立体几何中的探索性问题Word文档下载推荐.docx
《立体几何中的探索性问题Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《立体几何中的探索性问题Word文档下载推荐.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
（2）若SDL平面PAC求二面角P-AC-D的大小.
（3）在⑵的条件下，侧棱SC上是否存在一点E,使得BE//平面PAC若
存在，求SEEC的值；
若不存在，试说明理由.
如图所示，在正方体ABC—ABC.D中，M,N分别是
BC中点.
平面BiMNL平面BBDD;
ii
（2）在棱DD上是否存在点P,使BD//平面PMN若确定点P的位置；
若没有，说明理由.
如图所示，在四棱锥P-ABCD中,侧面PADL底面
ABCD侧棱PA=PD*2,底面ABCD^直角梯形，其中
BC//ADAB丄ADAD=2AB=2BC=20为AD中点.
POL平面ABCD
（2）求异面直线PB与CD所成角的大小：
（3）
线段AD上是否存在点Q使得它到平面PCD的距离为仝？
若存在，求出
2
AQDQ的值；
若不存在，请说明理由.
立体几何中探索性问题的向量解法
高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题。
对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决。
立体几何引入空间向量后，可以借助向量工具，使几何问题代数化，降低思维的难度.尤其是在解决一些立体几何中的探索性问题时，更可以发挥这一优势.
本节课主要研究：
立体几何中的存在判断型和位置探究型问题等探索性问题。
一、存在判断型
1、已知空间三点A（-2,0,2）,B（-2,1,2）,C（-3,0,3）.设a=AB,b=AC，是否存在存在实数k,使向量ka+b与ka-2b互相垂直，若存在，求
k的值；
若不存在，说明理由。
解vka+b=k（0,1,0）+（-1,0,1）=（-1,k,1）,ka-2b=（2,k,-2）,
且（ka+b）丄（ka-2b）,
•••（-1,k,1）.（2,k,-2）=k2-4=0.
则k=-2或k=2.
点拨：
第
（2）问在解答时也可以按运算律做.
（ka+b）（ka-2b）二k2a2-ka•b-2b2=k2-4=0，解得k=-2或k=2.
2、如图，已知矩形ABCDPAL平面ABCDMN分别是ABPC的中点，/PDA为，能否确定，使直线MN是直线AB与PC的公垂线？
若能确定，求出的值；
若不能确定，说明理由.
解：
以点A为原点建立空间直角坐标系A-xyz.设
|AD|=2a,|AB|=2b，/PDA=.则A（0,0,0）、B（0,2b,0）、C（2a,2b,0）、D（2a,0,0）、P（0,0,2atan）、M（0,b,0）、N（a,b,atan）.
二ab=（0,2b,0）,PC=（2a,2b,-2atan）,mn=（a,
0,atan）.
ab•MN=（0,2b,0）•（a,0,atan）=0,
ab丄mn.即ABlMN.
若MNLPC
则mn•PC=（a,0,atan）•（2a,2b,-2atan）
222
=2a-2atan=0.
.tan2=1,而是锐角.
.tan=1,=45°
.
即当=45°
时，直线MN是直线AB与PC的公垂线.
【方法归纳】对于存在判断型问题，解题的策略一
般为先假设存在，然后转化为“封闭型”问题求解判断，若不出现矛盾，则肯定存在；
若出现矛盾，则否定存在。
这是一种最常用也是最基本的方法.
二、位置探究型
3.
如图所示。
PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2E是PB的中点，DP与AE夹角的余弦值为于。
（1）建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标。
（2）在平面PAD内是否存在一点F,使EFL平面PCB解析：
⑴以DADCDP所在直线分别为x轴、y轴、
z轴，建立空间直角坐标系，设P（0,0,2m）.
则A（2,0,0）、B（2,2,0）、C（0,2,0）、E（1,1,m）,
从而AE=（-1,1,m）,DP=（0,0,2m）.
DPAE=2mDp]|aE|2m&
__
所以E点的坐标为（1,1,1）.
（2）由于点F在平面PAD内,
由EF丄平面PCB得：
EFCB0且EFPC0,
即（x1,1.z1）（2,0,0）0x1
（x1,1.z1）（0,2,2）0z0。
cosDP,AE
所以点F的坐标为（1,0,0）,即点F是DA的中点时，可使EF丄平面PCB.
【方法归纳】点F在平面PAD上一般可设DFtQAt2DP、计算出匕出后，D点是已知的，即可求出F点。
4、在棱长为a的正方体ABCBA^^qD,中，E、F分别是棱BCCC上的点，且BE=CF.
（1）当E、F在何位置时，B1F±
D|E;
（2）是否存在点E、F,使AC丄面CEF?
Pi.
D.
（3）当E、F在何位置时三棱锥q—CEF的体积取得最大值，并求此时
二面角q—EF一C的大小.」|
（1）以A为原点，以AB'
AD、、：
为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设BE=x，则有
因此，占论E、F在何位置均有B1Q1D1E
（2）AC.（a,a,-a）,EG.（0,a・x,a）,Fc1.（x,0,a）,
CEF,贝S“
若AC丄面
盾，故不存在点
（3）%.CEF
a（a・x）・a20
厶-得a0矛ax・a0
E、F使AC丄面C1EF
_a
_6
-（x-2）2
当x-时，三棱锥Ci—CEF的体积最大，这时，
■2
F分别为BGCD的中点。
连接AC交EF于G,则AC丄EF,由三垂线定理知:
GG丄EF
：
』GGC是二面角G-EF-C的平面角.，
【方法归纳】立体几何中的点的位置的探求经常借助于空间向量，引入参数，综合已知和结论列出等式,体几何中的点的位置的探求的常用方法.
三、巩固提高
月n
d，
4"
二一—
6
E、
al__
E
解出参数•这是立
D
5、在正三棱柱ABCABC中，所有棱的长度都是2,M是BC边的中点，问：
在侧棱CG上是否存在点N,使得异面直线AB和MN所成的角等于45°
以A点为原点，建立如图9-6-5所示的空间右手直角坐标系A—xyz.
因为所有棱长都等于2,所以
A（0,0,0）,C（0,2,0）,BU3,1,0）,
B（3,1,2）,m（¥
3,°
）.
点N在侧棱CC上，可设N（0,2,m）（0<
me2）,则AB1=（.3,1,2）,MN=（3,1,m）,
22
于是|ABi|=242,|MN|=Jm21,ABi•MN=2m-1.
如果异面直线AB和MN所成的角等于45°
那么向量
AB1和MN的夹角是45°
或135°
而cosvAB1,
AB?
MN2m1
MN>
=|AB1|?
|MN|=2.2?
.m21
2m1
以22?
」m$1=±
3
m=-4,这与0eme2矛盾.
因为底面ABCD^菱
即在侧棱CC上不存在点N,使得异面直线AB和MN所成的角等于45°
6、（湖南高考•理）如图，在底面是菱形的四棱锥
P—ABCD中,/ABC=60,PA=AC=,PB=PD=2a,点E在PD上,且PE:
ED=2:
1.
（I）证明PAL平面ABCD
（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的
大小；
（皿）在棱PC上是否存在一点F,使BF（I）证明
形，/ABC=60,
所以AB=AD=A（a=在厶PAB中,由P^+AB=2a2二PB知PALAB.
同理，PALAD所以PAL平面ABCD.
（H）解作EG知EGL平面ABCD作GHLAC于H,连结EH，则EHLAC/EHG即为二面角的平面角.
又PE:
ED=2:
1,所以EG^a,AG2a,GHAGsin603a.
333
EG3“
从而tan,30.
GH3
（皿）解法一以A为坐标原点，直线ADAP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为
1
由EM-PEED,知E是MD的中点.
连结BMBD设BDAC=O贝卩O为BD的中点.
所以BM②
由①、②知，平面BFM又BF平面BFM所以BF证法二
因为BFBC1CPAD1（CDDP）22所以BF、Ae、Ac共面.
_又巧平面ABC从而BF【方法归纳】点F是线PC上的点，一般可设PFPC，求出值，P点是已知的，即可求出F点
高考复习课：
立体几何中探索性问题的向量解法本节课主要研究：
1.已知空间三点A（-2,0,2）,B（-2,1,2）,C（-3,0,3）.设a=AB,b=AC，是否存在存在实数k,使向量ka+b与ka-2b互相垂直，若存在，求k的值；
2.如图，已知矩形ABCDPAL平面ABCDMN分别是ABPC的中点，/PDA为，能否确定，使直线MN是直线AB与PC的公垂线？
【方法归纳】：
3.如图所示。
PD垂直于正方形ABCC所在平面，AB=2E是PB的中点,
在平面PAD内是否存在一点F,使EF丄平面PCB
4.在棱长为a的正方体ABCBA1B1C1D1
F分别是棱BCCDh的点，且BE=CF.
DjE;
（3）当E、F在何位置时三棱锥C|-CEF积取得最大值，并求此时二面角q—EF—C的大
2、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩丄底面ABCDPA=AB=jAD=/3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.
（1）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由.
为45。
【方法归纳】
5.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱的长度都是
2,M是BC边的中点，问：
在侧棱CC上是否存在点N,使得异面直线AB和MN所成的角等于45°
6.（湖南高考•理）如图，在底面是菱形的四棱锥
P—ABCD中，/ABC=60,PA二ACa,PB=PD=2a,点E在PD上，且PE:
（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；
（皿）在棱PC上是否存在一点F,使BF
升级会员 