中职数学基础模块上册第四章指数对数函数教案集Word格式文档下载.docx

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课

一、正整指数幂

1．定义

一般地，an（nN+）叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数．并且规定：

a1＝a．

an

幂

指数（nN＋）

底数

当n是正整数时，an叫正整指数幂．

练习1填空

（1）23×

24＝　　；

aman＝　　；

（2）（23）4＝　　；

（am）n＝　　；

（3）＝　　　；

＝　　　（m＞n，a≠0）；

（4）（xy）3＝　　；

（ab）m＝　　．

练习2计算．

二、零指数幂

规定：

　　　　a0＝1（a≠0）

练习3填空

（1）80＝　　；

（2）（－0.8）0＝　　；

练习4式子（a－b）0＝1是否恒成立？

为什么？

练习5计算

（1）；

（2）．

三、负整指数幂

我们规定：

a－1＝（a≠0）

a－n＝（a≠0,nN+）

练习6填空

（1）8–2＝　　；

（2）（0.2）－3＝　　．

练习7式子（a－b）－4＝是否恒成立？

四、实数系

实数

有理数

无理数

整数

分数

正整数

零

负整数

五、整数指数幂的运算法则

aman＝am+n；

（am）n＝amn；

（ab）m＝ambm．

练习8

（1）（2x）–2＝　　；

（2）0.001–3＝　　；

（3）（）–2＝　　；

（4）＝　　．

教师板书课题．

学生理解概念．

教师强调n是正整数．

学生回顾正整指数幂的运算法则，并尝试解决练习1、2．

练习1，学生分小组抢答；

练习2，学生通过约分解得

＝1．

如果取消＝am－n

（m＞n，a≠0）中m＞n的限制，如何通过指数的运算来表示？

＝23－3＝20

教师板书：

零指数幂

a0＝1（a≠0）．

请同学们结合零指数幂的定义完成练习3．

教师强调练习4中，等式成立的条件，即a≠b．

练习5，学生可通过约分解答．

实数m与n的大小关系除了m＞n，m＝n还有m＜n．当m＜n时，运算法则＝am－n一定成立吗？

学生尝试解决教师提出的问题．

负整指数幂

a－n＝（a≠0,nN+），

并强调a的取值．

练习6由学生解答，练习7要求小组合作探究解决．

教师针对学生的解答进行点评，并强调练习7中的等式成立的条件，即a≠b．

从数的分类可知，在定义了零指数幂和负整指数幂以后，我们就把正整指数幂推广到了整数指数幂的范围．

正整指数幂的运算法则，对整数指数幂的运算仍然成立．

板书运算法则．

通过演示将的运算归结到aman中去，即

＝ama－n＝am+（–n）＝am–n．

学生解答，练习8要求小组合作解决．

教师在讲解上述题目时，应再现每题运算过程中用到的运算律．

学生在初中已学过此概念，用投影的形式展现，学生容易联想起以前的内容．

明确各部分的名称．通过强调n是正整数，为零指数和负整指数的引入作铺垫．

通过练习，让学生回顾正整指数幂的运算律．

由特殊到一般，由具体的例子入手，引出零指数幂的定义．

突破思维困境，引入零指数幂．

第2题的目的是要让学生记住

a0＝1（a≠0）

中的a≠0这一条件．

类比零指数的引入，负整指数的引入就顺理成章了．

练习7是为了让学生注意，在负整指数幂中底数a的取值范围．

重新回顾实数的分类，展示幂指数的推广过程，帮助学生理解“把正整指数幂推广到了整数指数幂的范围”这句话．

使学生对幂的运算法则给予重新认识．

突出本节知识，突出运算法则．

小

结

正整指数幂

整数指数幂

1．指数幂的推广

2．正整指数幂的运算法则对整数指数幂仍然成立：

（1）aman＝am+n；

（2）（am）n＝amn；

（3）（ab）m＝ambm．

回顾本节主要内容，加深理解零指数和负整指数幂的概念、牢记运算律．

简洁明了地概括本节课的重要知识，使学生易于理解记忆．

作

业

必做题：

P72，第1、2.3题，

选做题：

P77，习题第1.2.3题．

标记作业．

针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置，安排必做习题和选做习题两层．

4.1.1实数指数幂及其运算法则

1.了解根式的概念和性质；

理解分数指数幂的概念；

掌握有理数指数幂的运算性质．

2.会对根式、分数指数幂进行互化．培养学生的观察、分析、归纳等逻辑思维能力．

3.培养学生用事物之间普遍联系的观点看问题．

分数指数幂的概念以及分数指数幂的运算性质．

对分数指数幂概念的理解．

这节课主要采用问题解决教学法．

在引入分数指数幂时，先讲方根的概念，根据方根的定义，得到根式具有的性质．在利用根式的运算性质对根式的化简过程中，引导学生注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律．在对根式的性质进行练习以后，为了解决运算的合理性，引入了分数指数幂的概念，从而将指数幂推广到了有理数范围．在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，将有理指数幂推广到实数指数幂．考虑到职校学生的实际情况，并没有给出严格的推证．

1．整数指数幂的概念．

an＝a×

a×

a（n个a连乘）；

a0＝1（a≠0）；

a－n＝（a≠0，nN+）．

2．运算性质：

（am）n＝amn；

（ab）m＝ambm．

上节课我们把正整指数幂推广到了整数指数幂，那么我们能不能把整数指数幂推广到分数指数幂，进而推广到有理指数幂和实数指数幂呢？

这节课我们就来探讨这个问题．

首先来复习一下上节课所学的内容．

学生回答教师提出的问题，教师及时给予评价．

以旧引新提出问题，引入本节课题．

复习上节所学内容．

一、根式有关概念

定义：

一般地，若xn＝a（n＞1，nN），则x叫做a的n次方根．

例如：

（1）由32＝9知，3是9的二次方根（平方根）；

由（－3）2＝9知，－3也是9的二次方根（平方根）；

（2）由（－5）3＝－125知，－5是－125的三次方根（立方根）；

（3）由64＝1296知，6是1296的4次方根．

有关结论：

（1）当n为奇数时：

正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数．记作：

x＝．

（2）当n为偶数时，正数的n次方根有两个（互为相反数）．记作：

x＝±

．

（3）负数没有偶次方根．

（4）0的任何次方根都为0．

当有意义时，叫做根式，n叫根指数．

正数a的正n次方根叫做a的n次算术根．

叫做2的3次算术根；

不叫根式，因为它是没有意义的．

二、根式的性质

（1）（）

＝a．

例如，（）

＝27，（）

＝－3．

（2）当n为奇数时，＝a；

当n为偶数时，＝|a|＝.

＝－5，

＝2；

＝5，＝|－3|＝3．

观察下面的运算：

（a）3＝a3＝a　　　　①

（a）3＝a3＝a2　　　②

上面两式的运算，用到了法则（am）n＝amn，但无法用整数指数幂来解释，但是①式的含义是a连乘3次得到a，所以a可以看作是a的3次方根；

②式的含义是a连乘3次得到a2，所以a可以看作是a2的3次方根．

因此我们规定

a＝，a＝，

以使运算合理．

三、分数指数幂

一般地，我们规定：

a＝（a＞0）；

a＝＝（）m（a＞0，m，nN+，且为既约分数）．

a＝（a＞0，m，nN+，且为既约分数）．

四、实数指数幂的运算法则

（1）aαaβ＝aα+β；

（2）（aα）β＝aαβ；

（3）（ab）α＝aαbα．

以上aα，aβ中，a＞0，b＞0，且α，β为任意实数．

练习1

8×

8＝8＝81＝8；

8＝（8）2＝22＝4；

3×

×

＝3×

3＝31＋＋＋＝32＝9；

（ab）3＝（a）3·

（b）3＝a2b．

例1利用函数型计算器计算（精确到0.001）：

（1）0.21.52；

（2）3.14－2；

（3）3.1．

例2利用函数型计算器计算函数值．

已知f（x）＝2.71x，求f（－3），f（－2），f（－1），f

（1），f

（2），f（3）（精确到0.001）．

请同学们结合教材在小组内合作完成．

练习2

教材P73，练习1.2，．

学生理解方根概念．

教师通过举例让学生进一步理解方根的概念．

学生在教师的引导下进一步理解根式的概念．

学生重新构建根式、根指数的概念，教师强调当有意义时，叫做根式．

学生理解根式的性质，通过实例演示，将性质应用到运算之中．

教师用语言叙述根式性质：

（1）实数a的n次方根的n次幂是它本身；

（2）n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a本身；

n为偶数时，实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值．

学生认真观察．

在教师的引导下，学生寻找解惑途径．

学生在教师的引导下，由特殊到一般，积极构建分数指数幂的概念．

负整数指数幂是怎么定义的？

如何来定义负分数指数幂呢？

学生在教师的引导下，类比负整指数幂的定义，形成负分数指数幂的概念．

至此，我们把整数指数幂推广到了有理指数幂．有理指数幂还可以推广到实数指数幂．使学生形成实数指数幂的概念．

学生做练习．

教师讲解例1第

（1）题的操作方法．

学生结合教材，完成例1第

（2）、（3）题，学习用计算工具来求指数幂ab的值．

引入方根的概念为下一步引入分数指数做基础．

使学生加深对方根概念的理解，为总

结出结论作铺垫．

由方根的概念引入其数学记法，为引入根式的概念作准备．

引入根式、根指数的概念．

将数学语言（符号）转化为文字语言，使学生加深对性质的理解．

设置障碍，使学生积极寻找解决途径，从而调动学生思维的积极性．

通过教师引导，学生找到使运算合理的途径．

引入正分数指数幂的概念．

类比负整数指数幂的定义，引入负分数指数幂的概念．

将有理指数幂推广到实数指数幂，并给出实数指数幂的运算法则．

加深对有理指数幂的理解，并使学生进一步掌握指数幂的运算法则．

使学生掌握函数型计算器的使用．

使学生进一步巩固函数计算器的使用方法．

根式

分数指数幂

1．

有理指数幂

实数指数幂

2．

3．利用函数型计算器求ab的值．

学生在教师的引导下回顾本节课的主要内容，加深理解根式和分数指数幂的概念；

理顺实数指数幂的推广过程；

回顾计算器的使用方法．

简洁明了地概括本节课的重要知识，便于学生理解记忆．

理顺本节指数幂的推广思路，使学生思维清晰．

教材P77，1.2；

针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置，安排基本练习题和选做题两层．

4.1.2幂函数举例

1.了解幂函数的概念，会求幂函数的定义域，会画简单幂函数的图象．

2.培养学生用数形结合的方法解决问题．注重培养学生的作图、读图的能力．

培养合作交流等良好品质．

幂函数的定义．

会求幂函数的定义域，会画简单幂函数的图象．

这节课主要采用启发式和讲练结合的教学方法．

从函数y＝x，y＝x2，y＝等导入，通过观察这类函数的解析式，归纳其共性，引入幂函数的概念．在例1求函数的定义域中，对于分数指数及负整指数的幂函数要转化为分式或根式的形式，讲解时，注意引导，让学生在解答问题的过程中自己归纳总结规律．函数图象是研究函数性质的有利工具，教师在讲授例2时，可以采用分组的方式，让学生一起合作完成函数的图象，并从本例中找出幂函数的某些性质．

1．指数幂

a（n个a连乘）

a0＝1；

a-n＝（a≠0,nN+）；

a＝（a>

0）；

0，m，n∈N+，且为既约分数）；

0，m，n∈N+，且为既约分数）．

2．观察函数

y＝x2，y＝x3，y＝x及y＝x－1．

学生在教师的引导下，回顾指数幂的有关定义及运算法则．

以上函数表达式的共同特征是什么？

你还能举出类似的函数吗？

学生观察函数的表达式，回答教师提出的问题．

复习上节内容，为本节学习做准备．

通过实例引入本节课题，确定本节的学习目标．

一、幂函数的概念

一般地，形如

y＝x

的函数我们称为幂函数．

练习1判断下列函数是不是幂函数

（1）y＝2x；

（2）y＝2x；

（3）y＝x；

（4）y＝x2＋3．

例1写出下列函数的定义域：

（1）y＝x3；

（2）y＝x；

（3）y＝x－2；

（4）y＝x．

解：

（1）函数y＝x3的定义域为R；

（2）函数y＝x，即y＝，定义域为[0，＋∞）；

（3）函数y＝x－2，即y＝，定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）；

（4）函数y＝x，即y＝，其定义域为（0，＋∞）．

练习2求下列函数的定义域：

（1）y＝x－3；

（3）y＝x．

二、幂函数的性质

例2作出下列函数的图象：

（1）y＝x；

（3）y＝x2；

（4）y＝x－1．

（1）列表：

x

…

－3

－2

－1

1

2

3

/

1.41

1.73

y＝x2

9

4

y＝x-1

－

（2）描点；

（3）连线．

幂函数的性质

幂函数随幂指数α的取值不同，它们的性质和图象也不尽相同，但也有一些共性，例如，所有的幂函数都通过点（1，1），都经过第一象限等．

（2）可否利用的图象画出的图象？

练习3画出函数y＝x的图象，并指出其奇偶性、单调性．

学生在教师的引导下归纳幂函数的概念．

学生回答练习1，进一步理解幂函数的概念．针对学生的回答，教师结合定义点评．

在教师的引导下利用指数幂的有关定义，师生共同完成例题．

学生寻找规律，形成解题规律．

由上例我们可以看出，当幂函数的指数为负整数时，一般是先将函数表达式转化为分式形式；

当幂函数的指数为分数时，一般是先将函数表达式转化为根式，然后再来求函数的定义域．

教师根据学生的解答进行点评，并给予相应评价．

函数图象可以直观反映函数性质，是研究函数性质的有利工具，请同学们回顾一下，作函数图象分为哪三步？

学生回答．

学生分组完成列表．

师生共同完成描点和连线，有条件的学校可利用计算机进行作图．

教师结合函数图象说明幂函数的性质．

学生在教师的引导下完成练习．

由学生自己归纳幂函数的概念，有利于他们把握和理解新概念．

使学生加强对幂函数概念的理解．

通过例题演示，使学生进一步掌握求幂函数定义域的方法．

总结规律．

使学生应用刚学过的新知识．

回顾作图过程，进一步明确函数图象是研究函数性质的有利工具．

在画图过程中，学会与人合作．

使学生对幂函数的性质有简单的了解．

复习作图过程，并强化学生读图能力培养．

1．幂函数的定义

2．求幂函数的定义域

3．通过幂函数的图象分析幂函数的性质

师生共同回顾幂函数的概念，定义域的求法以及幂函数的图象和性质．

简洁明了概括本节课的重要知识，学生易于理解记忆．

作业

1．教材P77，练习1.2题．

2．计算机上的练习

在同一坐标系中画出函数y＝x3与y＝的图象，并指数这两个函数各有什么性质以及它们的图象关系（操作步骤参照教材172页）．

基于学生实际，对课后书面作业实施分层设置的同时设置了计算机上的练习，让学生自己在操作过程中寻找学习的乐趣．

4.1.3指数函数

1.掌握指数函数的定义、图象、性质及其简单的应用．

2.培养学生用数形结合的方法解决问题的能力．

培养独立思考等良好的个性品质．

指数函数的图象与性质．

指数函数的图象性质与底数a的关系．

这节课主要采用讲练结合和小组合作的教学方法．

本节课由生活中的真实例子导入新课，引入指数函数的定义，并通过一组练习深化指数函数的定义．先通过列表——描点——连线得到指数函数的图象，然后在教师的启发下，充分利用函数的图象来研究函数的性质．为了加强学生对函数性质的应用，增加了一道求函数定义域的例题，然后安排一定数量的练习，体现练为主线，讲练结合的教学方法．

一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的质量约是原来的84%．试写出这种物质的剩留量随时间变化的函数解析式．

教师分析解题的过程，得到y＝0.84x．

通过实例引入，让学生得到指数函数的一些特征，从而有了感性认识，对理解和掌握指数函数的定义、性质会起到很好的帮助作用．

一、指数函数的定义

一般地，函数

y＝ax（a＞0且a¹

1，xÎ

R）

叫做指数函数．其中x是自变量，定义域为R．

探究1

y＝2×

3x是指数函数吗？

探究2

为什么要规定a＞0，且a≠1呢？

（1）若a＝0，

则当x＞0时，ax＝0；

当x≤0时，ax无意义．

（2）若a＜0，

则对于x的某些数值，可使ax无意义．

如（－2）x，这时对于x＝，x＝，…等等，在实数范围内函数值不存在．

（3）若a＝1，

则对于任何xR，ax＝1，是一个常量，没有研究的必要性．

为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a1．

在规定以后，对于任何xR，ax都有意义，且ax＞0.因此指数函数的定义域是R，值域是（0，＋∞）．

练习1指出下列函数哪些是指数函数：

（1）y＝4×

3x；

（2）y＝px；

（3）y＝0.3x；

　　（4）y＝x3．

二、指数函数的图象和性质

在同一坐标系中分别作出函数y＝2x和y＝（）x的图象．

（1）列表：

略．

（2）描点：

（3）连线：

y＝（）x

y

5

6

7

8

O

y＝2x

练习2作函数y＝3x与y＝（）x的图象．

探究3

观察y＝2x，y＝（）x，y＝3x与y＝（）x的图象，找出图象特征．

（1）图象向左右无限延伸；

（2）图象在x轴上方，向上无限延伸，向下无限接近于x轴；

（3）图象都经过点（0，1）；

（4）a＝2或a＝3时，从左向右看图象逐渐上升；

a＝或a＝时，从左向右看图象逐渐下降．

探究4

（1）“图象向左右无限延伸”揭示了“函数的定义域为R”；

（2）“图象在x轴上方，向上无限延伸，向下无限接近于x轴”揭示了“函数的值域为（0，＋∞）；

（3）“图象都经过点（0，1）”揭示了“当x＝0时，ax＝1”；

（4）“a＝2或a＝3时，从左向右看图象逐渐上升；

a＝或a＝时，从左向右看图象逐渐下降”揭示了“当a＞1时，指数函数是增函数；

当0＜a＜1时，指数函数是减函数”．

表4-1指数函数的图象与性质

a＞1

0＜a＜1

图

象

y＝1

（0,1）

定义域

R

值域

（0，＋¥

）

定点

（0，1）

单调性

增函数

减函数

x≥0时，y≥1；

x＜0时，0＜y＜1

X≥0时，0＜y≤1；

x＜0时，y＞1

练习3

（1）指数函数y＝ax，当　　　　　时，函数是增函数；

当　　　　　　　时，函数是减函数．

（2）若函数f（x）＝（a＋1）x是减函数，则a的取值范围是．

例1用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：

（1）1.72.5和1.73；

（2）0.8－0.1和0.8－0.2．

解

（1）考察函数y＝1.7x，

它在实数集上是增函数．

因为2.5＜3，所以1.72.5＜1.73．

请同学们用函数的图象来验证一下答案是否正确？

（2