最新数学选修23排列组合.docx

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最新数学选修23排列组合

2016年12月31日烟火狸的高中数学组卷

一．选择题（共21小题）

1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（　　）

A．42B．96C．48D．124

2．某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等8名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种数为（　　）

A．1860B．1320C．1140D．1020

3．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为（　　）

A．360B．520C．600D．720

4．一个五位自然，ai∈{0，1，2，3，4，5}，i=1，2，3，4，5，当且仅当a1＞a2＞a3，a3＜a4＜a5时称为“凹数”（如32014，53134等），则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为（　　）

A．110B．137C．145D．146

5．七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，则不同的排法有（　　）

A．240种B．192种C．120种D．96种

6．由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的个数有（　　）

A．600B．464C．300D．210

7．当行驶的6辆军车行驶至A处时，接上级紧急通知，这6辆军车需立即沿B、C两路分开纵队行驶，要求B、C每路至少2辆但不多于4辆．则这6辆军车不同的分开行驶方案总数是（　　）

A．50B．1440C．720D．2160

8．为贯彻落实中央1号文件精神和新形势下国家粮食安全战略部署，农业部把马铃薯作为主粮产品进行产业化开发，记者获悉，我国推进马铃薯产业开发的目标是力争到2020年马铃薯种植面积扩大到1亿亩以上．山东省某种植基地对编号分别为1，2，3，4，5，6的六种不同品种在同一块田地上进行对比试验，其中编号为1，3，5的三个品种中有且只有两个相邻，且2号品种不能种植在两端，则不同的种植方法的种数为（　　）

A．432B．456C．534D．720

9．某年数学竞赛请来一位来自X星球的选手参加填空题比赛，共10道题目，这位选手做题有一个古怪的习惯：

先从最后一题（第10题）开始往前看，凡是遇到会的题就作答，遇到不会的题目先跳过（允许跳过所有的题目），一直看到第1题；然后从第1题开始往后看，凡是遇到先前未答的题目就随便写个答案，遇到先前已答的题目则跳过（例如，他可以按照9，8，7，4，3，2，1，5，6，10的次序答题），这样所有的题目均有作答，设这位选手可能的答题次序有n种，则n的值为（　　）

A．512B．511C．1024D．1023

10．某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有（　　）

A．种B．种

C．种D．种

11．如图所示2×2方格，在每一个方格中填人一个数字，数字可以是l、2、3、4中的任何一个，允许重复．若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有（　　）

A

B

C

D

A．192种B．128种C．96种D．12种

12．4个不同的小球全部随意放入3个不同的盒子里，使每个盒子都不空的放法种数为（　　）

A．B．

C．D．

13．对于任意正整数n，定义“n!

!

”如下：

当n是偶数时，n!

!

=n•（n﹣2）•（n﹣4）…•6•4•2，

当n是奇数时，n!

!

=n•（n﹣2）•（n﹣4）…•5•3•1

现在有如下四个命题：

①（2003！

！

）•（2002！

！

）=2003×2002×…×3×2×1；

②2002!

!

=21001×1001×1000×…×3×2×；

③2002!

!

的个位数是0；

④2003!

!

的个位数是5．

其中正确的命题有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

14．数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案有（　　）种．

A．AB．CCC34

C．43D．CCC43

15．高三某班上午有4节课，现从6名教师中安排4人各上一节课，如果甲乙两名教师不上第一节课，丙必须上最后一节课，则不同的安排方案种数为（　　）

A．36B．24C．18D．12

16．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2…9的9个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3，5，7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（　　）种

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A．18B．36C．72D．108

17．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（　　）

A．504种B．960种C．1008种D．1108种

18．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i个数为ai（i=1，2，…，6），若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1＜a3＜a5，则不同的排列方法种数为（　　）

A．18B．30C．36D．48

19．高三

（一）班学要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（　　）

A．1800B．3600C．4320D．5040

20．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（　　）

A．60个B．48个C．36个D．24个

21．组合数Cnr（n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（　　）

A．B．（n+1）（r+1）

C．nrD．

二．解答题（共1小题）

22．规定，其中x∈R，m是正整数，且CX0=1．这是组合数Cnm（n，m是正整数，且m≤n）的一种推广．

（1）求C﹣153的值；

（2）组合数的两个性质：

①Cnm=Cnn﹣m；②Cnm+Cnm﹣1=Cn+1m是否都能推广到Cxm（x∈R，m∈N*）的情形？

若能推广，请写出推广的形式并给予证明；若不能请说明理由．

（3）已知组合数Cnm是正整数，证明：

当x∈Z，m是正整数时，Cxm∈Z．

2016年12月31日烟火狸的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共21小题）

1．（2003•北京）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（　　）

A．42B．96C．48D．124

【分析】方法一：

分2种情况：

（1）增加的两个新节目相连，

（2）增加的两个新节目不相连；

方法二：

7个节目的全排列为A77，两个新节目插入原节目单中后，原节目的顺序不变，故不同插法：

．

【解答】解：

方法一：

分2种情况：

（1）增加的两个新节目相连，

（2）增加的两个新节目不相连；

故不同插法的种数为A61A22+A62=42．

方法二：

7个节目的全排列为A77，两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为，

故选A．

【点评】本题考查排列及排列数公式的应用．

2．（2016•绵阳校级模拟）某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等8名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种数为（　　）

A．1860B．1320C．1140D．1020

【分析】分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．

【解答】解：

根据题意，分2种情况讨论，

若只有甲乙其中一人参加，有C21•C63•A44=960种情况；

若甲乙两人都参加，有C22•C62•A44=360种情况，

其中甲乙相邻的有C22•C62•A33•A22=180种情况；

则不同的发言顺序种数960+360﹣180=1140种．

故选C．

【点评】本题考查排列、组合知识，考查计数原理，利用加法原理，正确分类是关键．

3．（2016•衡水模拟）某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为（　　）

A．360B．520C．600D．720

【分析】根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．

【解答】解：

根据题意，分2种情况讨论，

若只有甲乙其中一人参加，有C21•C53•A44=480种情况；

若甲乙两人都参加，有C22•C52•A44=240种情况，

其中甲乙相邻的有C22•C52•A33•A22=120种情况；

则不同的发言顺序种数480+240﹣120=600种，

故选C．

【点评】本题考查组合的应用，要灵活运用各种特殊方法，如捆绑法、插空法．

4．（2016•吉林校级二模）一个五位自然，ai∈{0，1，2，3，4，5}，i=1，2，3，4，5，当且仅当a1＞a2＞a3，a3＜a4＜a5时称为“凹数”（如32014，53134等），则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为（　　）

A．110B．137C．145D．146

【分析】本题是一个分类计数问题，数字中a3的值最小是0，最大是3，因此需要把a3的值进行讨论，两边选出数字就可以，没有排列，写出所有的结果相加．

【解答】解：

由题意知本题是一个分类计数问题，

数字中a3的值最小是0，最大是3，因此需要把a3的值进行讨论，

当a3=0时，前面两位数字可以从其余5个数中选，有=10种结果，后面两位需要从其余5个数中选，有C52=10种结果，共有10×10=100种结果，

当a3=1时，前面两位数字可以从其余4个数中选，有6种结果，后面两位需要从其余4个数中选，有6种结果，共有36种结果，

当a3=2时，前面两位数字可以从其余3个数中选，有3种结果，后面两位需要从其余4个数中选，有3种结果，共有9种结果，

当a3=3时，前面两位数字可以从其余2个数中选，有1种结果，后面两位需要从其余2个数中选，有1种结果，共有1种结果，

根据分类计数原理知共有100+36+9+1=146．

故选D．

【点评】本题考查分类计数问题，考查利用列举得到所有的满足条件的结果数，本题要注意在确定中间一个数字后，两边的数字只要选出数字，顺序就自然形成，不用排列．

5．（2016•丰城市校级二模）七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，则不同的排法有（　　）

A．240种B．192种C．120种D．96种

【分析】利用甲必须站正中间，先安排甲，甲的两边，每边三人，不妨令乙丙在甲左边，求出此种情况下的站法，再乘以2即可得到所有的站法总数．

【解答】解：

不妨令乙丙在甲左侧，先排乙丙两人，有A22种站法，再取一人站左侧有C41×A22种站法，余下三人站右侧，有A33种站法，

考虑到乙丙在右侧的站法，故总的站法总数是2×A22×C41×A22×A33=192，

故选：

B．

【点评】本题考查排列、组合的实际应用，解题的关键是理解题中所研究的事件，并正确确定安排的先后顺序，此类排列问题一般是谁最特殊先安排谁，