初中几何反证法专题Word文档下载推荐.docx

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三步曲。

相平分。

证明：

假设AB与CD互相平分于点M、则由已知条件AB.CD均非OO直径,可判泄M不是圆心0,连结OA、OB.0NL

VOA=OB,M是AB中点

.・.OM丄AB（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）

同理可得：

OM丄CD,从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于OM

这与已知的泄理相矛盾。

故AB与CD不能互相平分。

例2.已知：

在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，

丄

且MN=2（AD+BC）o

求证：

AD〃BC

假设AD*BC,连结ABD,并设P是BD的中点，再连结NIP、PN。

在AABD中

VBM=MA,BP=PD

丄1_

AMP=2AD,同理可证PN^2BC

1_

从而MP+PN=2（AD+BC）①

这时，BD的中点不在MN上

若不然，则由MN〃AD,MN〃BC,得AD〃BC与假设AD*BC矛盾,于是M、P、N三点不共线。

从而MP+PN>

MN②

丄丄

由①、②得2（AD+BC）>

MN,这与已知条件MN=2（AD+BC）相矛盾，

故假设AD*BC不成立，所以AD〃BC。

课堂练习

1.求证：

三角形中至少有一个角不大于60。

。

2.求证：

一直线的垂线与斜线必相交。

已知：

设m,n分别为直线I的垂线和斜线（如图），垂足为A,斜足为B

m和n必相交。

3.在ZiABC中，AD丄BC于D,BE丄AC于E,AD与BE相交于H,求证：

AD与

BE不能被点H互相平分。

4.求证：

直线与圆最多只有两个交点。

5.求证：

等腰三角形的底角必为锐角。

AABC中.AB=AC

ZB、ZC必为锐角。

1.证明：

假设AABC中的ZA.ZB、ZC都大于60。

则ZA+ZB+ZO3x60°

=180°

这与三角形内角和定义矛盾，所以假设不能成立。

故三角形中至少有一个角不大于60%

2•证明：

假设m和n不相交则

m〃n

Vm±

1An丄1

这与n是1的斜线相矛盾，所以假设不能成立。

故m和n必相交。

3.证明：

假设AD、BE被交点H互相平分，则ABDE是平行四边形。

・・.AE〃BD,即AC〃BC

这与AC、BC相交于C点矛盾，

故假设AD、BE被交点H平分不能成立。

所以AD与BE不能被点H互相平分。

4.证明：

假设一直线1与OO有三个不同的交点A、B、C,

M、N分别是弦AB、BC的中点。

VOA=OB=OC

・••在等腰AOAB和AOBC中

OM丄AB,ON丄BC

从而过O点有两条直线都垂直于1,这是不可能的，故假设不能成立。

所以宜线与圆最多只有两个交点。

5.证明：

假设ZB、ZC不是锐角，

则可能有两种情况：

（1）ZB=ZC=90°

（2）ZB=ZC>

90°

若ZB=ZC=90°

则ZA+ZB+ZC>

180。

这与三角形内角和泄理矛盾。

若ZB=ZC>

贝ijZA+ZB+ZC>

，

这与三角形内角和泄理矛盾。

所以假设不能成立。

故ZB、ZC必为锐角。

本讲小结

对于一个几何命题，当用直接法证比较困难或甚至不能证明时，则可采用简接证法，反证法就是一种最常见的间接证明方法、掌握并使用好这种方法，对思维水平的提升大有裨益。

亦所谓反证法，就是先假设命题的结论不成立，从结论的反而入手,实行准确的逻借推理，导致结果与已知学过的公理、定理，从而得岀结论的反而不成立，于是原结论成立。

和反证法证题的一般步骤是：

（1）反设：

将结论的反而作为假设：

（2）归谬：

由“反设“出发，利用已学过的公理、泄理，推出与已知矛盾的结果；

（3）结论：

由推岀的矛盾判断“反设”错误，从而肯立命题的结论正确。

使用“反证法“的关键：

反证法的主要手段是从求证的结论的反而出发，导岀矛盾的结果,

所以，如何导出矛盾，就成了使用反证法的关键。

*“反证法“宜用于证明否沱性命题、唯一性命题、“至少““至多“

命题和某些逆命题等，一般地说“正难则反“凡是直接法很难证明的

命题都可考虑用反证法。

课后作业

在平而上，不存有这样的凸四边形ABCD,使厶ABC、ABCD.

△CDA、ADAB都是锐角三角形。

2.在AABC中，AB=AC,P是内部一点且ZAPB>

ZAPC,求证：

PBVPC。

在AABC的BC边上任取一点D、AC边上任意取一点E,连结AD、

BE,则AD和BE必泄不能互相平分。

5.已知AABC为不等边三角形，AD丄BC于D点，求证：

D点到AB、AC边的

距离必不相等。

参考答案:

假设存有凸四边形ABCD,

使/XABC、ABCD>

ACDA>

ADAB都是锐角三角形。

则ZA+ZB+ZC+ZD<

360°

这与四边形ABCD中

ZA+ZB+ZC+ZD=360°

矛盾。

故假设不能成立，所以原命题成立。

2.证明：

假设PB«

PC,即PB>

PC或PB=PC

⑴当PB>

PC时（如图）

在APBC中，可得<

PCB>

ZPBC

VAB=AC

AZABC=ZACB,从而ZABP>

ZACP①

在Z\BAP与ZXCAP中

•・・AB=AC,AP=AP,PB>

PC

AZBAP>

ZCAP②

由①©

和三角形内角和定理，可得ZAPB<

ZAPC,这与已知ZAPB>

ZAPC相矛盾。

A

⑵当PB=PC时，在AAPB与Z\APC中

VAP=AP,BP=CP,AB=AC

AAABP^AACP,AZAPB=ZAPC这与已知ZAPB>

ZAPC相矛盾，由⑴⑵可知假设PB《PC不成立。

故PB>

PCo

不妨设三角形的三个内角为ZA、ZB、ZC假设ZA、ZB、ZC中设有一个大于或等于60°

则它们都小于60°

o

即ZA<

60°

、ZB<

、ZC<

r.ZA+ZB+ZC<

180°

这与三角形内角和定理矛盾,这说明假设不成立。

故ZA、ZB、ZC中至少有一个大于或等于60°

假设AD和BE互相平分于P点，则ABDE应是一个平行四边形。

所以AE〃EB,即AC/7BC

这与AC与BC相交于C点矛盾，

故假设AD与BE互相平分不能成立。

所以AD和BE必定不能互相平分。

作BE丄AB于E,DF丄AC于F

假设DE=DF，则Z1=Z2

VAD±

BC

・•・ZB=90°

一Z1

ZC=90°

—Z2

・•・ZB=ZC

・•・AB=AC这与AABC为不等边三角形矛盾。

故假设不能成立，即D点到AB、AC边的距离必不相等。