ex-a＞0在x∈R上恒成立，

∴f（x）在R上单调递增．

当a＞0时，∵f'

（x）=ex-a＞0，∴ex-a＞0，解得x＞lna，

∴f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．

∵函数f（x）=ex-ax有两个零点x1、x2，

∴a＞0，f（lna）＜0，

∴elna-alna＜0，

∴a＞e，所以①正确；

对于②，x1+x2=ln（a2x1x2）=2lna+ln（x1x2）＞2+ln（x1x2），

取a=，f

（2）=e2-2a=0，∴x2=2，f（0）=1＞0，∴0＜x1＜1，∴x1+x2＞2，所以②正确；

对于③，f（0）=1＞0，∴0＜x1＜1，x1x2＞1不一定，∴所以③不正确；

对于④，f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增，∴有极小值点x0=lna，且x1+x2＜2x0=2lna，所以④正确．

综上，正确的命题序号是①②④．

故选B．

13.【答案】10

∵∥，∴4x-3（x-2）=0，解得x=-6，

∴=（-6，-8），∴||==10

故答案为：

10

根据向量平行的坐标表示得到x=-6，然后根据向量模的定义求出向量的模，

本题考查了向量的概念与向量的模，属基础题．

14.【答案】

∵tanα=7，，

∴tan（α+β）===-1．

又0＜α＜，0＜β＜，

∴0＜α+β＜π，则α+β=．

由已知结合两角和的正切求得tan（α+β），再由角的范围求解α+β的值．

本题考查两角和的正切，考查由已知三角函数值求角，是基础题．

15.【答案】-3

D为△ABC所在平面内一点，=-+，

则：

整理得：

解得：

若=λ，

λ=-3；

-3．

直接利用向量的线性运算求出结果．

本题考查的知识要点：

向量的线性运算及相关的恒等变换问题．

16.【答案】[-，3e]

【解析】

g（x）=mx+1关于直线y=1对称的直线为y=h（x）=1-mx，

∴直线y=1-mx与y=2lnx在[，e2]上有交点．

作出y=1-mx与y=2lnx的函数图象，

如图所示：

若直线y=1-mx经过点（，-2），

则m=3e，

若直线y=1-mx与y=2lnx相切，

设切点为（x，y）．

则，解得．

∴-≤m≤3e．

[-，3e]．

求出g（x）关于直线y=1的对称函数h（x），令f（x）与h（x）的图象有交点得出m的范围．

本题考查了函数的对称问题解法，注意运用转化思想，以及零点与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．

17.【答案】解：

（1）设首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2=4，S5=25．

，解得，

所以an=1+2（n-1）=2n-1．

（2）由于an=2n-1，

所以bn===．

则==．

（1）直接利用等差数列的定义求出数列的通项公式．

（2）利用数列的通项公式的求法及应用，进一步利用裂项相消法求出数列的和．

数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

18.【答案】解：

（1）法一：

由正弦定理得，

∵，

∴sinBcosC+cosBsinC-sinC=sinBcosC，

∴；

∵sinC≠0，∴，

∵B∈（0，π），∴.

（1）法二：

由余弦定理得

化简得，

∴.

（2）由，得sinC==,

在△ABC中，

∵ 

由正弦定理，

得，

.

【解析】本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理余弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力．

（1）结合正弦定理或余弦定理进行化简，进行求解即可．

（2）求出sinC的值，结合正弦定理以及三角形的面积公式进行计算即可．

19.【答案】

（本小题满分12分）

证明：

（1）连接AC交BD于O，连接SO．…………（1分）

在菱形ABCD中，BD⊥AC，O是BD的中点，

又因为SB=SD，所以BD⊥SO，又AC∩SO=O，

所以BD⊥面SAC…………（4分）

又SA⊂面SAC，所以BD⊥SA．…………（5分）

（2）因为面SBD⊥面ABCD，面SBD∩面ABCD=BD，SO⊥BD，SO⊂面SBD，

所以SO⊥面ABCD，即SO是三棱锥S-ABD的高．…………（7分）

依题意可得，△ABD是等边三角形，所以BD=AD=1，，

在等腰Rt△SBD，，

…………（9分）

经计算得，SA=1，

等腰三角形ASD的面积为…………（10分）

设B到平面SAD的距离为h，

则由VB-SAD=VS-ABD，得，解得，

所以B到平面SAD的距离为．…………（12分）

（1）连接AC交BD于O，连接SO，推导出BD⊥SO，BD⊥面SAC，由此能证明BD⊥SA．

（2）推导出SO是三棱锥S-ABD的高，设B到平面SAD的距离为h，由VB-SAD=VS-ABD，由此能求出B到平面SAD的距离．

本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．

20.【答案】

（1）解：

当时，，

由f′（x）=0，得，∴时，f′（x）＜0；

时，f′（x）＞0，

因此f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为，

∴f（x）的最大值为=；

（2）证明：

先证，

令，

则=，

由，x∈[0，π]与的图象易知，存在x0∈[0，π]，使得g'

（x0）=0，

故x∈（0，x0）时，g'

（x）＜0；

x∈（x0，π）时，g'

（x）＞0，

∴g（x）的单调递减区间为（0，x0），单调递增区间为（x0，π），

∴g（x）的最大值为max{g（0），g（π）}，

而g（0）=0，g（π）=0．

又由，x≥0，∴，

当且仅当，取“=”成立，

即f（x）+cosx≤0．

【解析】本题考查利用导数求函数的最值，考查函数恒等式的证明，考查数学转化思想方法，属难题．

（1）当时，，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在不同区间段内的符号确定函数单调性，求得函数极值点，进一步求得函数最值；

（2）利用导数证明，再由且x≥0时，，可得当时，f（x）+cosx≤0．

21.【答案】解：

（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），

因为，

所以设AB的方程为，

代入抛物线方程得x2-2kx-1=0，所以x1，x2为方程的解，从而x1+x2=2k，x1x2=-1，

又因为，，

因此kPA•kPB=x1x2=-1，即PA⊥PB，

所以．

（2）由

（1）知x1x2=-1，联立C1在点A，B处的切线方程分别为，，

得到交点．

由点P在圆x2+y2=8内得，

又因为，

，其中d为O到直线AB的距离．

又AB的方程为，

所以d=，

令，由得m＜33．又由，所以m∈[2，33），

从而．

所以，当m=2时，．

（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），设AB的方程为，代入抛物线方程得x2-2kx-1=0，所以x1，x2为方程的解，从而x1x2=-1，利用函数的导数求解切线的斜率，然后求解．

得到交点．判断点P在圆内，求出弦长AB，求出O到直线AB的距离的表达式d=，

利用构造法结合基本不等式求解最小值即可．

本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．

22.【答案】解：

（1）设P（ρ，θ）为圆上任意一点，则|OP|=ρ，∠POB=θ-，

在Rt△POB中，cos（θ-）=，即，

∴ρ2=2ρ 

cosθ+2ρ 

sinθ⋅，化为x2+y2=2x+2y，

∴圆C的直角坐标方程为 

（x-1）2+（y-1）2=2．

（2）由直线l的参数方程消去参数t化为普通方程y=2x+1，

圆心C（1，1）到直线l的距离为d==，

弦长|MN|=2=，

∴S==．

（1）设出点P的坐标，利用Rt△OPB中的边角关系即可求出；

（2）求出圆心到直线的距离和弦长即可得出面积．

熟练掌握求圆的极坐标方程及与直角坐标方程的互化、直线与圆的相交弦长问题及点到直线的距离是解题的关键．

23.【答案】解：

（1）当m=3时，f（x）=|x+1|-3|x-2|，

由f（x）＞1，

得或或，

＜x≤2或2＜x＜3，

故不等式的解集是（，3）；

（2）当x∈[-1，2]时，f（x）=x+1-m（2-x），

f（x）＜2x+1恒成立，

即x+1-m（2-x）＜2x+1恒成立，

（2-x）m＞-x，

当x=2时，0＞-2成立，

当x∈[-1，2]时，m＞=1-，

令g（x）=1-，

∵-1≤x＜2，

∴0＜2-x≤3，

∴≥，

∴1-≤，

故g（x）max=，

故m＞．

（1）代入m的值，得到关于x的不等式组，解出即可；

（2）问题转化为x+1-m（2-x）＜2x+1恒成立，当x∈[-1，2]时，m＞=1-，令g（x）=1-，求出g（x）的最大值，求出m的范围即可．

本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道常规题．