运筹学习题Word格式.docx
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16
4
[4]
检验数
3
[1]
-1/2
1/4
-3/4
-4
[2]
-2
1/2
-1/8
-1
即原问题的最优解为（x1，x2，x3，x4，x5）=（4，2，0，0，0），
对偶问题的最优解应对应于原问题松弛变量x3，x4，x5的检验数，所以为：
（y1，y2，y3）=（2，0，0）。
此时y2=0，y3=0，其对应原问题最优解x1=4，
x2=2，下的后两种资源已全部用完并无剩余。
（16）结论是错误的，现举例如下：
对于上述问题，最优解为x1=4，x2=2，第一种资源即机器台时的影子价格为y1=2>
0，现在我们增加5个机器台时，则上述问题变成：
我们仍然利用单纯形算法求解此问题得如下表：
13
9
5
-1/4
即原问题的最优解为（x1，x2，x3，x4，x5）=（4，2，5，0，0），最优目标函数值仍然为Z=2×
4+3×
3=14≠14+y1×
5=14+2×
5=24。
（20）运输问题是一种特殊的线性规划模型,因而求解结果也可能出现下列情况之一：
有唯一最优解、有无穷多最优解、无界解和无可行解；
（×
）
（21）在运输问题中，只要给出一组含（m+n–1）个非负的{xij}，且满足
，
，就可以作为一个初始基可行解；
（22）表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法；
（√）
（23）按最小元素法（或伏格尔法）给出的初始基可行解，从每一空格出发可以找出而且仅能找出唯一的闭回路；
（24）如果运输问题的单位运价表的某一行（或某一列）元素分别乘上一个常数k，最优调运方案将不会发生变化；
（25）如果运输问题的单位运价表的某一行（或某一列）元素分别加上一个常数k，最优调运方案将不会发生变化；
（26）当所有产地产量和销地的销量均为整数时，用表上作业法求得的运输问题的最优解也为整数解。
二应用题：
2.1已知某工厂计划生产I、II、III三种产品，各产品需要在A、B、C三种设备上加工，各有关数据见如下表，试回答：
（1）如何充分发挥设备能力，使生产盈利最大？
（2）若为了增加产量，可借用别的工厂的设备B，每月可借用60台时，租金为1.8万元，问借用设备B是否合算？
（3）若另有两种新产品IV、V，其中IV需用设备A—12台时，B—5台时，C—10台时,单位产品盈利2.1千元；
V需用设备A—4台时，B—4台时，C—12台时,单位产品盈利1.87千元。
如果A、B、C三种设备台时不增加，分别回答这两种新产品投产在经济上是否合算？
（4）若对产品工艺重新进行设计和结构改造，而改进后生产每件产品I需用设备A—9台时，设备B—12台时，设备C—4台时,单位产品盈利4.5千元，问这对原计划有何影响？
I
II
III
设备有效台时（每月）
A
10
300
B
400
C
420
单位产品利润（千元）
2.9
解：
设每月生产产品I、II、III的数量分别为x1、x2、x3。
依题意，本问题的线性规划模型为：
（1）利用单纯形法求解如下：
x6
[8]
37.5
0.25
1.25
0.125
25
[2.5]
-4.5
-1.25
345
12.5
7.5
-0.25
-0.85
-0.375
35
1.7
-0.1
-1.8
-0.5
0.4
220
[30]
6
-5
1.4
338/15
-9/100
11/60
-17/300
116/5
-7/50
1/10
3/50
22/3
1/5
-1/6
1/30
-3/100
-4/15
-7/150
即原问题的最优解为（x1，x2，x3，x4，x5）=（338/15，116/5，22/3，0，0）。
目标函数的最优值为：
Z=3×
338/15+2×
116/5+2.9×
22/3=135.27（千元）。
对偶问题的最优解应对应于原问题松弛变量x4，x5，x6的检验数，所以为：
（y1，y2，y3）=（3/100，4/15，7/150）。
（2）
503/15
146/5
-8/3
[-1/6]
153/5
11/10
13/100
-1/50
138/5
3/5
2/25
-6
-6/5
-1/5
-8/5
-7/20
-1/10
这时的最优解为：
（x1，x2，x3，x4，x5）=（153/5，138/5，0，0，16）。
153/5+2×
138/5=147，147-18=129<
135.27（千元）；
故这时借用设备B不合算。
（3）假设新增两种新产品IV、V，他们的数量分别为x4/，x5/，它们的技术向量为：
，增加第IV种新产品的生产不会使总利润增加，因此，在经济上是不合算的；
又
，在原问题最优单纯形表中增加一列得下表：
x5/
-23/75
14/25
[8/15]
37/300
107/4
23/40
1/40
7/80
-3/80
31/2
-21/20
-119/
160
11/40
1.87
55/4
15/8
3/8
-5/16
1/16
-37/
-61/
800
-73/
320
-87/
1600
（x1，x2，x3，x4，x5，x6，x5/）=（107/4，31/2，0，0，0，0，55/4）。
107/4+2×
31/2+1.87×
55/4=136.96>
135.27（千元）。
此时，增加第V种产品的生产在经济上是合算的。
（4）
假设工艺重新进行设计和结构改造后产品I的产量为x1/，计算：
，所以在原问题最优单纯形表中增加一列得下表：
x1/
[349/300]
9/50
-1/15
253/300
4.5
6760/
349
-27/349
55/349
-17/349
6880/
-44/349
25/349
24/349
3010/
[68/349]
-109/
698
21/698
123/
3490
-2789/
6980
-39/
775/34
27/68
0.22
0.037
430/17
22/34
-1/34
3/34
1505/
34
349/68
136
21/136
-123/
680
-101/
272
-0.015
（x1/，x2，x3，x4，x5，x6）=（775/34，430/17，0，0，0，0）。
Z=4.5×
775/34+2×
430/17=153.16>
改进结构后，只生产产品I、II，盈利更多。
2.2．一贸易公司专门经营某种杂粮的批发业务。
公司线有库容为5000担的仓库。
一月一日，公司拥有库存1000担杂粮，并有资金20000元。
估计第一季度杂粮价格如表—1所示：
表—1
进货价格（元）
出货价格（元）
一月
2.85
3.10
二月
3.05
3.25
三月
2.90
2.95
如买进的杂粮当月到货，但需要到下月才能卖出，且规定“货到付款”。
公司希望本季末库存为2000担，问应采取什么样的买进与卖出的策略使三个月总的获利最大？
（列出求解的线性规划模型，不用求解）
提示：
三个存货限制，三个库容限制，三个资金限制，一个期末库存限制。
2.3某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。
农场劳动力情况为秋冬季节3500人日，春夏季节4000人日，如劳动力本身用不了时可外出打工，春夏季收入为2.1元/人日，秋冬季收入为1.8元/人日。
该农场种植三种作物：
大豆、玉米、小麦，并饲养奶牛和鸡。
种作物时不需要专门投资，而饲养动物时每头奶牛投资400元，每只鸡投资3元。
养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲草，并占用人工秋冬季为100人日，春夏季为50人日，年净收入400元/每头奶牛。
养鸡时不占用土地，需人工为每只鸡秋冬季需0.6人日，春夏季为0.3人日，年净收入为2元/每只鸡。
农场现有鸡舍允许最多养3000只鸡。
牛栏允许最多养32头奶牛。
三种农作物每年需要的人工及收入情况如表—2所示。
表—2
大豆
玉米
小麦
秋冬季需人日数
20
春夏季需人日数
50
75
40
年净收入（元/公顷）
175
120
试决定该农场的经营方案，使年净收入为最大。
（建立线性规划模型，不求解）
提示：
1个土地限制、1个资金限制、2个劳动力限制、1个牛栏限制、1个鸡舍限制
2.4市场对I、II两种产品的需求量为：
产品I在1——4月每月需10000件，5——9月每月
需30000件，10——12月每月需100000件；
产品II在3——9月每月需15000件，其它月份每月需50000件。
某厂生产这两种产品成本为：
产品I在1——5月生产每件5元，6——12月生产每件4.50元；
产品II在1——5月生产每件8元，6——12月生产每件7元。
该厂每月生产两种产品能力总和应不超过120000件。
产品I容积每件0.2立方米，产品II容积每件0.4立方米，而该厂仓库容积为15000立方米，要求：
（a）说明上述问题无可行解；
（b）若该厂仓库不足时，可从外厂借。
若占用本厂每月每平方米库容需1元，而租用外厂仓库时上述费用增加为1.5元，试问在满足市场需求情况下，该厂应如何安排生产，使总的生产加库存费用为最少。
（建立模型，不需求解）
2.5对某厂I、II、III三种产品下一年各季度的合同预订数如表——3所示。
表—3
产品
季度
1500
1000
2000
1200
2500
该三种产品1季度初无库存，要求在4季度末各库存150件。
已知该厂每季度生产工时为15000小时，生产I、II、III产品每件分别需要2、4、3小时。
因更换工艺装备，产品I在2季度无法生产。
规定当产品不能按期交货时，产品I、II每件每迟交一个季度赔偿20元，产品III赔10元；
又生产出来产品不在本季度交货的，每件每季度的库存费用为5元。
问该厂应如何安排生产，使总的赔偿加库存的费用为最小。
（要求建立模型，不需要求解）
设xij为第j季度生产的产品i的数量，sij代表j季度需库存的产品i的数量，fij为第j季度末交货的产品i的数量，rij为第j季度对产品i的预订数，则有：
2.6厂生产I、II两种食品，现有50名熟练工人，已知一名熟练工人每小时可生产10千克食品I或6千克食品II。
据合同预订，该两种食品每周的需求量急剧上升，见表——4。
为此该厂决定到第8周末需培训出50名新的工人，两班生产。
已知一名工人每周工`作40小时，一名熟练工人用两周时间可培训出不多于三名新工人（培训期间熟练工人和培训人员均不参加生产）。
熟练工人每周工资360元，新工人培训期间每周工资120元，培训结束参加工作后每周工资240元，生产效率同熟练工人。
在培训的过度期间，很多熟练工人愿意加班工作，工厂决定安排部分工人每周工作60小时，工资每周540元。
又若预订的食品不能按期交货，每推迟交货一周的赔偿费为食品I——0.5元/千克，食品II——0.6元/千克。
在上述各种条件下，工厂应如何作出全面安排，使各项费用的总和为最小。
（建立模型，无需求解）
表—4单位：
吨/周
周次
食品
7
12
7.2
8.4
10.8
设xi，yi分别为第i周用于生产食品Ⅰ和Ⅱ的工人数；
zi为第i周加班工作的工人数；
wi为从i周开始抽出来培训新工人的原来工人数；
ni为从i周起开始接受培训的新工人数；
fi1和fi2分别为第i周末未能按期交货的食品Ⅰ和Ⅱ的数量；
ri1和ri2分别为第i周对食品Ⅰ和Ⅱ的需求量，则有：
2.8如表所示的运输问题中，若产地i有一个单位物资未运出，则将发生存储费用。
假定1、2、3产地单位物资的存储费用分别为5、4和3。
又假定产地2的物资至少运出38个单位，产地3的物资至少运出27个单位，试求解此运输问题的最优解。
销地
产地
产量
30
销量
增加假想地D，销量为20。
将产地分别列为1，2，2'
，3'
，其中2'
的物资必须全部运出，不可以分给D，，如下图，再用表上作业法求出最优解。
D
2'
1
M
38
3'
27
2.8已知A1，A2，A3三个矿区可分别供应煤炭200，300，400（万吨/年）。
下述地区需调入煤炭：
B1：
100——200万吨/年，B2：
200——300万吨/年，B3：
为不低于200万吨/年，最高不限，B4：
180——300万吨/年，已知单位运价表如表——6所示。
如要求把所有煤炭分配出去，满足上述需求，又使总运费为最少的调运方案，试列出用运输问题模型求解时的产销平衡表及单位运价表（不必求解）。
表—6
B1
B2
B3
B4
A1
A2
A3
17
2.9用匈牙利算法求解下述指派问题，已知效率矩阵分别如下：
（a）
（b）
（a）最优指派方案为X13=X22=X34=X41=1,最优值为48.
（b）最优指派方案为X15=X23=X32=X44=X51=1,最优值为21.
2.10分配甲、乙、丙、丁四个人去完成五项任务。
每人完成任务的时间如表——7所示。
由于任务数多于人数，故规定其中有一人可兼完成两项任务，其余三人每人完成一项。
试确定总花费时间为最少的指派方案。
表—7
任务
人
E
甲
29
31
42
37
乙
39
26
33
丙
28
32
丁
24
36
23
45
加上假设的第五个人是戊，她完成各项工作的时间取甲乙丙丁中最小者，如下表
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