初中几何反证法专题Word文档下载推荐.docx

1、三步曲。相平分。证明：假设AB与CD互相平分于点M、则由已知条件AB. CD均非OO直径, 可判泄M不是圆心0,连结OA、OB. 0NLVOA=OB, M 是 AB 中点.OM丄AB （等腰三角形底边上的中线垂直于底边）同理可得：OM丄CD,从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于OM这与已知的泄理相矛盾。故AB与CD不能互相平分。例2.已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，丄且 MN= 2 （AD+BC）o求证：ADBC假设AD*BC,连结ABD,并设P是BD的中点，再连结NIP、PN。 在AABD中VBM=MA, BP=PD丄 1_AMP= 2 AD,同理可证 PN 2BC

2、1_从而 MP+PN= 2 （AD+BC）这时，BD的中点不在MN上若不然，则由MNAD, MNBC,得ADBC与假设AD*BC矛盾, 于是M、P、N三点不共线。从而MP+PNMN丄 丄由、得2 （AD+BC） MN,这与已知条件MN= 2 （AD+BC） 相矛盾，故假设AD*BC不成立，所以ADBC。课堂练习1.求证：三角形中至少有一个角不大于60。2.求证：一直线的垂线与斜线必相交。已知：设m, n分别为直线I的垂线和斜线（如图），垂足为A,斜足为Bm和n必相交。3.在ZiABC中，AD丄BC于D, BE丄AC于E, AD与BE相交于H,求证：AD与BE不能被点H互相平分。4.求证：直线与

3、圆最多只有两个交点。5.求证：等腰三角形的底角必为锐角。AABC 中.AB=ACZB、ZC必为锐角。1.证明：假设AABC中的ZA. ZB、ZC都大于60。则 ZA+ZB + ZO 3x60= 180这与三角形内角和定义矛盾，所以假设不能成立。故三角形中至少有一个角不大于60%2证明：假设m和n不相交则mnVm 1 An 丄 1这与n是1的斜线相矛盾，所以假设不能成立。故m和n必相交。3.证明：假设AD、BE被交点H互相平分，则ABDE是平行四边形。.AEBD,即 ACBC这与AC、BC相交于C点矛盾，故假设AD、BE被交点H平分不能成立。所以AD与BE不能被点H互相平分。4.证明：假设一直线

4、1与OO有三个不同的交点A、B、C,M、N分别是弦AB、BC的中点。VOA=OB=OC在等腰AOAB和AOBC中OM丄AB, ON丄BC从而过O点有两条直线都垂直于1,这是不可能的，故假设不能成立。 所以宜线与圆最多只有两个交点。5.证明：假设ZB、ZC不是锐角，则可能有两种情况：（1）ZB = ZC=90（2）ZB = ZC90若ZB = ZC=90,则ZA + ZB+ZC180。, 这与三角形内角和泄理矛盾。若ZB = ZC,贝ij ZA+ZB + ZC，这与三角形内角和泄理矛盾。所以假设不能成立。故ZB、ZC必为锐角。本讲小结对于一个几何命题，当用直接法证比较困难或甚至不能证明时，则 可

5、采用简接证法，反证法就是一种最常见的间接证明方法、掌握并 使用好这种方法，对思维水平的提升大有裨益。亦所谓反证法，就是先假设命题的结论不成立，从结论的反而入手, 实行准确的逻借推理，导致结果与已知学过的公理、定理，从而得 岀结论的反而不成立，于是原结论成立。和反证法证题的一般步骤是：（1）反设：将结论的反而作为假设：（2）归谬：由“反设“出发，利用已学过的公理、泄理，推出与已知 矛盾的结果；（3）结论：由推岀的矛盾判断“反设”错误，从而肯立命题的结论正 确。使用“反证法“的关键：反证法的主要手段是从求证的结论的反而出发，导岀矛盾的结果,所以，如何导出矛盾，就成了使用反证法的关键。* “反证法“

6、宜用于证明否沱性命题、唯一性命题、“至少“至多“命题和某些逆命题等，一般地说“正难则反“凡是直接法很难证明的命题都可考虑用反证法。课后作业在平而上，不存有这样的凸四边形ABCD,使厶ABC、ABCD.CDA、ADAB都是锐角三角形。2.在AABC 中，AB = AC, P 是内部一点且ZAPBZAPC,求证：PBVPC。在AABC的BC边上任取一点D、AC边上任意取一点E,连结AD、BE,则AD和BE必泄不能互相平分。5.已知AABC为不等边三角形，AD丄BC于D点，求证：D点到AB、AC边的距离必不相等。参考答案:假设存有凸四边形ABCD,使/XABC、ABCD ACDA ADAB都是锐角三

7、角形。 则 ZA+ ZB+ ZC+ ZDPC 或 PB=PC当PBPC时（如图）在APBC 中，可得ZPBCVAB=ACA ZABC=ZACB,从而 ZABPZACP 在ZBAP 与 ZXCAP 中AB=AC, AP=AP, PBPCAZBAPZCAP 由和三角形内角和定理，可得ZAPBZAPC相矛盾。A当PB = PC时，在AAPB与ZAPC中VAP=AP, BP=CP, AB=ACA AABPAACP, A ZAPB=ZAPC 这与已知ZAPBZAPC相矛盾， 由可知假设PBPC不成立。 故 PBPCo不妨设三角形的三个内角为ZA、ZB、ZC 假设ZA、ZB、ZC中设有一个大于或等于60 , 则它们都小于60 o即 ZA60、ZB、ZCr. ZA+ZB+ZC180这与三角形内角和定理矛盾, 这说明假设不成立。故ZA、ZB、ZC中至少有一个大于或等于60假设AD和BE互相平分于P点，则ABDE应是一个平行四边形。所以 AEEB,即 AC/7BC这与AC与BC相交于C点矛盾，故假设AD与BE互相平分不能成立。所以AD和BE必定不能互相平分。作BE丄AB于E, DF丄AC于F假设 DE=DF，则 Z1 = Z2VADBC ZB = 90 一 Z1ZC = 90 Z2ZB=ZCAB=AC这与AABC为不等边三角形矛盾。故假设不能成立，即D点到AB、AC边的距离必不相等。