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思路2.（直接引入）利用多媒体打出教材前言中的几列数•这是与集合中的元素不同的一列数，有一定的次序，告诉学生这就是我们要研究的数列，由此直接进入新课.
推进新课
新知探究
提出问题
1阅读课本章头图，列出前5个月中每个月兔子的总对数•
2每个同学取一张纸对折，假设纸的原来厚度为1个长度单位，面积为1个面积单
位，那么随着依次对折的次数增加，它的厚度和每层纸的面积分别是多少？
3怎样理解数列？
与集合有什么不同？
什么是数列的项？
怎样表示数列a1,a2,a3,…,
an,…？
4你能举出身边的哪些数列？
5怎样对数列分类？
什么是有穷数列？
什么是递增数列？
6怎样理解数列与函数的关系？
7什么是数列的通项公式？
8数列有哪些简单的表示方法?
活动：
教师引导学生阅读课本章头的插图，直观感知大自然是懂数学的，激起进一步探
究的欲望.通过阅读课本，知道三角形数是1,3,6,10，….由于这些数都能够表示成三角形，
就将其称为三角形数，知道正方形数是1,4,9,16，….由于这些数都能够表示成正方形，所以
被称为正方形数.教师将两列数用课本演示出来，引导学生观察它们的共同特征.接下来让
2,4,8,16，…，256,…；
随着对折
学生折纸可得到两列数，随着对折数的增加，厚度依次为
1
256，
1111
数的增加，面积依次为厅，J云，花,
24816
教师引导学生阅读课本并弄清有穷数列、无穷数列的概念，之后提出问题：
相同的一组
数按不同顺序排列时，是否为同一个数列？
一个数列中的数可以重复吗？
0,0,0，…，0,…
是数列吗？
让学生结合数列的概念进行辨析•显然，根据数列的概念1,2,3;
2,3,1是两个不
同的数列.0,0,0，…，0，…也是数列.这点与集合不同.集合讲究无序性、互异性、确定性，而数列强调有顺序，且同一数字可重复•也就是说数列具有确定性、有序性、可重复性，这样根据数列的每一项随序号变化的情况可以对数列进行分类，按项数多少可分为有穷数列、无穷数列；
按各项的变化规律可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列.
根据以上探究，数列中的数与它的序号是一种怎样的关系呢？
序号可看作是自变量，数
列中的项可看作是随之变动的量•这就让我们联想到了函数，认识到数列也是函数，是一种
特殊的函数，特殊到自变量只能取非零自然数.如数列2,4,8,16，…，256，…中，项与序号
之间的对应关系如下：
项
2
4
8
16
32
J
序号
3
5
一般形式则为
a1
a2
a3
an
n
由此得出，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2,3，…，n｝）
的函数an=f（n），当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数y=
f（x），如果f（i）（i=1、2、3、4、…）有意义，那么我们可以得到一个数列f
（1）,f
（2）,f（3），…,f（n），….
因此，如果数列｛an｝的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就
叫做这个数列的通项公式.
函数与数列的比较（由学生完成此表）:
函数
数列（特殊的函数）
定义域
R或R的子集
N或它的有限子集{1,2，…，n}
解析式
y=f（x）
an=f（n）
图象
点的集合
一些离散的点的集合
关于数列的表示方法，与函数一样，数列也可以用图象法、列表法等方法来表示•由于
数列中的自变量只能取正整数，所以其图象应是一系列孤立的点•例如上面问题中提出的函
数y=2x，当x依次取1,2,3，…时，我们可以得到函数值构成的数列2,4,6，…，2n，…,
这个数列还可用列表法与图象法表示如下：
k
an
6
2k
对于数列的图象法表示，我们可仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数n
为横坐标，相应的项an为纵坐标，即以（n,an）为坐标在平面直角坐标系中作出点（以前面提到
111
的数列1,2,3,4,…为例，作出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因
为横坐标为正整数，所以这些点都在y轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数•从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.
讨论结果：
（1）1,1,235
（3）按照一定次序排列起来的一列数叫做数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.数
列的一般形式可以写成ai,a2,a3,…，an,…，又可简记为{an}.
（7）数列的通项公式也就是相应的函数的解析式.
（8）数列的几种简单表示方法有通项公式法（解析式法）、列表法和图象法.
⑵（4）（5）（6）略.
应用示例
例1（教材本节例2）
本例3个小题，都要通过观察，并分析数的性质，有一定难度•教师可引领学生
一起分析，然后由学生完成.同时要让学生领悟题目中为什么要求写出“一个”通项公式.如
第2小题奇数项为0,偶数项为2,显然具备这种特点的数学式子不是唯一的.
点评：
解完本例后要让学生领悟，这种由数写出数列前几项的题目，解决的关键是找出
这列数与序号之间呈现的规律性的东西•然后通过归纳写出这个数列的通项公式•但要注意，
根据数列的若干项写出通项公式的形式可能不是唯一的•如本例中的2学生可能就有以下几
因此教师可就此点拨学生：
由函数的观点可知，数列的通项公式实质上就是函数的对应法则的解析式表示，而我们知道函数的对应法则并不是都能用解析式表示出来的，因此也不是所有的数列都能写出通项公式来，即使存在通项公式也不一定唯一.
变式训练
根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
（1）
，…；
（4）2,-6,12,
3,5,7,9,11，…；
（2）0,1,0,1,0,1，…；
（3）133,5,5,7,7,9,9
—20,30，-42,
（3）将数列变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,…,
1+
an=n+
（4）将数列变形为1X2,—2X3,3X4,—4X5,5X6,…,
•'
•an=（—1）n（n+1）.
例2（教材本节例3）
教材设计本例的目的是为了加强数列与函数的联系，用研究函数性质的方法研究
数列的性质•这一点非常重要，应引起学生的极大重视•本例中的第1问实际上就是函数的
有界性，第2问的递增递减数列就是函数的单调性•教师与学生一起分析后，可由学生自己完成.
解完本例后，可让学生结合思考与讨论，总结本例的思想方法•因为这一点学通
了，后面的内容就好学了.
2345
写出数列1,；
匚，77?
，石，…的通项公式，并判断它的增减性.
471013
解：
数列的通项公式为an=J,
3n—2
这说明每相邻的两项中，后项小于前项，由此可知数列为递减数列.
例3写出下面数列的一个通项公式:
2n
（2）
an=-.
1nn
（3）an=-sin-
、10101010
原数列可写成；
，$,—：
；
?
，-3，?
…，这样分母依次为1,2,3，…，而分子依
12345678
次为1,0，—1,0，由此想到三角函数.
以下通项公式中，不是数列3,5,9，…的通项公式的是（）
n2
A.an=2+1B.an=n—n+3
答案：
D
例4求数列｛—2n2+9n+3｝中的最大项.
教师首先引导学生熟悉这个数列，即是10,13,12，…，—2n2+9n+3,…，其通
项公式为an=—2n2+9n+3,可以看出an与n构成二次函数，可完全类比二次函数求最值的方法，但要注意这里n€N*这一隐含条件.
292105
由题意，知an=—2n+9n+3=—2（n—4）+&
.
Tn为正整数，由二次函数的图象和性质，知
当n=2时，an取到最大值13.
•••数列｛—2n2+9n+3｝中的最大项为a2=13.
数列的项与项数之间构成特殊的函数关系.在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意到函数的定义域为正整数集这一约束条件.
已知数列｛an｝的通项公式为an=log2（n2+3）—2,那么log23是这个数列的第
项.
例5图中的三角形称为谢宾斯基（Sierpinski）三角形.在下图四个三角形中，着色三角
形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中
画出它的图象.
图3
如题图，这四个三角形中着色三角形的个数依次为1,3,9,27，则所求数列的前4项
都是3的指数幕，指数为序号减1，所以这个数列的一个通项公式是an=3n—1.
该数列在直角坐标系中的图象如下图.
本例是用通项公式和图象两种方法表示谢宾斯基三角形中着色三角形个数构成的数列•解完此题后，让学生总结数列的表示方法.
根据下图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有个
占
八、、♦
n2—n+1
解析：
经观察，第n个图中间1个点向n个方向发散，每个方向上另有（n—1）个点，所
以第n个图中点的总个数为n（n—1）+1=n2—n+1.
知能训练
1•写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是：
（1）1,8,27,64，…；
（2）」3,3,15,21,….
2.已知数列｛an｝的通项公式为an=n（n+1），则380是这个数列的第项.
1.
（1）an=n3;
（2）an=；
32n—1.
2.由380=n（n+1）,n€N*，可解得n=19.
课堂小结
1.由学生总结本节课所学习的主要内容：
数列的有关概念；
根据数列的前几项写出数列的通项公式，反过来，根据数列的通项公式求其任意一项；
数列与函数的关系.
2.通过知识性的小结，尽快地把课堂探究的知识转化为学生的素质能力；
通过特殊到一般、类比等思想方法的运用，更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和作用.并通过章头插图的阅读与理解，更加热爱大自然、保护大自然.
作业
课本本节习题2—1A组1〜6;
习题2—1B组1〜3.
设计感想
本教案设计遵循学生的认知规律，体现新课标理念.设计的教学方法是让学生自主探究，呈现“现实情境一一数学模型一一应用于现实问题”的特点.让学生通过观察、分析、归纳、猜想，培养学生主动探究的精神.感受到大自然的神奇与奥妙，激发热爱大自然的热情，并自发保护大自然，真切领悟到大自然才是我们人类智慧的源泉.
本教案设计体现对学生发散性思维的培养，本节的难点之一就是由数列的前几项写出它的一个通项公式，这个通项公式不是唯一的•设计中鼓励学生根据所学知识，充分施展种种奇思妙想，最大限度地开挖学生的潜能.
本教案的设计加强了数学思想方法的运用，这也是本章的特色，可以说本章简直就是数学思想方法的王国•如不把握好这一点，正如入宝山而空手回•如类比思想、归纳思想及特殊到一般的思想方法等.
备课资料
备用习题
1.数列3,7,13,21,31，…的通项公式是（）
32只
A.an=4n—1B.an=n—n+n+2
2,
C.an=n+n+1D.不存在
2.根据下面数列｛an｝的通项公式，写出前5项：
nn
（1）an=市;
（2）an=（—1）•n.
11
（1）*1，—2,3，
（2）2,0,2,0.
4.数列｛an｝中,
.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
「4；
a1=1,对所有的n》2都有a1•a2•a3an=n，贝Ua3+as的值是
3•解:
（1）an
n+1
；
（2）an=（—1）n+1+1.
61
4.—
解析:
2222
•a侶2=2,a〔a2a3=3,a1923334=4,a〔a2a3a4a5=5,
5261
•a3+a5=夕+歹=仍.
5.解：
⑴设f（n）
9n—9n+23n—2
9n—1
3n+1'
令n=10,得91o=f（10）=算
3n—298
⑵令时=而，得9n=300,⑶证明：
「an=3^=1-為，又；
n€N,•Ov£
v1.
3n+1•••Ovanv1.
人13n—22
⑷令3Van=时V3.
3n+1<
9n—6,
9n—6<
6n+2,
7
n>
6，
78
•6vnv3.
•・当且仅当n=2时上式成立.
故区间（1，|）上有数列中的项，且只有一项为a2=7.
（设计者：
周长峰）
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。
或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其目的也只不过是不
知道不能实现？
幸福都是奋斗出来的。
那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。
但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于“我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？
生命不止，奋斗不息！
又或者，对于很多优秀的人来说，我们奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。
可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!
“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒
来。
”当我们坦然接受这人生的终局，或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。
一生有多少属于我们的时光？
陌上的花，落了又开了，开了又落了。
无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。
童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。
不知不觉中，走过了青春年少，走过了人世间风风雨雨。
爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！
生老病死是自然规律。
所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。
这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！
这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！
当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；
当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了对未来美好生活的憧憬。
没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。
波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。
见过了各样的人生：
有的轻浮，有的踏实；
有的喧哗，有的落寞；
有的激扬，有的低回。
肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的藩篱。
也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。
其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的沙子，也有自己精彩的乾坤。
如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？
还去抱怨什么？
还要烦恼什么？
未曾生我谁是我？
生我之时我是谁？
长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？
一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。
你在与不在，太阳每天都会照常升起；
你愁与不愁，生活都将要继续。
时光不会因你而停留，你却会随着光阴而老去。
有些事情注定会发生，有的结局早已就预见，那么就改变你可以改变的，适应你必须去适应的。
面对幸与不幸，换一个角度，改变一种思维，也许心空就不再布满阴霾，头上就是一片蔚蓝的天。
一生能有多少属于我们的时光，很多事情，很多人已经渐渐模糊。
而能随着岁月积淀下来，在心中无法忘却的，一定是触动心灵，甚至是刻骨铭心的，无论是伤痛是欢愉。
人生无论是得意还是失意，都不要错过了清早的晨曦，正午的骄阳，夕阳的绚烂，暮色中的朦胧。
经历过很多世态炎凉之后，你终于能懂得：
谁会在乎你？
你又何必要别人去在乎？
生于斯世，赤条条的来，也将身无长物的离开，你在世上得到的，失去的，最终都会化作尘埃。
原本就不曾带来什么，所以也谈不到失去什么，因此，对自己经历的幸与不幸都应怀有一颗平常心有一颗平常心，面对人生小小的不如意或是飞来横祸就能坦然接受，知道人有旦夕祸福，这和命运没什么关系；
有一颗平常心，面对台下的鲜花掌声和头上的光环，身上的浮名都能清醒看待。
花不常开，人不常在。
再热闹华美的舞台也有谢幕的时候；
再奢华的宴席，悠扬的乐曲，总有曲终人散的时刻。
春去秋来，我们无法让季节停留；
同样如同季节一样无法挽留的还有我们匆匆的人生。
生养我们的父母。
纵使我们有千般不是，纵使我们变成了穷光蛋，唯有父母会依然在乎！
为你愁，为你笑，为你牵挂，为你满足。
这风云变幻的世界，除了父母，不敢在断言还会有谁会永远的在乎你！
看惯太多海誓山盟的感情最后星流云散；
看过太多翻云覆雨的友情灰飞烟灭。
你春风得意时前呼后拥的都来锦上添花；
你落寞孤寂时，曾见几人焦急赶来为你雪中送炭。
其实，谁会在乎你？
除了父母，只有你自己。
父母待你再好，总要有离开的时日；
再恩爱夫妻，有时也会劳燕分飞，孩子之于你，就如同你和父母；
管鲍贫交，俞伯牙和钟子期，这样的肝胆相照，从古至今有几人？
不是把世界想的太悲观，世事白云苍狗，要在纷纷扰扰的生活中，懂得爱惜自己。
不羡慕如昙花一现的的流星，虽然灿烂，却是惊鸿一瞥；
宁愿做一颗小小的暗淡的星子，即使不能同日月争辉，也有自己无可取代的位置其实，也不该让每个人都来在乎自己，每个人的人生都是单行道，世上绝没有两片完全相同的树叶。
大家生活得都不容易，都有自己方向。
相识就是缘分吧，在一起的时候，要多想着能为身边的人做点什么，而不是想着去得到和索取。
与人为善，以直报怨，我们就会内心多一份宁静，生活多一份和谐没有谁会在乎你的时候，要学会每时每刻的在乎自己。
在不知不觉间，已经走到了人生的分水岭，回望过去生活的点滴，路也茫茫，心也茫茫。
少不更事的年龄，做出了一件件现在想来啼笑皆非的事情：
斜阳芳草里，故作深沉地独对晚风夕照；
风萧萧兮，渴望成为一代侠客；
一遍遍地唱着罗大佑的《童年》，期待着做那个高年级的师兄；
一天天地幻想，生活能轰轰烈烈。
没有刀光剑影，没有死去活来，青春就在浑浑噩噩、懵懵懂懂中悄然滑过。
等到发觉逝去的美好，年华的可贵，已经被无可奈何地推到了滚滚红尘。
从此，青春就一去不回头。
没有了幻想和冲动，日子就像白开水一样平淡，寂寞地走过一天天，一年年。
涉世之初，还有几分棱角，有几许豪情。
在碰了壁，折了腰之后，终于明白，生活不是童话，世上本没有白雪公主和青蛙王子，原本是一张白纸似的人生，开始被染上了光怪陆离的色彩。
你情愿也罢，被情愿也罢，生存，就要适应身不由己，言不由衷的生活。
人到中年，突然明白了许多：
人生路漫漫，那是说给还不知道什么叫人生的人说的，人生其实很短暂，百年一瞬间；
世事难预料，是至理名言，这一辈子，你遇见了谁，擦肩而过了谁，谁会是你真心的良朋益友，谁会和你牵手相伴一生，都是最初估计不到的；
没有跨不过去的坎，只有走不出的心。
人生天地间，渺小的如蝼蚁、草芥，即便是叱咤风云的伟人，安息之处亦不过是黄土一抔。
纠结不清的是情感，放不下手的是名利，撒手西归，一切皆是过眼云烟。
为情苦，为名困，为物役，多少参不透生活的人为此劳碌一生，辛苦一世。
走过了无数个平凡的日子，见惯了生离死别的怅惘，知道了“生亦何欢，死亦何惧”其实就是
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