第五讲恒等式的证明Word文档下载推荐.docx

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证因为x+y+z=xyz，所以

左边=x（1-z2-y2-y2z2>

+y（1-z2-x2+x2z2>

+（1-y2-x2+x2y2>

　　　　=（x+y+z>

-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2

　　　　=xyz-xy（y+x>

-xz（x+z>

-yz（y+z>

+xyz（xy+yz+zx>

　　　　=xyz-xy（xyz-z>

-xz（xyz-y>

-yz（xyz-x>

　　　　=xyz+xyz+xyz+xyz

　　　　=4xyz=右边．

说明本例的证明思路就是“由繁到简”．

例2已知1989x2=1991y2=1993z2，x＞0，y＞0，z＞0，且

证令1989x2=1991y2=1993z2=k（k＞0>

，则

　　又因为

　　所以

说明本例的证明思路是“相向趋进”，在证明方法上，通过设参数k，使左右两边同时变形为同一形式，从而使等式成立．5PCzVD7HxA

　　2．比较法

a=b（比商法>

．这也是证明恒等式的重要思路之一．

例3求证：

分析用比差法证明左-右=0．本例中，

这个式子具有如下特征：

如果取出它的第一项，把其中的字母轮换，即以b代a，c代b，a代c，则可得出第二项；

若对第二项的字母实行上述轮换，则可得出第三项；

对第三项的字母实行上述轮换，可得出第一项．具有这种特性的式子叫作轮换式．利用这种特性，可使轮换式的运算简化．jLBHrnAILg

证因为

说明本例若采用通分化简的方法将很繁．像这种把一个分式分解成几个部分分式和的形式，是分式恒等变形中的常用技巧．xHAQX74J0X

全不为零．证明：

　　（1+p>

（1+q>

（1+r>

=（1-p>

（1-q>

（1-r>

．

　　同理

所以（1+p>

说明本例采用的是比商法．

　　3．分析法与综合法

　　根据推理过程的方向不同，恒等式的证明方法又可分为分析法与综合法．分析法是从要求证的结论出发，寻求在什么情况下结论是正确的，这样一步一步逆向推导，寻求结论成立的条件，一旦条件成立就可断言结论正确，即所谓“执果索因”．而综合法正好相反，它是“由因导果”，即从已知条件出发顺向推理，得到所求结论．LDAYtRyKfE

证要证a2+b2+c2=（a+b-c>

2，只要证

a2+b2+c2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc，

只要证ab=ac+bc，

只要证c（a+b>

=ab，

　　只要证

　　这最后的等式正好是题设，而以上推理每一步都可逆，故所求证的等式成立．

说明本题采用的方法是典型的分析法．

例6已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正数，求证：

a=b=c=d．

证由已知可得

a4+b4+c4+d4-4abcd=0，

　　（a2-b2>

2+（c2-d2>

2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0，

2+2（ab-cd>

2=0．

因为（a2-b2>

2≥0，（c2-d2>

2≥0，（ab-cd>

2≥0，所以

　　a2-b2=c2-d2=ab-cd=0，

所以（a+b>

（a-b>

=（c+d>

（c-d>

＝0．

又因为a，b，c，d都为正数，所以a+b≠0，c+d≠0，所以

　　a＝b，c=d．

　　ab-cd=a2-c2=（a+c>

（a-c>

=0，

所以a＝c．故a=b＝c=d成立．

说明本题采用的方法是综合法．

　　4．其他证明方法与技巧

求证：

8a+9b+5c=0．

　　a+b=k（a-b>

，b+c=2k（b-c>

，

　　（c+a>

=3k（c-a>

　　6（a+b>

=6k（a-b>

　　3（b+c>

=6k（b-c>

　　2（c+a>

=6k（c-a>

．以上三式相加，得

+3（b+c>

+2（c+a>

　　=6k（a-b+b-c+c-a>

即8a+9b+5c=0．

说明本题证明中用到了“遇连比设为k”的设参数法，前面的例2用的也是类似方法．这种设参数法也是恒等式证明中的常用技巧．Zzz6ZB2Ltk

例8已知a+b+c=0，求证

　　2（a4+b4+c4>

＝（a2+b2+c2>

2．

分析与证明用比差法，注意利用a+b+c=0的条件．

左-右=2（a4+b4+c4>

-（a2+b2+c2>

2

　　　　=a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2

　　　　=（a2-b2-c2>

2-4b2c2

　　　　=（a2-b2-c2+2bc>

（a2-b2-c2-2bc>

　　　　=[a2-（b-c>

2][a2-（b+c>

2]

　　　　=（a-b+c>

（a+b-c>

（a-b-c>

（a+b+c>

=0．所以等式成立．

说明本题证明过程中主要是进行因式分解．

分析本题的两个已知条件中，包含字母a，x，y和z，而在求证的结论中，却只包含a，x和z，因此可以从消去y着手，得到如下证法．dvzfvkwMI1

证由已知

说明本题利用的是“消元”法，它是证明条件等式的常用方法．

例10证明：

　　（y+z-2x>

3+（z+x-2y>

3+（x+y-2z>

3

　　=3（y+z-2x>

（z+x-2y>

（x+y-2z>

分析与证明此题看起来很复杂，但仔细观察，可以使用换元法．令

y+z-2x=a，①

z+x-2y=b，②

x+y-2z=c，③

　　则要证的等式变为

a3+b3+c3=3abc．

　　联想到乘法公式：

　　a3+b3+c3-3abc=（a+b+c>

（a2+b2+c2-ab-bc-ca>

，所以将①，②，③相加有rqyn14ZNXI

　　a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0，

所以a3+b3+c3-3abc=0，

说明由本例可以看出，换元法也可以在恒等式证明中发挥效力．

例11设x，y，z为互不相等的非零实数，且

x2y2z2=1．

分析本题x，y，z具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的

所以x2y2=1．三元与二元的结构类似．

证由已知有

①×

②×

③得x2y2z2=1．

说明这种欲进先退的解题策略经常用于探索解决问题的思路中．

　　总之，从上面的例题中可以看出，恒等式证明的关键是代数式的变形技能．同学们要在明确变形目的的基础上，深刻体会例题中的常用变形技能与方法，这对以后的数学学习非常重要．EmxvxOtOco

练习五

　　1．已知（c-a>

2-4（a-b>

（b-c>

=0，求证：

2b=a+c．

　　2．证明：

　　（x+y+z>

3xyz-（yz+zx+xy>

　　=xyz（x3+y3+z3>

-（y3z3+z3x3+x3y3>

　　3．求证：

　　5．证明：

　　6．已知x2-yz=y2-xz=z2-xy，求证：

x=y=z或x+y+z=0．

　　7．已知an-bm≠0，a≠0，ax2+bx+c=0，mx2+nx+p=0，求证：

　　（cm-ap>

2=（bp-cn>

（an-bm>

申明：

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