《创新设计》同步人教A版选修11第一章 13数学文档格式.docx
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函数y＝3x2是偶函数或是增函数；
∵p真，q假，∴p∨q为真.
（2）p∧q：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；
∵p真，q真，∴p∧q为真.
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；
∵p真，q真，∴p∨q为真.
（3）p∧q：
是无理数且是实数；
是无理数或是实数；
（4）p∧q：
方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；
方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；
反思与感悟
（1）判断p∧q形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，然后根据真值表“一假则假，全真则真”进行判断.
（2）判断p∨q形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，只要有一个为真，即可判定p∨q形式命题为真，而p与q均为假命题时，命题p∨q为假命题，可简记为：
有真则真，全假为假.
跟踪训练1 指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题：
（1）李明是男生且是高一学生.
（2）方程2x2＋1＝0没有实数根.
（3）12能被3或4整除.
解
（1）是“p且q”形式.
其中p：
李明是男生；
q：
李明是高一学生.
（2）是“非p”形式.其中p：
方程2x2＋1＝0有实根.
（3）是“p或q”形式.其中p：
12能被3整除；
12能被4整除.
题型二 綈p命题
例2 写出下列命题的否定形式.
（1）面积相等的三角形都是全等三角形；
（2）若m2＋n2＝0，则实数m、n全为零；
（3）若xy＝0，则x＝0或y＝0.
解
（1）面积相等的三角形不都是全等三角形.
（2）若m2＋n2＝0，则实数m、n不全为零.
（3）若xy＝0，则x≠0且y≠0.
反思与感悟 綈p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”、“p∧q”的否定是“（綈p）∨（綈q）”等.
跟踪训练2 写出下列命题的否定，并判断其真假.
y＝sinx是周期函数；
3＜2；
空集是集合A的子集；
5不是75的约数.
解
（1）綈p：
y＝sinx不是周期函数.命题p是真命题，綈p是假命题；
（2）綈p：
3≥2.命题p是假命题，綈p是真命题；
（3）綈p：
空集不是集合A的子集.命题p是真命题，綈p是假命题；
（4）綈p：
5是75的约数.命题p是假命题，綈p是真命题.
题型三 p∨q、p∧q、綈p命题的综合应用
例3 已知命题p：
方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：
关于x的不等式ax2－ax＋1>
0的解集为R，若“p∨q”与“綈q”同时为真命题，求实数a的取值范围.
解 命题p：
方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于
⇔
，
解得a≤－1.
命题q：
0的解集为R，等价于a＝0或
由于
解得0<
a<
4，
所以0≤a<
4.
因为“p∨q”与“綈q”同时为真命题，即p真且q假，
所以
故实数a的取值范围是（－∞，－1].
反思与感悟 由真值表可判断p∨q、p∧q、綈p命题的真假，反之，由p∨q，p∧q，綈p命题的真假也可判断p、q的真假情况.一般求满足p假成立的参数范围，应先求p真成立的参数的范围，再求其补集.
跟踪训练3 已知命题p：
方程x2＋ax＋1＝0有两个不等的实根；
方程4x2＋2（a－4）x＋1＝0无实根，若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围.
解 ∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p与q一真一假，
由a2－4>
0得a>
2或a<
－2.
由4（a－4）2－4×
4<
0得2<
6.
①若p真q假，则有
∴a<
－2或a≥6；
②若p假q真，则有
通过分析可知不存在这样的a.
综上，a<
－2或a≥6.
分类讨论思想的应用
例4 已知命题p：
关于x的不等式x2＋2ax＋4>
0对一切x∈R恒成立，命题q：
函数f（x）＝（3－2a）x是增函数.若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围.
分析 首先求出p，q为真时a的取值范围，然后利用命题的实际真假列不等式组求解.
解 设g（x）＝x2＋2ax＋4.
因为关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，所以函数g（x）的图象开口向上，且与x轴没有交点，故Δ＝4a2－16＜0，所以－2＜a＜2.
又因为函数f（x）＝（3－2a）x是增函数，所以3－2a＞1，即a＜1.
又因为p∨q为真，p∧q为假，所以p和q一真一假.
若p真q假，则
所以1≤a＜2；
若p假q真，则
所以a≤－2.
综上所述，实数a的取值范围是1≤a＜2或a≤－2.
解后反思 由p，q的真假，可以判断“p∨q”“p∧q”的真假；
反之，由“p∨q”“p∧q”的真假，也能推断p，q的真假，如“p∧q”为假，则包括“p真q假”“p假q真”“p假q假”三种情况.
1.命题p：
“x>
0”是“x2>
0”的必要不充分条件，命题q：
△ABC中，“A>
B”是“sinA>
sinB”的充要条件，则（ ）
A.p真q假B.p∧q为真
C.p∨q为假D.p假q真
答案 D
解析 命题p假，命题q真.
2.给出下列命题：
①2>
1或1>
3；
②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；
③25是6或5的倍数；
④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集.
其中真命题的个数为（ ）
A.1B.2C.3D.4
解析 ①由于2>
1是真命题，所以“2>
3”是真命题；
②由于方程x2－2x－4＝0的Δ＝4＋16>
0，所以“方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；
③由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；
④由于A∩B⊆A，A∩B⊆A∪B，所以命题“集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集”是真命题.
3.已知命题p1：
函数y＝2x－2－x在R上为增函数，
p2：
函数y＝2x＋2－x在R上为减函数.
则在命题q1：
p1∨p2，q2：
p1∧p2，q3：
（綈p1）∨p2和q4：
p1∧（綈p2）中，为真命题的是（ ）
A.q1，q3B.q2，q3
C.q1，q4D.q2，q4
答案 C
解析 p1是真命题，则綈p1为假命题；
p2是假命题，则綈p2为真命题；
∴q1：
p1∨p2是真命题，q2：
p1∧p2是假命题，
∴q3：
（綈p1）∨p2为假命题，q4：
p1∧（綈p2）为真命题.
∴为真命题的是q1，q4.
4.已知命题p：
1∈{x|（x＋2）（x－3）<
0}，命题q：
∅＝{0}，则下列判断正确的是（ ）
A.p假q真B.“p∨q”为真
C.“p∧q”为真D.“綈p”为真
答案 B
解析 由（x＋2）（x－3）<
0得－2<
x<
3，
∵1∈（－2,3），∴p真.
∵∅≠{0}，∴q假，
∴“p∨q”为真.
5.若p是真命题，q是假命题，则（ ）
A.p∧q是真命题B.p∨q是假命题
C.綈p是真命题D.綈q是真命题
解析 根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D正确.
1.正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个.
2.判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤：
（1）逐一判断命题p，q的真假.
（2）根据“且”“或”的含义判断“p∧q”，“p∨q”的真假.
p∧q为真⇔p和q同时为真，
p∨q为真⇔p和q中至少一个为真.
3.若命题p为真，则“綈p”为假；
若p为假，则“綈p”为真，类比集合知识，“綈p”就相当于集合p在全集U中的补集∁Up.因此（綈p）∧p为假，（綈p）∨p为真.
4.注意区别命题的否定与否命题，命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件.
一、选择题
1.已知命题p：
2＋2＝5，命题q：
3>
2，则下列判断正确的是（ ）
A.“p∨q”为假，“綈q”为假
B.“p∨q”为真，“綈q”为假
C.“p∧q”为假，“綈p”为假
D.“p∧q”为真，“p∨q”为假
解析 显然p假q真，故“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真，“綈q”为假，故选B.
2.已知全集S＝R，A⊆S，B⊆S，若p：
∈（A∪B），则“綈p”是（ ）
A.
D∈/AB.
D∈/∁SB
C.
D∈/（A∩B）D.
∈（∁SA）∩（∁SB）
解析 p：
∈（A∪B），綈p：
∈∁S（A∪B），
即
∈（∁SA）∩（∁SB）.
3.“p是真命题”是“p∧q为真命题”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）
A.（綈p）∨（綈q）B.p∨（綈q）
C.（綈p）∧（綈q）D.p∨q
答案 A
解析 至少有一位学员没有降落在指定范围意味着甲或乙没有降落在指定范围.
5.命题p：
若a>
0，b>
0，则ab＝1是a＋b≥2的必要不充分条件，命题q：
函数y＝log2
的定义域是（－∞，－2）∪（3，＋∞），则（ ）
A.“p∨q”为假B.“p∧q”为真
C.p真q假D.p假q真
解析 由命题p：
a>
0，ab＝1得a＋b≥2
＝2，所以p为假命题；
由
>
0得x<
－2或x>
3，所以q为真命题.
6.已知命题p：
若a＝（1,2）与b＝（－2，λ）共线，则λ＝－4；
∀k∈R，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2－2y＝0相交.则下面结论正确的是（ ）
A.（綈p）∨q是真命题B.p∧（綈q）是真命题
C.p∧q是假命题D.p∨q是假命题
解析 命题p为真，命题q：
圆心（0,1）到直线kx－y＋1＝0的距离为d＝
<
1，命题q是真命题.故（綈p）∨q是真命题.
7.给定命题p：
函数y＝ln[（1－x）（x＋1）]为偶函数；
函数y＝
为偶函数，下列说法正确的是（ ）
A.p∨q是假命题B.（綈p）∧q是假命题
C.p∧q是真命题D.（綈p）∨q是真命题
解析 p中，f（－x）＝ln[（1＋x）（1－x）]＝f（x），
又定义域关于原点对称，故函数为偶函数，故p为真；
q中，f（－x）＝
＝
＝－f（x），定义域为R，故函数为奇函数，故q为假，
故（綈p）∧q为假.
二、填空题
8.命题“若a<
b，则2a<
2b”的否命题为________________，命题的否定为________________.
答案 若a≥b，则2a≥2b 若a<
b，则2a≥2b
解析 命题“若a<
2b”的否命题为“若a≥b，则2a≥2b”，命题的否定为“若a<
b，则2a≥2b”.
9.若命题p：
不等式ax＋b>
0的解集为{x|x>
－
}，命题q：
关于x的不等式（x－a）（x－b）<
0的解集为{x|a<
b}，则“p且q”“p或q”“非p”中真命题是________.
答案 非p
解析 因为命题p，q均为假命题，
所以“p或q”“p且q”均为假命题，而“非p”为真命题.
10.已知命题p：
若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：
若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则有平面α∥平面β.对以上两个命题，下列结论中：
①p∧q为真；
②p∨q为假；
③p∨q为真；
④（綈p）∨（綈q）为假.
其中，正确的是________（填序号）.
答案 ②
解析 命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交，命题q也是假命题，这两个平面α，β也可能相交.
三、解答题
11.已知c>
0，设p：
函数y＝cx在R上单调递减，q：
曲线y＝4x2－4c（x＋
）＋c2＋1与x轴交于不同的两点，若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求c的取值范围.
解 ∵函数y＝cx在R上单调递减，
∴0<
c<
1.令A＝{c|0<
1}.
由y＝4x2－4c（x＋
）＋c2＋1与x轴交于不同的两点，可得方程4x2－4cx＋c2－2c＋1＝0所对应的判别式
Δ＝16c2－16（c2－2c＋1）>
0.
解得c>
，令B＝{c|c>
}.
根据题意，如果p真，q假，则0<
c≤
；
如果p假，q真，则c≥1，
∴c的取值范围为（0，
]∪[1，＋∞）.
12.已知c＞0，设命题p：
函数y＝cx为减函数，命题q：
当x∈[
，2]时，函数f（x）＝x＋
＞
恒成立.如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围.
解 由命题p，知0＜c＜1.
由命题q，知2≤x＋
≤
.要使f（x）＞
恒成立，
则2＞
，即c＞
.
又由p∨q为真，p∧q为假，知p，q必是一真一假.
当p为假，q为真时，c≥1；
当p为真，q为假时，
0＜c≤
综上所述，c的取值范围是
13.已知命题p：
方程a2x2＋ax－2＝0在[－1,1]上有解；
只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，若命题“p∨q”是假命题，求实数a的取值范围.
解 由a2x2＋ax－2＝0，得（ax＋2）（ax－1）＝0.
显然a≠0，∴x＝－
或x＝
若命题p为真，
∵x∈[－1,1]，故
≤1或
≤1，
∴|a|≥1.
若命题q为真，
即只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0，
即函数y＝x2＋2ax＋2a的图象与x轴只有一个交点.
∴Δ＝4a2－8a＝0，
∴a＝0或a＝2.
∵命题“p∨q”为假命题，
∴a的取值范围是{a|－1<
0或0<
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