北师大版八年级数学上第一章勾股定理学案整理Word文档下载推荐.docx

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A的面积（单位面积）

B的面积（单位面积）

C的面积（单位面积）

图1－3

图1－4

（2）三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？

___________________________________________

（3）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？

___________________________________-

（4）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？

与同伴进行交流。

结论：

勾股定理：

________________________________________________

我国古代把直角三角形中较短的直角边称为________，较长的直角边称为_________，斜边称为_______。

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么勾股定理表示为____________________。

这个式子还能变形为：

_________________________________

（二）合作交流

刚刚我们是通过数格子的方法探索发现了勾股定理，，那么从刚才探索的过程中，你是怎么得到正方形C的面积的，你能验证勾股定理吗？

A：

在图1-4中以直角三角形的三边为边长分别向外作正方形，你能用此图验证勾股定理吗？

试一下

提示：

（1）

（2）

B：

如图是美国总统Garfield于1876年给出的一种验证勾股定理的办法，你能用它来验证勾股定理吗？

并写出验证过程。

（三）应用探究

1、已知直角三角形的两条直角边长分别是3和4，则斜边长为_______.

2、已知直角三角形的两条直角边长分别是0.6和0.8，则斜边长为_______.

3、在直角三角形中，一条直角边为0.5，斜边长为1.3，则另一条直角边长为_________.

4、斜边为17厘米、一条直角边长15厘米的直角三角形的面积是

5、求左图中字母所代表的正方形的面积

三、学习体会

本节课你有哪些收获？

你还有哪些疑惑？

__________________________________________________________________________________

四、达标检测：

1．求出下列直角三角形中未知边的长度。

2．在Rt△ABC中，∠C＝900，已知AB=13，AC=12，那么BC＝______。

3．在Rt△ABC中，∠C＝900，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c。

（1）已知a=b=5，则C2=____________；

（2）已知c=17，b=15，则a=_________；

（3）已知a：

b=3：

4，且c=10，则a=__________；

b=________；

五、问题解决：

1、在Rt△ABC中，∠C＝900，已知AB=1.3，AC=1.2，那么BC＝______。

2、在Rt△ABC中，∠C＝900，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c。

（1）已知a=5，b=12，则C2=____________；

（2）已知c=17，b=5，则a=_________；

（3）已知a＝3，b=4，则c=__________；

三角形的面积为________；

（4）已知a：

b=__________.

六、拓展提高：

1、在Rt△ABC中，∠C＝900，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，

（1）已知a：

4，其中三角形的周长为24，则三角形的面积为_______.

（2）已知a+c=24，b=12，则a=__________；

c=________；

2、如图所示，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处。

旗杆折断之前有多高？

六、课后作业：

（一）.选择题

1.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）

A.25B.14C.7D.7或25

2.若线段a，b，c组成Rt△，则它们的比为（）

A.2∶3∶4B3∶4∶6C.5∶12∶13D.4∶6∶7

3.已知Rt△ABC中，∠C＝90°

，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（）

A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60cm2

4.三角形的三边长为（a+b）2＝c2+2ab，则这个三角形是（）

A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形

5.已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）

A.6cm2B.8cm2C.10cm2D.12cm2

8、已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（　　）

A.25海里B.30海里

C.35海里D.40海里

（二.）填空题

1.在Rt△ABC中，∠C＝90°

，①若a＝5，b＝12，则c＝___________；

②若a＝15，c＝25，则b＝___________；

③若c＝61，b＝60，则a＝__________；

④若a∶b＝3∶4，c＝10，则SRt△ABC＝________。

2.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。

3.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m。

4.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。

5.在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。

另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_________________________米。

（三.）解答题

1.如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？

2.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。

1.1探索勾股定理

（2）

学习目标：

1、掌握勾股定理。

2、能熟练地运用勾股定理解决实际问题,增强解决问题的能力。

学习过程：

一、学前准备

1、基础回顾：

在Rt△ABC中，∠C=90°

，则三角形三边AB、AC、BC之间有什么等量关系：

其中勾是，股是，弦是。

2、勾股定理的几种验证方法：

3、尝试练习

（课本p9例1）我方侦察员小王在距离东西向公路4000米处侦察，发现一辆敌方飞机在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，发现汽车与他相距4000米，20秒后，汽车与他相距5000米，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？

二、课内学习

（一）自主尝试

1、如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M,O,Q三城市的沿江高速，已知沿江高速的建设成本是100万元/千米，该沿江高速的造价预计是多少？

1、（P15随堂练习1）一个直角三角形的斜边为20cm，且两条直角边的长度为3：

4，求两直角边的长。

2、如图，一个25m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24m，如果梯子的顶端A沿墙下滑4m，那么梯子底端B也外移4m吗？

1、如图，受台风麦莎影响，一棵高18m的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵树折断后有多高？

三、自我测试

1、求图中直角三角形中未知的长度:

b=__________,c=____________.

第1题图

第5题图

2、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20分钟到家，小红和小颖家的距离为（）

A、600米；

B、800米；

C、1000米；

D、不能确定

3、如果梯子的底端离建筑物5米,13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是（）

A、12米B.、13米C.、14米D、15米

4、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩5000米，飞机的速度是

5、有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距3米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米.

6、已知Rt△ABC中，∠C=90°

，若a+b=14cm，c=10cm，求Rt△ABC的面积.

四、问题解决：

1、如图，从电线杆离地面6m处向地面拉一条长10m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远

2、小明从家出发向正北方向走了150米，接着向正东方向走到离家250米远的地方，小明向正东方向走了多远？

3、一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，

（1）这个梯子的顶端距地面有多高？

（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米

4、如图在△ABC中，∠ACB=90º

，CD⊥AB，D为垂足，AC=3cm,BC=4cm.

求

（1）△ABC的面积；

（2）斜边AB的长；

（3）斜边AB上的高CD的长

五、拓展提高：

1、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，求这个三角形的面积

1.2能得到直角三角形吗

一、学习目标：

1、掌握直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理），并能进行简单应用。

2、熟记一些勾股数.

3、理解勾股定理和勾股定理的逆定理之间的区别。

二、直角三角形判定定理：

一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方（即勾股定理）。

反过来如果一个三角形中，有两边的平方和等于第三边的平方，那么这是直角三角形吗？

①直角三角形判定定力：

如果三角形的三边为

，

，满足_____________________，那么这个三角形是直角三角形。

②满足a2+b2=c2的三个_____________，称为勾股数．

思考：

要判定一个三角形是直角三角形，有哪几种方法呢？

三、课堂练习：

［例1］判断以a=10，b=8，c=6为边组成的三角形是不是直角三角形.

解：

∵a2+b2=100+64=164≠c2即a2+b2≠c2，

∴a，b，c不能组成直角三角形

.

请问：

上述解法对吗？

为什么？

练习：

1、下列几组数能否作为直角三角形的三边长？

说说你的理由。

（1）8，15，17；

（2）4，5，6；

　　（3）5，8，10；

　（4）8，39，40

2、如图，哪些三角形是直角三角形，哪些不是，说说你的理由。

［例2］一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量出

了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗？

变式：

四边形ABCD中已知AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，且∠BAD=900，求这个四边形的面积．

［例3］

1、猜想：

如果将直角三角形的三条边扩大相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗？

2、填写下表，并验证你所填的数是否满足“勾股数”

2倍

3倍

4倍

5倍

3,4,5

6,8,10

5,12,13

15,36,39

8,15,17

32,60,68

7,24,25

70,240,250

四、课堂检测：

1、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）

A、1.5，2，3B、7，24，25C、6，8，10D、9，12，15

2、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（）

A、钝角三角形B、直角三角形C、锐角三角形D、不能确定

3、满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）

A、b2=c2－a2B、a∶b∶c=3∶4∶5

C、∠C=∠A－∠BD、∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15

4、如图，已知△ABC中，∠ACB=90°

，以△ABC的边为边

在△ABC外用三个正方形，S1、S2、S3分别表示这三个正方形的面积

，S1=81，S3=225，则S2=_________。

5、如图，供电所李师傅要安装电线杆，按要求，电线杆要与地面垂直，因此，从离地面6m的处向地面拉一条长6.5m的钢绳，现测得地面钢绳固定点A到电线杆底部B的距离为2.5m，请问：

张师傅的安装方法是否符合要求？

请说明理由．

6、已知：

在△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm.求证：

AB=AC

课后练习

1、如果三条线段a、b、c满足

，这三条线段组成的三角形是（）

A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等腰三角形

2、a、b、c是△ABC的三边，①a=5,b=12,c=13②a=8,b=15,c=17③a∶b∶c=3∶4∶5④a=15,b=20,c=25上述四个三角形中直角三角形有（）

A、1个B、2个C、3个D、4个

3、满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的

是（）

A.三内角之比为1∶2∶3B.三边长的平方之比为1∶2∶3

C.三边长之比为3∶4∶5D.三内角之比为3∶4∶5

4、一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为（）

A、13B、5C、13或5D、无法确定

5、若一个三角形的三边长的平方分别为：

32，42，x2则此三角形是直角三角形的x2的值是（）

A.42B.

52C.7D.52或7

6、小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地．小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是 

．

7、如图，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=

AD，试判断△EFC的形状.

8、在△ABC中，已知a=15，b=17，c=8，则△ABC的面积是多少？

9、如图所示的一块草地，已知AD=4m,CD=3m,AB=12m,BC=13m,且∠CDA=900,

求这块草地的面积。

1.3蚂蚁怎样走最近

一、知识回顾：

1．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ 

）

A．2，3，4 

B．3，4，6 

C．5，12，13 

D．4，6，7

2.三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）

A．a:

b:

c=8∶16∶17B．a2-b2=c2

C．a2=（b+c）（b-c）D．a:

c=13∶5∶12

3.三角形的三边长为

则这个三角形是（）

A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形.

4．在Rt△ABC中，∠C=90°

，

（1）若a=5，b=12，则c=；

（2）b=8，c=17，则

=

5．一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是（）

A.第三边一定为10B.三角形的周长为25

C.三角形的面积为48D.第三边可能为10

6．直角三角形的斜边为20cm，两条直角边之比为3∶4，那么这个直角三角形的周长为（）

A.27cmB.30cmC.40cmD.48cm

7、一根旗杆在离地9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高为_________。

8、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是（）

A、6厘米；

B、8厘米；

C、80/13厘米；

D、60/13厘米；

二．情境引入

如图：

有一个圆柱，它的高为12厘米，底面半B

为3厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它

想吃到上底面相对的B点处的食物，沿圆柱侧面

爬行的最短路程是多少？

（∏的取值为3）A

三．合作探究

李叔叔想要检测雕塑底座正面（如图所示）的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺。

（1）你能替他想办法完成任务吗？

（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米。

AD边垂直于AB边吗？

（3）小明随身只有一个长为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？

DC

AB

四、知识应用

古代数学著作《九章算术》中记载了如下一个问题：

有一个水池，水面的边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？

1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）

A．2，3，4B．10，8，4C．7，25，24D．7，15，12

2、已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）

A．25B．14C．7D．7或25

3、以面积为9cm2的正方形对角线为边作正方形，其面积为（　）

A．9cm2B．13cm2

C．18cm2D．24cm2

4、如图，直角△ABC的周长为24，且AB:

AC=5:

3，则BC=（）

A．6B．8C．10D．12

5.如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．

6.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）

A．8cm　　B．10cm　　C．12cm　　D．14cm

8．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为多少？

7、如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，

梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，

那么梯子的底部在水平方向上滑动了几米？

9．如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，

一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？

10.已知，如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长。

1.4勾股定理复习课

1、掌握勾股定理，能熟练地运用勾股定理解决实际问题

2、掌握直角三角形的判别

二、知识梳理

（用字母表示）_____________________________

直角三角形的判别条件：

_____________________________

（二）勾股定理的应用：

1、下列各图中所示正方形的面积为多少。

答：

A=__，B=___。

2、在ΔABC中，∠C=90º

，若a:

c=3:

5，b=8，则a==______;

c=______;

三角形的面积为：

_________________

3、已知直角三角形的两条边分别为3和4，则第三边的平方为__________.

4、

（1）如果一轮船向东南方向航行300米，另一轮船向西南方向航行400米，则两船相距多少米？

（2）一轮船以16海里/每小时的速度离开港口向东航行，另一轮船以12海里的速度向北航行，1.5小时后两船相距多少海里？

（二）直角三角形的判定及应用

A.1、2、3;

B.7、24、25;

C.6、8、10;

D.9、12、15.

2、三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是（）

A.等边三角形;

B.钝角三角形;

C.直角三角形;

D.锐角三角形.

3、如图，在四边形ABCD中，∠ACD=90º

，且AB=3，BC=4，AC=5,AD=13，

（1）证明△ABC为直角三角形；

（2）求CD的长；

（3）求四边形ABCD的面积。

（三）应用

1、有一个透明的玻璃杯，内部的底面半径为3cm，高为8cm，现有一支12cm的

玻璃棒任意斜放在杯中（如图），则玻璃棒露在杯口外的长度最少为多少cm？

2、如图所示，长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm，现使一条绳子从A点出发，沿长方体表面到达C点，问绳子最短是多少厘米？

规律小结：

1、勾股定理是刻画______三角形的三条边之间的数量关系，它直接把_____的特征转化为三边_____的关系；

而勾股定理的逆定理则是由