三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质58172Word文件下载.docx

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2、P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心.

证明：

∵G是△ABC的重心

∴，即

由此可得.（反之亦然（证略））

3、已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的重心.

例1若为内一点，，则是的（）

A．内心B．外心C．垂心D．重心

二、垂心

1、是的垂心

若是（非直角三角形）的垂心，则

故

2、H是面内任一点，点H是△ABC的垂心.

由,

同理，.故是的垂心.（反之亦然（证略））

3、是所在平面上一点，若，则是的垂心．

由，得，即，所以．同理可证，．

∴是的垂心．如图1.

4、已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心．

例2P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（）

A．外心　B．内心　C．重心　D．垂心

三、内心

1、是的内心的充要条件是

引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记的单位向量为，则刚才是的内心的充要条件可以写成

2、是的内心的充要条件也可以是。

3、若是的内心，则

故　或者;

4、已知为所在平面上的一点，且，，．若，则是的内心．

∵，，则由题意得，

∵，

∴．

∵与分别为和方向上的单位向量，

∴与平分线共线，即平分．

同理可证：

平分，平分．从而是的内心，如图。

5、已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的内心．

由题意得，

∴当时，表示的平分线所在直线方向的向量，故动点的轨迹一定通过的内心，如图。

例3平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P点的轨迹一定通过的（）

（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心

四、外心

1、是的外心,若O是的外心则

故。

2、已知是所在平面上一点，若，则是的外心．

若，则，∴，则是的外心，如图1。

3、已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心，如图2。

例4若为内一点，，则是的（）

关于“xx定理”的一些问题：

著名的“xx定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：

（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“xx线”；

（2）三角形的重心在“xx线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。

例5在△ABCxx，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。

求证：

Q、G、H三点共线，且QG:

GH=1:

2。

以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。

设A（0,0）、B（x1,0）、C（x2,y2），D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：

由题设可设,

即，故Q、G、H三点共线，且

例6．若O、H分别是△ABC的外心和垂心.求证.

证明

若△ABC的垂心为H，外心为O，如图.

xxBO并延长交外接圆于D，xx结AD，CD.

∴，.又垂心为H，，，

∴AH∥CD，CH∥AD，

∴四边形AHCD为平行四边形，

∴，故.

“xx定理”简化：

例7设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心.求证

按重心定理G是△ABC的重心

按垂心定理

由此可得.

补充练习一：

1．已知是平面上不共线的三点，是的重心，动点P满足

=（++2）,则点P一定为（）

A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点（非重心）

C.重心D.AB边的中点

2．在同一个平面上有及一点Ｏ满足关系式：

，则Ｏ为的（）

A外心B内心C重心D垂心

2．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：

，

则P为的（）

Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心

3．已知O是平面上一 

定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：

，则P的轨迹一定通过△ABC的（ 

）

4．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：

，则P点为三角形的（）

5．已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：

，则P点为三角形的（ 

6．在三角形ABCxx，动点P满足：

，则P点轨迹一定通过△ABC的：

（）

7.已知非零向量与满足，则为

A.xx均不相等的三角形B.直角三角形

C.等腰非等边三角形D.等边三角形

8.的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m=。

9.点O是所在平面内的一点，满足，则点是的（）

A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的点

C三条中线的交点D三条高的交点

10.已知点G是的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且，，则。

证点G是的重心，知O，

得O，有。

又M，N，G三点共线（A不在直线MNxx），

于是存在，使得，

有=，

得，于是得。

补充练习二：

1、已知O是△ABC内的一点，若，则O是△ABC的〔〕

A、重心B、垂心C、外心D、内心

2、在△ABCxx，有命题①；

②；

③若，则△ABC为等腰三角形；

④若，则为锐角三角形，上述命题xx正确的是〔〕

A、①②B、①④C、②③D、②③④

3、已知△ABCxx，有和,试判断△ABC的形状。

4、已知△ABCxx，，，B是△ABCxx的最大角，若，试判断△ABC的形状。

5、已知O是△ABC所在平面内的一点，满足

，则O是△ABC的〔〕

6、已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足，则动点P一定过△ABC的〔〕

7、已知O为平面内一点，A、B、C平面上不共线的三点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过△ABC的〔〕

8、已知O是△ABC所在平面内的一点，动点P满足

，则动点P一定过△ABC的〔〕

9、已知O是△ABC所在平面内的一点，动点P满足

10、已知点G是的重心，过G作直线与AB、AC分别相交于M、N两点，且，求证：

补充练习三：

2、若△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且，则等于〔〕

A、B、0C、1D、

3、已知O是△ABC所在平面上的一点，A、B、C、所对的过分别是a、b、c若，则O是△ABC的〔〕

4、已知P是△ABC所在平面内与A不重合的一点，满足，则P是△ABC的〔〕

5、平面上的三个向量、、满足，求证：

△ABC为正三角形。

6、在△ABCxx，O为xx线AM上的一个动点，若AM＝2，求