三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质58172Word文件下载.docx

1、2、 P是ABC所在平面内任一点.G是ABC的重心.证明： G是ABC的重心，即由此可得.（反之亦然（证略）3、已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则的轨迹一定通过的重心.例1 若 为内一点， ，则 是 的（）A内心B外心C垂心D重心二、垂心1、是的垂心若是（非直角三角形）的垂心，则故2、H是面内任一点，点H是ABC的垂心.由,同理，.故是的垂心. （反之亦然（证略）3、是所在平面上一点，若，则是的垂心由，得，即，所以同理可证，是的垂心如图1.4、已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的垂心例2 P是ABC所在平面上一点，若，则P是ABC的

2、（）A外心 B内心 C重心 D垂心三、内心1、是的内心的充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记的单位向量为，则刚才是的内心的充要条件可以写成2、是的内心的充要条件也可以是。3、若是的内心，则故或者;4、已知为所在平面上的一点，且， 若，则是的内心，则由题意得，与分别为和方向上的单位向量，与平分线共线，即平分同理可证：平分，平分从而是的内心，如图。5、已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的内心由题意得，当时，表示的平分线所在直线方向的向量，故动点的轨迹一定通过的内心，如图。例3 平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P点的

3、轨迹一定通过的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心四、外心1、是的外心,若O是的外心则故。2、 已知是所在平面上一点，若，则是的外心若，则，则是的外心，如图1。3、已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的外心，如图2。例4 若 为内一点，则 是 的（）关于“xx定理”的一些问题：著名的“xx定理”讲的是锐角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线“xx线”；（2）三角形的重心在“xx线”上，且为外垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。例5 在ABCxx，已知Q、G、H分别是三角形的

4、外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A（0,0）、B（x1,0）、C（x2,y2），D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：由题设可设,即，故Q、G、H三点共线，且例6若O、H分别是ABC的外心和垂心.求证 .证明若ABC的垂心为H，外心为O，如图.xxBO并延长交外接圆于D，xx结AD，CD.，.又垂心为H，AHCD，CHAD，四边形AHCD为平行四边形，故.“xx定理”简化：例7 设O、G、H分别是锐角ABC的外心、重心、垂心.求证按重心定理 G是ABC的重心按垂心定理由此可得 .补充练习一：

5、1已知是平面上不共线的三点，是的重心，动点P满足= （+2）,则点P一定为（ ）A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB边的中点2在同一个平面上有及一点满足关系式：，则为的（）A 外心B 内心C 重心D 垂心2已知ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：，则P为的（ ） 外心 内心C 重心D 垂心3已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：，则P的轨迹一定通过ABC的（）4已知ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：，则P点为三角形的（）5已知ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：，则P点为三角形的（6在三角形

6、ABCxx，动点P满足：，则P点轨迹一定通过ABC的：（ ）7.已知非零向量与满足， 则为A.xx均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形8.的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m = 。9.点O是所在平面内的一点，满足，则点是的（）A 三个内角的角平分线的交点 B 三条边的垂直平分线的点C 三条中线的交点D 三条高的交点10. 已知点G是的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且，则。证点G是的重心，知O，得O，有。又M，N，G三点共线（A不在直线MNxx），于是存在，使得，有=，得，于是得。补充练习二：1、已知O是ABC内的一点，若，则O

7、是ABC的 A、重心B、垂心C、外心D、内心2、在ABCxx，有命题；若，则ABC为等腰三角形；若，则为锐角三角形，上述命题xx正确的是 A、B、C、D、3、已知ABCxx，有和,试判断ABC的形状。4、已知ABCxx，B是ABCxx的最大角，若，试判断ABC的形状。5、已知O是ABC所在平面内的一点，满足，则O是ABC的 6、已知P是ABC所在平面内的一动点，且点P满足，则动点P一定过ABC的 7、已知O为平面内一点，A、B、C平面上不共线的三点，动点P满足，则动点P 的轨迹一定通过ABC的 8、已知O是ABC所在平面内的一点，动点P满足，则动点P一定过ABC的 9、已知O是ABC所在平面内的一点，动点P满足10、已知点G是的重心，过G作直线与AB、AC分别相交于M、N两点，且，求证：补充练习三：2、若ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且，则等于 A、B、0C、1D、3、已知O是ABC所在平面上的一点，A、B、C、所对的过分别是a、b、c若，则O是ABC的 4、已知P是ABC所在平面内与A不重合的一点，满足，则P是ABC的 5、平面上的三个向量、满足，求证：ABC为正三角形。6、在ABCxx，O为xx线AM上的一个动点，若AM2，求