精校版陕西省理数卷文档版有答案普通高等学校招生统一考试.docx
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精校版陕西省理数卷文档版有答案普通高等学校招生统一考试
2015年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)
理科数学
一、选择题
1.设集合,,则
A.B.C.D.
2.某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为
A.167B.137C.123D.93
3.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数,据此函数可知,这段时间水深(单位:
m)的最大值为
A.5B.6C.8D.10
4.二项式的展开式中的系数为15,则
A.4B.5C.6D.7
5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为
A.B.C.D.
6.“”是“”的
A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要
7.对任意向量,下列关系式中u恒成立的是
A.B.C.D.
8.根据右边框图,当输入x为2005时,输出的
A28B10C4D2
9.设,若,,,则下列关系式中正确的是
A.B.C.D.
10.某企业生产甲乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为
A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元
11.设复数,若,则的概率
A.B.C.D.
12.对二次函数(a为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是
A.-1是的零点B.1是的极值点C.3是的极值D.点在曲线上
二、填空(本大题共4小题,每小题5分)
13.中位数1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为
14.若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点,则p=
15.设曲线在点(0,1)处的切线与曲线上点p处的切线垂直,则P的坐标为
16.如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.)
17、(本小题满分12分)的内角,,所对的边分别为,,.向量与平行.
求;
若,求的面积.
18、(本小题满分12分)如图,在直角梯形中,,,,,是的中点,是与的交点.将沿折起到的位置,如图.
证明:
平面;
若平面平面,求平面与平面夹角的余弦值.
19、(本小题满分12分)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为,只与道路畅通状况有关,对其容量为的样本进行统计,结果如下:
(分钟)
25
30
35
40
频数(次)
20
30
40
10
求的分布列与数学期望;
刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.
20、(本小题满分12分)已知椭圆()的半焦距为,原点到经过两点,的直线的距离为.
求椭圆的离心率;
如图,是圆的一条直径,若椭圆经过,两点,求椭圆的方程.
21、(本小题满分12分)设是等比数列,,,,的各项和,其中,,.
证明:
函数在内有且仅有一个零点(记为),且;
设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为,比较与的大小,并加以证明.
请在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑.
22、(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
如图,切于点,直线AO交于,两点,,垂足为.
证明:
;
若,,求的直径.
23、(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,的极坐标方程为.
写出的直角坐标方程;
为直线上一动点,当到圆心的距离最小时,求的直角坐标.
24、(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知关于的不等式的解集为.
求实数,的值;
求的最大值.
参考答案:
一、选择题
1.A2.C3.C4.B5.D6.A7.B8.C9.B10.D
11.D12.A
二、填空题
13.514.15.(1,1)16.1.2
三.解答题
17.(满分12分)
(I)因为,所以,
由正弦定理,得
又,从而,
由于,所以
(II)解法一:
由余弦定理,得
而
得,即
因为,所以.
故ABC的面积为.
解法二:
又正弦定理,得,
从而,
又由,知,所以.
故
所以ABC的面积为.
18.(本小题满分12分)
(I)在图1中,
因为AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,BAD=,所以BEAC
即在图2中,BE,BEOC
从而BE平面
又CDBE,所以CD平面.
(II)由已知,平面平面BCDE,又由
(1)知,BE,BEOC
所以为二面角的平面角,所以.
如图,以O为原点,建立空间直角坐标系,
因为,
所以
得,.
设平面的法向量,平面的法向量,平面与平面夹角为,
则,得,取,
,得,取,
从而,
即平面与平面夹角的余弦值为.
19.(本小题满分12分)
解:
(I)由统计结果可得T的频率分步为
(分钟)
25
30
35
40
频率
0.2
0.3
0.4
0.1
以频率估计概率得T的分布列为
25
30
35
40
0.2
0.3
0.4
0.1
从而(分钟)
(II)设分别表示往、返所需时间,的取值相互独立,且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.
解法一:
.
解法二:
故.
20.(本小题满分12分)
解:
(I)过点(c,0),(0,b)的直线方程为,
则原点O到直线的距离,
由,得,解得离心率.
(II)解法一:
由(I)知,椭圆E的方程为.
(1)
依题意,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且.
易知,AB不与x轴垂直,设其直线方程为,代入
(1)得
设则
由,得解得.
从而.
于是.
由,得,解得.
故椭圆E的方程为.
解法二:
由(I)知,椭圆E的方程为.
(2)
依题意,点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且.
设则,,
两式相减并结合得.
易知,AB不与x轴垂直,则,所以AB的斜率
因此AB直线方程为,代入
(2)得
所以,.
于是.
由,得,解得.
故椭圆E的方程为.
21.(本小题满分12分)
解:
(I)则
所以在内至少存在一个零点.
又,故在内单调递增,
所以在内有且仅有一个零点.
因为是的零点,所以,即,故.
(II)解法一:
由题设,
设
当时,
当时,
若,
若,
所以在上递增,在上递减,
所以,即.
综上所述,当时,;当时
解法二由题设,
当时,
当时,用数学归纳法可以证明.
当时,所以成立.
假设时,不等式成立,即.
那么,当时,
.
又
令,则
所以当,,在上递减;
当,,在上递增.
所以,从而
故.即,不等式也成立.
所以,对于一切的整数,都有.
解法三:
由已知,记等差数列为,等比数列为,则,,
所以,
令
当时,,所以.
当时,
而,所以,.
若,,,
当,,,
从而在上递减,在上递增.所以,
所以当又,,故
综上所述,当时,;当时
请在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑.
22.(本小题满分10分)
解:
(I)因为DE为圆O的直径,则,
又BCDE,所以CBD+EDB=90°,从而CBD=BED.
又AB切圆O于点B,得DAB=BED,所以CBD=DBA.
(II)由(I)知BD平分CBA,则,又,从而,
所以,所以.
由切割线定理得,即=6,
故DE=AE-AD=3,即圆O的直径为3.
23.(本小题满分10分)
解:
(I)由,
从而有.
(II)设,则,
故当t=0时,|PC|取最小值,此时P点的直角坐标为(3,0).
24.(本小题满分10分)
解:
(I)由,得
则解得,
(II)
当且仅当,即时等号成立,
故.