排列和组合计算公式Word下载.docx

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公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。

N-元素的总个数

R参与选择的元素个数

!

-阶乘，如9!

=9*8*7*6*5*4*3*2*1

从N倒数r•个,表达式应该为n*（n-l）*（n~2）..（n-r+1）;

因为从n到（nr+1）个数为n—

（n-r+1）=r

举例：

QI：

有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？

A1:

123和213是两个不同的排列数。

即对排列顺序有要求的，

既属于“排列A”计算范畴。

以上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现98&

997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该

有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7

个三位数。

计算公式=A（3,9）=9*8*7,（从9倒数3个的乘积）

Q2:

有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？

A2:

213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在

一起即可。

即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。

上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数

即为最终组合数C（3,9）二9*8*7/3*2*1

排列、组合的概念和公式典型例题分析

例1设有3名学生和4个课外小组.

（1）每名学生都只参加一个课外小组；

（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加.各有多少种不同方法？

解

（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法.

（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法.

点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘

法原理进行计算.

例2排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？

解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：

・・・符合题意的不同排法共有9种.

点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理.为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型.

例3判断下列问题是排列问题还是组合问题？

并计算出结果.

（1）高三年级学生会有11人：

①每两人互通一封信，共通了多少封信？

②每两人互握了一次手，共握了多少次手？

（2）高二年级数学课外小组共10人：

①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？

②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？

（3）有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数：

①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？

②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？

（4）有8盆花：

①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？

②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？

分析

（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；

②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题.其他类似分析.

（1）①是排列问题，共用了封信;

②是组合问题，共需握手（次）•

（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；

②是组合问题，共有种不同的选法.

（3）©

是排列问题，共有种不同的商；

②是组合问题，共有种不同的积.

（4）①是排列问题，共有种不同的选法；

②是组合问题，共有种不同的选法.

例15位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一

所，不同的报名方法共有多少种？

解：

5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有

3X3X3X3X3=35（种）

（二）排列、排列数公式

说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.

例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（）

A.60个B.48个C.36

个D.24个

解因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有A：

小于50000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有A*在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有A,,得A1朋从=36（个）

由此可知此题应选C.

例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种？

将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即2143,3142,4123；

同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；

将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为

3A3—9（种）.

例4从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有

甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）

A.140种B.84种C.70

种D.35种

抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C1•C；

种;

甲型2台乙型1台的取法有C1•C；

种

根据加法原理可得总的取法有

C24•C25+C24•C15=40+30=70（种）

可知此题应选C.

例5甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式?

甲公司从8项工程中选出3项工程的方式C：

种；

乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C,种；

丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C2i种；

丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C；

种.

根据乘法原理可得承包方式的种数有C38XC；

XC2.XC22=

X1=1680（种）.

（4）二项式定理、二项展开式的性质

说明二项式定理揭示了二项式的正整数次幕的展开法则，例

6在（x-）10的展开式中，h的系数是（）

A.-27C\0B.27C爲C.-9C\0

D.9C\0

解设（x-）“的展开式中第Y+1项含妇

因Ty+1=Cy10x10-y（-）\10-Y二6,Y二4

于是展开式中第5项含x6,第5项系数是C\0（-）4=9C

故此题应选D.

例7（x-l）-（x-l）2+（x-l）3-（x~l）+（x-l）'

的展开式中的x2

的系数等于

此题可视为首项为x-l,公比为-（x-1）的等比数列的前5项的和,则其和为

在（X-1）6中含x‘的项是C36X3（T）3二-20x‘,因此展开式中X2的系数是-2

0.

（5）综合例题赏析

例8若（2x+）4=a0+aix+a2x2+a3x3+a4x4,则（a0+a2+a.i）2-（at+a3）2的值为（）

A.1B.-1

C.0D.2

A.

例92名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分

配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（）

B.12

C.18种

解分医生的方法有A；

=2种，分护士方法有C*6种，所以共有6X2=12种不同的分配方法。

应选B.

例10从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同取法共有（）.

A.140种种解：

取出的3台电视机中，甲型电视机分为恰有一台和恰有二台两种情形.

VC24•+C25•Cl二5X6+10X4二70.

・•・应选C.

例11某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表,

至少有1名女生当选的不同选法有（）

分恰有1名女生和恰有2名女生代表两类:

•・©

•C17+C,二3X7+3二24,

・•・应选D.

例12由数学0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有（）•

B.300个

D.600个

A.210个

C.464个解：

先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个?

应有A：

・A55二600个.

由对称性，个位数小于十位数的六位数和个位数大于十位数的六位数各占一半.

・••有X600=300个符合题设的六位数.

例］3

以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（）.

A.70个个

B.64个C.58

D.52个

如图，正方体有8个顶点，任取4个的组合数为CA70个.

其中共面四点分3类：

构成侧面的有6组；

构成垂直底面的对角面的有2组；

形如（ADBG）的有4组.

・•・能形成四面体的有70-6-2-4=58（组）

应选C.

例14如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在

的12条直线中，异面直线共有（）.

A.12对对

B.24对C.36

D.48对

设正六棱锥为0—ABCDEF.

任取一侧棱0A（C；

）则0A与BC、CD、DE、EF均形成异面直线对.

・・・共有U6X4=24对异面直线.

例15正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点的

三角形共个（以数字作答）.

7点中任取3个则有CA二35组.

其中三点共线的有3组（正六边形有3条直径）.

・・・三角形个数为35-3=32个.

例16设含有10个元素的集合的全部子集数为S,其中由3个元

素组成的子集数为T,则的值

为。

解10个元素的集合的全部子集数有:

10=1024

S=C°

io+C\o+Clo+C；

o+C爲+Clo+Clo+C'

io+Clo+Clo+C0o=2

其中，含3个元素的子集数有T=C3lo=120

故二

例17在50件产品n中有4件是次品，从中任意抽了5件，

至少有3件是次品的抽法共—

种（用数字作答）•

“至少3件次品”即“有3件次品”或“有4件次品”.

/.c\•c24e+c\•^46=4186（种）

例18有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人

承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有

（）.

A.1260种B.2025种C.2520

种D.5040种

先从10人中选2个承担任务甲（C1。

）

再从剩余8人中选1人承担任务乙（C18）

又从剩余7人中选1人承担任务乙（C17）

・••有C爲•C18C17=2520（种）.

例19集合｛1,2,3｝子集总共有（）.

A.7个B.8个C.6个D.5个

解三个元素的集合的子集中，不含任何元素的子集有一个，由一

个元素组成的子集数

由二个元素组成的子集数C；

。

由3个元素组成的子集数C33o由加法原理可得集合子集的总个数是

C；

+C；

+l二3+3+1+1=8

故此题应选B.

例20假设在200件产品中有3件是次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有两件次品的抽法有（）•

A.C3C197种B.C3C197+C3C197

C.C5200—C5i97D.C5200—C

5件中恰有二件为次品的抽法为C23C3197,

5件中恰三件为次品的抽法为C33C\97,

・・・至少有两件次品的抽法为Ccl+c%.

例21两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8

名学生入座（每人一个座位），则不同座法的总数是（）.

A.C5sC3sB.A'

CsC'

sC.A5sA3s