专题二十一几何辅助线作法一.docx

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专题二十一几何辅助线作法一

专题二十一：

几何辅助线作法总结

（一）

一初中几何常见辅助线口诀

人说几何很困难，难点就在辅助线。

辅助线，如何添？

把握定理和概念。

还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。

三角形

图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

四边形

平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形问题巧转换，变为△和□。

平移腰，移对角，两腰延长作出高。

如果出现腰中点，细心连上中位线。

上述方法不奏效，过腰中点全等造。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

圆形

半径与弦长计算，弦心距来中间站。

圆上若有一切线，切点圆心半径连。

切线长度的计算，勾股定理最方便。

要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。

弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。

弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内接圆，内角平分线梦圆

如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。

内外相切的两圆，经过切点公切线。

若是添上连心线，切点肯定在上面。

要作等角添个圆，证明题目少困难。

注意点

辅助线，是虚线，画图注意勿改变。

假如图形较分散，对称旋转去实验。

基本作图很关键，平时掌握要熟练。

解题还要多心眼，经常总结方法显。

切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。

分析综合方法选，困难再多也会减。

虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

二由角平分线想到的辅助线

口诀：

图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

角平分线具有两条性质：

a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。

对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

①从角平分线上一点向两边作垂线；

②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。

通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。

至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

与角有关的辅助线

（一）、截取构全等

几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。

下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。

如图1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

例1．如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：

BC=AB+CD。

例2．已知：

如图1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求证DC⊥AC

例3．已知：

如图1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求证：

AB-AC=CD

练习

1.已知在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：

AB+BD=AC

2.已知：

在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=2AC，求证：

AE=2CE

3.已知：

在△ABC中，AB>AC,AD为∠BAC的平分线，M为AD上任一点。

求证：

BM-CM>AB-AC

4.已知：

D是△ABC的∠BAC的外角的平分线AD上的任一点，连接DB、DC。

求证：

BD+CD>AB+AC。

（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等

过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。

例1．如图2-1，已知AB>AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。

求证：

∠ADC+∠B=180 

例2．如图2-2，在△ABC中，∠A=90 ，AB=AC，∠ABD=∠CBD。

求证：

BC=AB+AD

例3．已知如图2-3，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。

求证：

∠BAC的平分线也经过点P。

练习：

1．如图2-4∠AOP=∠BOP=15 ，PC//OA，PD⊥OA，

如果PC=4，则PD=（）

A4B3C2D1

2．已知在△ABC中，∠C=90 ，AD平分∠CAB，CD=1.5,DB=2.5.求AC。

3．已知：

如图2-5,∠BAC=∠CAD,AB>AD，CE⊥AB，

AE=（AB+AD）.求证：

∠D+∠B=180 。

4.已知：

如图2-6,在正方形ABCD中，E为CD的中点，F为BC

上的点，∠FAE=∠DAE。

求证：

AF=AD+CF。

5.已知：

如图2-7，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ,CD⊥AB，垂足为D，AE平分∠CAB交CD于F，过F作FH//AB交BC于H。

求证CF=BH。

（三）：

作角平分线的垂线构造等腰三角形

从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。

（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。

例1．已知：

如图3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中点。

求证：

DH=（AB-AC）

例2．已知：

如图3-2，AB=AC，∠BAC=90 ，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：

BD=2CE。

例3．已知：

如图3-3在△ABC中，AD、AE分别∠BAC的内、外角平分线，过顶点B作BFAD，交AD的延长线于F，连结FC并延长交AE于M。

求证：

AM=ME。

例4．已知：

如图3-4，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交AD延长线于M。

求证：

AM=（AB+AC）

练习：

1．已知：

在△ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中点，AE是∠BAC的平分线，且CE⊥AE于E，连接DE，求DE。

2．已知BE、BF分别是△ABC的∠ABC的内角与外角的平分线，AF⊥BF于F，AE⊥BE于E，连接EF分别交AB、AC于M、N，求证MN=BC

（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线

有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。

或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。

如图4-1和图4-2所示。

例4如图，AB>AC,∠1=∠2，求证：

AB－AC>BD－CD。

例5如图，BC>BA，BD平分∠ABC，且AD=CD，求证：

∠A+∠C=180。

例6如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE，求证：

AD=AB+CD。

练习：

1.已知，如图，∠C=2∠A，AC=2BC。

求证：

△ABC是直角三角形。

2．已知：

如图，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求证：

DC⊥AC

3．已知CE、AD是△ABC的角平分线，∠B=60°，求证：

AC=AE+CD

4．已知：

如图在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，求证：

BC=AB+AD

三由线段和差想到的辅助线

口诀：

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：

1、截长：

在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；

2、补短：

将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。

对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。

一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：

例1、已知如图1-1：

D、E为△ABC内两点,求证:

AB+AC>BD+DE+CE.

证明：

（法一）

（法二：

图1-2）

二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：

例如：

如图2-1：

已知D为△ABC内的任一点，求证：

∠BDC>∠BAC。

三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：

例如：

如图3-1：

已知AD为△ABC的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4,求证：

BE+CF>EF。

四、截长补短法作辅助线。

例如：

已知如图6-1：

在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任一点

求证：

AB-AC>PB-PC。

例1．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：

AE=AD+BE。

例2如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，

求证：

∠ADC+∠B=180º

例3已知：

如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108°，BD平分ABC。

求证：

BC=AB+DC。

例4如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB于M，且AM=MB。

求证：

CD=DB。

1．如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE，求证：

AD=AB+CD。

2.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的异侧，

BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。

求证：

BD=DE+CE

四由中点想到的辅助线

口诀：

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。

（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形

即如图1，AD是ΔABC的中线，则SΔABD=SΔACD=SΔABC（因为ΔABD与ΔACD是等底同高的）。

例1．如图2，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。

已知ΔABC的面积为2，求：

ΔCDF的面积。

（二）、由中点应想到利用三角形的中位线

例2．如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。

求证：

∠BGE=∠CHE。

（三）、由中线应想到延长中线

例3．图4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。

例4．如图5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。

求证：

ΔABC是等腰三角形。

（四）、直角三角形斜边中线的性质

例5．如图6，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求证：

AC=BD。

（五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线

例6．如图7，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。

求证：

BD=2CE。

（六）中线延长

口诀：

三角形中有中线，延长